藍色情懷

巨人之爭

愛因斯坦與玻爾在量子力學詮釋上的辯論

Struggle of Titans

Arguments between Einstein and Bohr on the interpretation of Quantum Mechanics

DCC(2004/8/20, rev. 2005/6/7)

 一、引言  量子力學是最成功的科學理論之一。在研究原子構造、物質組成、光與物質之相互作用，核子、夸克等基本粒子之行為，甚而宇宙起源上，它都是最重要的工具。它 衍生的工業產品，如電晶體、雷射、核能，也已成為世界經濟的台柱。然而，量子力學之難「懂」，也是出了名的。絕頂聰明又是量子電動力學創始人之一的費曼， 便毫不含糊地說過：沒有幾個人明白量子力學是什麼 (見Richard Feynman : The Character of Physical Law, 1964，中譯本「物理之美」) 。

科學史上有很多前例：一個理論，在開始時並不完備，但在隨後發展中加以補足（例如：哥白尼之日心說，經開普勒、牛頓而後臻於完整）。然而，量子力學基本上的詮釋問題，在1935年以前之建造時期，已有許多爭論。此後雖有「量子電動力學」、「量子色動力學」等重要的發展，原來問題，依然存在。1998年，幾位知名的物理學家（David Finkelstein, George Greenstein, Piet Hut, Anton Zeilinger, Arthur Zajonc）以及一位台灣出身的哈佛歷史學家杜維明，千里迢迢跑到印度去拜謁達賴喇嘛，談量子力學與宇宙論，想從佛法中找尋解決物理困境的開示 (The New Physics and Cosmology, Dialogues with Dalai Lama, ed. A. Zajonc, Oxford U. Press, 2004) 。其中談到有關量子力學的問題，幾乎全是1935年前就有的題材(如:wave-particle duality, acausality, objective randomness, nonlocality, 等，只有「非連續時空」discrete space-time是1935以後的)。可見這些問題，至今尚能造成困擾。
 

二、量子力學之詮釋問題 首先談一下古典（牛頓）力學與量子力學有什麼不同。

古典力學中，一個質點的「狀態」是它的位置與速度（或動量）。如果作用在一個質點上的力為己知（例如：一粒子彈在地心引力作用之下運動），利用牛頓第二定律（F=ma），列下「運動方程式」，再加上起始「狀態」（子彈出口之位置與速度），就可以決定以後的「狀態」 (出口以後子彈的位置與速度)。

量子力學中，一個質點（或粒子）的「狀態」則由一個「波函數」（wave function, 通常的符號是ψ）代表。如果作用在一個質點上的力為己知（例如氫原子模型：一粒電子在一粒質子之靜電力作用之下運動），列下「水丁格方程式」(Schrödinger Equation, 1926)，可以算出任何起始「狀態」（起始之「波函數」）以後的「狀態」 (以後之「波函數」。)──在這個層次而言，量子力學與古典力學一樣，都是「決定論的」(deterministic)，也就是：起始狀態完全決定以後的狀態。

古典力學中「狀態」(位置與速度)顯 然可以直接觀測。但是，量子力學中的「狀態」是一個「波函數」。最基本的「波函數」，是位置與時間的一個複數函數，也就是說，空間中任意一個位置，都有一 個複數值，而且可隨時間而變。這樣一個瀰漫在空間的「東西」，如何能用來描述一粒小小的電子？因此，量子力學有「詮釋」(interpretation)上的問題。

 
三、測不準原理與巨人之爭  在量子力學發展之初(~1925)，有一些關鍵人物，如玻爾（Niels Bohr, 1885-1962）、愛因斯坦(Albert Einstein, 1878-1955)、海森堡(Werner Heisenberg, 1901-1976)、薛丁格(Erwin Schrödinger, 1887-1961，中譯另有薛定鄂、舒留定格等)。特別是愛因斯坦與玻爾，聲望崇高，公認是廿世紀上半葉物理的「巨人」。 (還有其他人，就從略了。)這四個人後來分為兩派，玻爾與海森堡成為所謂「哥本哈根學派」的中心人物，而愛因斯坦與水丁格則是反對派的代表。1935左右，他們在量子力學的詮釋上起了很大的爭議。但在用波函數來描述粒子(如電子、光子)行為上，他們是一致同意的（海森堡雖然認為用矩陣更好，但也不反對波函數）。這原因不難理解：在當時已有相當的證據，使他們不得不認為電子也有波的性質，而光波也有粒子性質。這就是所謂「波粒雙重性」。描述波的性質，使用到像波函數這樣的數學工具，是順理成章的事。

