Kepler－藍色情懷

Kepler（1571～1630年），日耳曼天文學家，提出行星運動三大定律。終結傳統的周轉圓理論，開創天文的新紀元。
他出生於 Weilderstadt，三歲時染上天花，雙手受創，視力受損。

1591年，Kepler 從 Tuebingen 大學畢業後轉入神學院，準備當牧師。1594年，將從神學院畢業時，經人介紹到奧地利 Graz 地方教數學及天文學。前此，他在 Tuebingen 大學時受天文學家 Maestliu 的影響，深信當時還沒被廣為接受的 Copernicus 學說：地球自轉且繞太陽公轉；這是他任教前所僅有的天文知識。

翌年夏天，在授課中，他突然「悟出」了正多面體及行星距離間的關係，寫了一篇充滿神秘占星色彩的論文《宇宙的神秘》，送到天文學家 Tycho Brahe （1546～1601年）手中。（Kepler 終身對各種多面體保持研究的興趣，也多有發現。） Brahe 雖不讚成 Kepler 的神秘占星觀點。但驚訝於其豐富的天文知識，導至日後 Kepler 到布拉格做 Brahe 的助手，而當1601年 Brahe 去世，接替他的職位（神聖羅馬帝國 Rudolph 皇帝的天文官），並繼承了他的遺產─幾十年的星像記錄─這是望遠鏡發現前最精確的記錄。有此財產，Kepler 展開了「火星降服戰」。

太陽中心說並未使天文學家能更準確預測行星的運行軌道。Kepler 對火星及地球試了各種大小不同的圓、不同的圓心（不一定是太陽）、不同速度，總是與記錄有出入。他放棄了等速圓周運動模式，而改試變速圓周運動，還是沒有成功。最後他放棄了圓，改試各種不同的卵形線，終於發現橢圓軌道最切合記錄。這樣 Kepler 降服了火星，推翻了圓周等速運動及其衍生的複雜模式（同心球理論、周轉圓理論等）。 1609年出版的《新天文》正式宣佈希臘天文學的結束、天文學新紀元的開始。

Kepler 由「火星降服戰」所導出的行星運行模式可歸納成兩個定律：第一、行星運行的軌道為橢圓，太陽居其一焦點；第二、行星與太陽連線在等長的時間內掃過相同的面積。1619年，他發表了《宇宙的和諧》，宣佈了第三定律：行星繞行太陽一週所需要的時間 T 和行星到太陽的距離 R （橢圓軌道的半長軸）之間有如下關係：T2 : R3 為定數。這三個定律將太陽系用數學結成一體，更加肯定 Copernicus 學說的正確性，而日後 Newton 的萬有引力學說也因足以說明此三個定律，才通過初步的考驗。

Kepler 在天文上的成就雖然偉大，但天文官的薪水卻不足以養家；他替皇帝及皇親貴族占星算命，反而成為收入的主要來源。這無疑是個反諷，不過卻是古代天文官的常態。

克卜勒三大定律

對任何二物體(恆星與行星、行星與衛星、雙星系統…)，如果它們間束縛力只有重力，而且它們運動的軌道是橢圓或圓，則克卜勒三運動定律是必然的結果。所以，這裡呈現的結果，不只是適用用行星系統。

克卜勒第一定律
自公元前四紀，亞里斯多德主張用絕對的對稱、簡單和完美等抽象概念來描述和理解所觀測到的事物。所以到十六世紀，無論是以太陽為宇宙中心的「日心體系」，或是「第谷體系」，行星的運行軌跡都是仍然被想像成「完美的圓形」。當克卜勒利用第谷遺留下來的大量觀測資料和星表，進行新星表編製時，發覺按照正圓軌道編製火星運行表一直行不通。經過多次的計算分析，克卜勒發現，如果火星的軌道不是正圓而是橢圓的，則這些感到矛盾的現象就不再呈現。歷經長期仔細地複雜計算，他終於發現：「行星運行軌道是橢圓的，太陽在它的一個焦點上。」這就是「克卜勒行星第一運動定律」，又稱為「橢圓軌道定律」。
克卜勒第二定律
當克卜勒發現火星橢圓的公轉軌道的同時，他按照前人都把行星運動速度當成「等速」處理，卻仍得不到符合觀測的結果。後來，他發現行星在橢圓的公轉軌道上運行的速度不是固定的常數，而是在等時間內，行星和太陽的聯線所掃過的面積相等。這就是「克卜勒行星第二運動定律」，又稱為「軌道面積定律」。

克卜勒第三定律

"行星軌道半長軸的平方與其週期的立方成正比。"

如果週期的單位為地球年，而半長軸以A.U. 為單位，對太陽系任何行星

p² (以年為單位)= a³ (以A.U. 為單位)。

在推導此公式時，我們已忽略行星質量所引起的效應。考慮本太陽系的行星公轉時，這是合理的作法，因為就是質量最大的行星─木星，其質量只約是太陽的千分之一。

如果行星的質量不可忽略，則克卜勒第三運動定律需修正為：

p² =[4 pi²/G(m₁ + m₂)] a³。

在這則公式中，p 是以秒為單位，質量(m₁, m₂)以公斤為單位，而a以公尺為單位。

太陽系九大行星運行軌道的主要數據如下：

行星	半行軸a (A.U.)	週期p (地球年)	軌道離心率e	p²/a³
水星	0.387	0.241	0.206	1.002
金星	0.723	0.615	0.007	1.002
地球	1.000	1.000	0.017	1.000
火星	1.524	1.881	0.093	1.000
土星	5.203	11.86	0.048	0.999
木星	9.539	29.46	0.056	1.000
天王星	19.19	84.01	0.046	0.999
海王星	30.06	164.8	0.010	1.000
冥王星	39.53	248.6	0.248	1.001