波粒雙重性（Wave-Particle Duality）： 在「波粒雙重性」觀念提出之初，就引起了很多人的質疑。甚而有人在報紙上調侃：「電子星期一、三、五是子，二、四、六是波，星期天放假。」一直到今天，一 般大眾及很多初學者，甚至成名的學者，還認為這「波粒雙重性」是神秘難解的。但另一方面，很多學者（包括以上四人），並不認為這難以接受。物理史上，「固 有觀念」被推翻的例子，在所多有（如地心說、熱素說等）；祗要滿足兩個條件：

（1） 觀測證據充分，包括：有預言實驗結果的能力；

（2） 沒有內在矛盾，可以自圓其說。

在這兩個條件下，新觀念即使看來怪異，我們也只好接受。當時「波粒雙重性」的觀測證據已經很多（如今更多，包括已經討論到爛熟、並在實驗室中做出的「單電 子雙狹縫實驗」），問題在能不能自圓其說。最重要的問題：波函數能夠測量出來嗎？如果不能，那它有什麼意義？不能找到更易懂的方法嗎？更有人（如蒲朗克有 一度）希望能維持古典力學，以古典力學之巧妙運用來解釋量子現象。

測不準原理（Principle of Uncertainty）：海森堡在1927年發表了他著名的測不準原理：

ΔqΔp³h/4p; ΔtΔE³h/4p.

這就是說：任何粒子之位置(q)與動量(p)不可能同時精準地測量出來。其不準確之程度(Δq及Δp)之乘積有一個厎限，與蒲朗克常數h有關。同樣的限制也加於時間(t)與能量(E)上。這原理很扼要地指出了量子力學與古典力學之不同(「在一個確定的時間，一粒質點有其確定的位置與速度」是古典力學之起點)，否定了古典力學「復辟」的可能性；它與「波函數之或然率詮釋」(Max Born, 1926, 見下)結合，也成為所謂「哥本哈根詮釋」的基礎。

在海森堡的論文中，用了「想像實驗」(thought experiment)來 說明其測不準原理。例如：用顯微鏡來測電子之位置，必須用到光子，而光子之作用，使電子之動量不準。如要測得之電子位置準確，必須用短波長之光子，而光子 波長越短，電子之動量不準越大。──這個「想像實驗」被很多量子力學的教科書引用，細節就不提了。但為什麼要用「想像實驗」？因為在「想像實驗」中，操作 疏失、機件故障等「技術問題」都可以假定不存在，所以便於探討理論上的最佳情況。測不準原理中的不準，不是因為技術不佳而造成的「誤差」，而是技術再好也 避免不了的「不凖」。(下文中出現的「測量」，也不考慮技術問題。)

愛因斯坦的光電效應公式(1905)是量子力學創始時之里程碑之一。對量子力學以後的發展，他也積極參與，並很有貢獻。但到1925左右，他在量子力學的看法上，與哥本哈根一派起了歧見。他與玻爾有過很多次公開與私下的辯論。最有名的一次公開辯論發生在1930年十月的一次Solvay Conference。 愛因斯坦也設計了一個「想像實驗」：在一個盒子中，放進光子（或粒子）。盒子上有一小孔，由一時鍾控制。若有光子自孔中逸出，逸出之時間可以從時鍾得到， 其精確度可以做到任意地小。在逸出前後可以仔細地測量盒子之重量，以精準決定逸出光子之能量（用質能互換）。這樣，時間與能量都可以測得很準，推翻了時間 與能量的測不準原理。

玻爾也參加了這次會議。聽了愛因斯坦的「想像實驗」後，一時不知如何反駁，悶悶不樂。當晚一夜苦思，想出了破解之法：如果要測盒子重量，須要用秤。故光子 之逸出前後，盒子之高低位置便有一個不準度。再根據愛因斯坦的廣義相對論，這又就會造成時鍾讀數的不準確。計算結果正好可以滿足測不準原理的要求。──愛 因斯坦被他自己一手建造的廣義相對論打敗。

這一次兩位物理學「巨人」交手，玻爾大獲全勝。經此一役之後，玻爾更確立了他在量子詮釋的「教父」地位。而愛因斯坦雖然仍覺得哥本哈根詮釋有問題，但以後的發言更謹慎了。

四、哥本哈根詮釋與薛丁格之貓  玻爾、海森堡等人從未說過「哥本哈根學派」一詞，也不曾對他們的量子詮釋做出統一的說明。並且，根據近來的研究，他們的詮釋，也非始終如一，而有演變的過程。玻爾與海森堡的立場，也不盡相同。(見Mara Beller: Quantum Dialogue, U. Chicago Press, 1999。)所謂「哥本哈根詮釋」，是後人為方便而起的一個籠統名詞。各家的說法，也有出入。以下的陳述是（我認為）各家共同的部份而且是目前常用的一種：

哥本哈根詮釋(Copenhagen Interpretation)；含有虛數的波函數本身是不可測量的。但是，它含有所有可測量（物理量）的資訊。這些資訊，經由以下的步驟取得：

（1）  所有的物理量，如位置、動量、能量等，皆由一個「赫氏運算子」（Hermitian operators）代表。一個物理量A，可決定一組「本徵態」ψ_k（eigenstates,這也是一個複數的函數）及其相應的「本徵值」a_k（eigenvalues, 這是實數的）。描述此系統之任何一個波函數Ψ，皆可以用這組「本徵態」之「線性組合」(linear combination)表示之。

Ψ=c₁ψ₁+c₂ψ₂+…….c_kψ_k+….

 其中c_k是「線性組合」中ψ_k之係數，它可以是複數的。

（2） 在此狀態Ψ對該物理量A做測量時，只能測得「本徵值」之一，例如a_k。而測得此值a_k之或然率，與「線性組合」中ψ_k之係數c_k之絕對值之平方成正比。──惟有Ψ=ψ_k時，必然測得a_k。

(本徵值可以是連續的。例如「位置」的本徵值通常是連續的，而本徵態是所謂d-function。以位置為變數的ψ，其絕對值之平方即是其或然率密度probability density。也就是說：一粒子之位置在測前只知其落點之或然率分佈，但測其位置時，落點只有一個。)

（3） 有了或然之分佈，就可以計算其標準差(Standard Deviation)，進而可以證明Heisenberg的測不準原理中的不準，就是這標準差。這樣，理論詮釋與觀測就合成一套能夠自圓其說的系統。

愛因斯坦與薛丁格對這種詮釋，強烈反對。愛因斯坦說：我相信老頭子（Old Man =上帝=大自然）不會在玩骰子。薛丁格甚至說：我後悔與量子力學惹上了關係。他們反對的重點似乎在：

(1) 波函數之「崩縮」（collapse of wave function）： 試想：如果我們測某人身高，測得1.8公尺。倘若技術上全無問題，這結果應與此人當時之身高相符。如果立刻(免得此人長高)再測一次，自應得到相同的結果，否則測量豈不成了開玩笑。因此，倘若沒有技術上的疏失，對同一物，同一量連測兩次，應得到同樣結果。

現在對Ψ=c₁ψ₁+c₂ψ₂+…….c_kψ_k+…測量物理量A，假定測得之值為a_k。如果立刻再重複測量同一物理量，應該再得a_k。然而，惟有Ψ=ψ_k時，必然測得a_k。故測量前的波函數Ψ=c₁ψ₁+c₂ψ₂+…….c_kψ_k+…，測後就變成為一項Ψ=ψ_k。(哥本哈根學派也同意這點。)這被稱為波函數之「崩縮」（特別是測位置：測前瀰漫空際的波函數，測後縮成一點）。玻爾與海森堡在為「測不準原理」辯護時都曾說過：測量會對微觀系統造成「不可控制的干擾」(uncontrollable disturbance)。但原來較複雜的波函數，被這不可控制的干擾一搞，忽然就「崩縮」成單項的了。──好像在玩魔術，令人不服。