除了水星與冥王星之外，其餘行星的軌道都很接近圓形。在內行星中，火星的偏心率是最大的，如果當初克卜勒繼承Brahe的觀測數據後，如果不是先計算火星的運動軌道，結局是否和現在會有不同呢？

行星運動三大定律
曹亮吉

十七世紀初，Kepler 提出行星運動三大定律，使西方天文學起了巨大的改變。十七世紀下半，Newton 提出了他自己的運動定律及萬有引力定律，並且證明在適當的條件下，Kepler 行星運動定律與萬有引力定律是可以互導的。

1601年 Kepler 接替著名的天文學家 Tycho Brahe（1546～1601年），成為神聖羅馬帝國的宮廷數學家。Kepler 不但接替了 Brahe 的職位，而且繼承了他的遺產──幾十年的星象紀錄（望遠鏡發明前最精確的紀錄）。

Kepler 仔細核算這些紀錄，設想行星運動種種可能的軌道，經過多年的努力，終於在1609年發表他的頭兩條運動定律，然後再經過十年的努力，於1619年發表第三運動定律。這三條定律是這樣的：

一、（軌道論）行星運行的軌道為橢圓，太陽居其一焦點。
: 二、（面積論）行星與太陽的連線在等長的時間內掃過相同的面積。
: 三、（週期論）行星繞行太陽一週所需要的時間 T，和行星軌道半軸長 a 之間有如下的關係：T² : a³ 為定值（所有的行星都相同）。

這三條定律將太陽系用數學結成一體，使 Copernicus 的太陽中心說得以確立，使天文學在定性定量兩方面都進入了新紀元。

半個世紀後，Newton 提出了他自己的運動定律，其中第二條說：力向量 $overrightarrow{F}$ 、加速度向量 $overrightarrow{A}$ 與質量 m 之間的關係為 $overrightarrow{F}=m overrightarrow{A}$ 。 Newton 的萬有引力定律則說：質量 M 對質量 m $overrightarrow{F}$ 為 $overrightarrow{F}=-frac{GmM}{vertoverrightarrow{P}vert^3}overrightarrow{P}$ ，G 為萬有引力常數。此處的 M 所在位置為原點， $overrightarrow{P}$ 表 m 所在位置之位置向量。

如果 M 表太陽，m 表一行星，則由 Newton 第二運動定律及萬有引力定律可得 $overrightarrow{A}=-frac{GM overrightarrow{P}}{vertoverrightarrow{P}vert^3}$ ，它把行星運動的位置向量與加速度向量以簡單的公式相聯。

用極坐標，將太陽置於原點， $(r,theta)$ 表行星的位置。設 $overrightarrow{U_r}=(costheta,sintheta)$ 為位置向量的單位向量， $overrightarrow{U_{theta}}=(-sintheta,costheta)$ 為與 $overrightarrow{U_r}$ 垂直的單位向量，t 表時間，則經由連鎖法則的計算可得

$begin{eqnarray*} overrightarrow{A}&=&A_roverrightarrow{U_r}+A_{theta}overri... ...eta}&=&frac{2}{r}frac{d}{dt}(frac{1}{2}r^2frac{dtheta}{dt}) end{eqnarray*}$

Kepler 定律與萬有引力定律之間的互導，其主要架構如下：

一、面積律與向心律相當： $A_{theta}=0$ 為向心律， $frac{d}{dt}(frac{1}{2}r^2frac{dtheta}{dt}) =0$ 為面積律。
: 二、假定了面積律（及向心律），則軌道律與平方反比律相當：假定面積律，則 $r^2frac{dtheta}{dt}=h$ 為一常數，由此可導得（設 $rho=frac{1}{r}$ ）

$begin{displaymath}A_r=frac{h^2}{r^4}frac{d^2r}{dtheta^2}-frac{2h^2}{r^5}(f... ... frac{h^2}{r^3}=-h^2{rho}^2(frac{d^2rho}{d{theta}^2}+rho)end{displaymath}$

從此式可導得軌道律與平方反比律是相當的。
: 三、假定了面積律、軌道律（及向心律、平方反比律），則週期律與萬有引力定律（即向心平方反比律中的比例常數與行星無關）相當。

以上的互導做了如下的假定：行星只受制太陽的引力。事實上，根據萬有引力，行星也受到其他行星的引力，只是此引力比太陽的小得太多，其結果使得行星的實際軌道稍有偏離理想的橢圓形軌道；此種現象稱為擾動。

英國天文學家 J. Adams（1819～1892）及法國天文學家 U. de Verrier（1811～1877）於1840年代，為瞭解釋天王星的擾動現象與預期的（受到已知行星的擾動）有些出入，而預測另有一未知的行星。他們都計算了該未知行星的軌道，而根據 de Verrier 的計算，德國天文學家 J. Galle 於1846年用望遠鏡找到了海王星。

故事再重演一遍，根據海王星的擾動，天文學家在1930年找到了冥王星。

Newton 在考慮引力問題時，遇到一難題如下，假定球體各點的密度只與到球心的距離有關，則球體對質點的引力是否等於和質點全集中在球心後對質點的引力？這是有相當難度的三重積分問題，Newton 經過長久的嘗試，最後才以變換變數的方法來解決。

（節錄自曹亮吉主編之《微積分》，16-2及15-4。）