(2) 非因果(acausal) ：古典力學中的「因果律」(causality)是 「一個蘿蔔一個坑」，環環相扣的，不允許有意外發生。試考慮一粒子彈在地上飛行。如果我們能充份掌握子彈之起始狀態，空氣的阻力，以及所有的相關因素，古 典力學原則上可以算出此後子彈的所有行動。任一瞬間子彈的狀態，皆是前一狀態的果，也是後一狀態的因，構成了嚴密的因果鍵。 

古典力學中的「或然」起於作預言的人「缺少資訊」。例如：我們通常在玩骰子時沒有充份掌握骰子的旋轉，彈跳之角度等等「因素」，這才有了「停下來時各面朝 上皆有六分之一機會」之「或然率」。對較複雜的系統，取得所有資訊有實際的困難，或許在實務上不得不用或然率。但原理上這種「或然」可以經由取得資訊而化 解(reducible)。如果我們把各種資料輸入電算機，去算骰子的運動。倘若算出結果與觀測不合，古典力學仍認為「必有原因」。例如：骰子變形、計算機程式有誤等。我們相信：如果不計成本，繼續不斷增補修正，終有一天可以把它算出來。

這是古典力學的基本信念，也是它最自豪的地方：鼓勵「打破砂鍋問到厎」，不怕追問，只怕不追問。任何事情之發生，窮究到厎，都可以找到原因。──歷史上最有名的例子是觀測到的天王星運行與古典力學算出來的不符，追究原因，結果找到了海王星（1846）。──在量子力學以前，很多人(包括愛因斯坦)認為這是科學的基本精神。即使今天，絕大部份的領域中(除了量子力學)，這仍是科學的基本信念。

但哥本哈根詮釋中，卻在最根本的層次，對最簡單的系統（如單電子）也引進了或然率。在這詮釋中，測得a_k或其他值a₁, a₂…是或然的。而且，Ψ含有「所有」可測量（物理量）的資訊，這「或然」不是起於「缺少資訊」，而是「只有這種或然的資訊」。這樣，它成了一種不可化解(irreducible)的或然（或稱「客觀隨機」objective randomness）。我們不能追問：為什麼這次測得是a_k而不是a₁或a₂。即使追問，也找不出「原因」。因此，在這一點上，哥本哈根詮釋是「非因果」(acausal)的。──難怪愛因斯坦十分不以為然，因而說出了他的「名言」：老頭子不會在玩骰子。終其一生，他主張量子力學不完整（incomplete），還有尚未發現的「隱藏變數」(hidden variable)，就是想要找出這或然的原因。

薛丁格的貓(Schrödinger's Cat) 1935年，薛丁格發表了一系列的文章，彰顯哥本哈根詮釋之荒謬，其中包含了有名的像想實驗「薛丁格的貓」：假想有一個鋼室，放進一隻活貓。而鋼室中有一個裝置，含有 一粒放射性物質，在一小時內有二分之一機會放出一粒電子。而且，如有電子放出，又會觸動機關放出毒氣將貓毒死。現在將鋼室關閉，一小時後打開，觀察貓之死 活。假設用波函數Ψ_cat來描述貓。由於對「貓之死活」觀察的結果，非死即活，故有一死一活兩個本徵態ψ_live, ψ_dead。根據哥本哈根詮釋，在打開以前，貓的狀態（波函數）是兩個本徵態的疊加Ψ_cat=(ψ_live+ ψ_dead)/(2)^1/2，也就是半死半活的。打開一看，波函數崩縮，只剩下一個本徵態Ψ_cat=ψ_live或 ψ_dead，貓的死活就決定了。如果貓死了，牠只有一半是被毒氣所害，另一半是被我們「看死的」。──這很可笑，故哥本哈根詮釋是荒謬的。

哥本哈根學派對這些指摘並沒有正式的回應。事實上，「薛丁格之貓」發表於EPR(見下節)之後，很可能是對EPR的一種呼應。以內容而言，它不及EPR之深刻。但由於其有趣易懂，流傳甚廣，甚至被畫在T裇上。以下的回應，大致根據哥本哈根詮釋精神，但非史實。

(1)量子力學中必須放棄古典式的「因果律」，而允許有不可追究的「或然」。換而言之：老頭子（上帝、大自然）會玩骰子。玻爾甚至對愛因斯坦喊話：「請別對上帝發號施令。」這就是說：大自然如果是這樣的，我們不能因為不喜歡就否定它。

(2)波函數之「崩縮」則是起於對波函數角色一種誤解。玻爾與海森堡都一再強調：波函數並不是「對真實之圖畫般的寫照」(a pictorial representation of 「reality」)，僅是含有所 有可測量之資訊的符號。海森堡並堅持：脫離了測量，「真實」是沒有意義的。以水丁格的貓來說，打開鋼室以前，波函數顯示的是半死半活的貓。這並不是說貓 「真實」是半死半活，而是說波函數顯示的資訊中，牠的死活機會各有一半。打開鋼室觀看以後，貓的生死決定了。但觀測所得的新資訊，使原來的波函數不能再 用。如要繼續做量子力學（以備下次的觀測），打開鋼室以後的起始波函數，自應包括貓死活的新資訊（故如立刻再觀看，貓之死活不變），這不是什麼「波函數崩 縮」，而是另起爐灶。

這樣，哥本哈根學派的詮釋，可以自圓其說。玻爾始終不同意愛因斯坦對量子力學「不完整」的指控，他並不是主張量子力學已經完美無缺，沒有改進的餘地，而是不承認哥本哈根詮釋中有自相矛盾之處。──但是，還是有很多人覺得不服，愛因斯坦也還有話說。

五．「EPR詭說」與「量子糾纏」

「EPR詭說」(Einstein-Podolsky-Rosen Paradox)：也在1935年（五月），愛因斯坦與他的兩位助手(三人合稱EPR，中文有譯為「愛坡羅」)合作，發表了對量子力學「不完整」的最後一次指控。其中又是一個想像實驗：假定有兩個電子，相撞後向相反方向飛去。在它們相距很遠的時候，對其中之一測其動量。利用動量守恆定理，另一電子之動量也可就此決定了。由於兩電子距離甚遠，故第二個電子在「未受任何干擾」(without in any way disturbing the system)之下，確定了其動量值。

現在專注考慮第二個電子之動量。它在未受干擾之情況下，其值可以完全確定（這樣的值，EPR定義為「物理現實之一個成份」an element of physical reality.）。 現在，如果我們改變主意，不去測第一個電子之動量，或測其位置而不測動量，第二電子仍然未受干擾，其動量值也沒有理由改變。可見這動量值是第二個電子本身 就有的屬性，與第一電子之遭遇無關。同樣的道理，我們也可說第二電子之位置或能量也是其本身就有的屬性，其值也可確定(如果要測，可用質量中心或能量守恆定理，但不必要測)。這樣，位置與動量的「測不準原理」被打破了。但這不是重點，重點是：在未做任何測量以前，各種物理量（如位置、動量、能量）之準確值早就存在了，而量子力學之Ψ並未完全包含這樣的資訊。──EPR的結論是：量子力學沒有完整地描述「物理現實」(physical reality)，故「不完整」。

量子糾纏(Quantum Entanglement)：對愛因斯坦的指控，玻爾不敢怠慢。五個月以後，就發表了反駁的論文。玻爾的論文，從來就不易讀，這篇尤其難懂。(多年後研究EPR的專家J. S. Bell，便坦承他看不懂。)此文的重點似乎是批評EPR原文中所用的詞句定義不清楚，特別是「未受任何干擾」(without in any way disturbing the system)。玻爾的意思似乎是：兩個電子相距再遠，測量其中之一，也會影響到另一個。

愛因斯坦對這說法大不以為然，稱之為「鬼魅般的遠距效果」(spooky remote effect)。薛丁格則給它起了一個有戲謔意味的名號：「量子糾纏」。──一個粒子一旦與另一粒子有了關係，以後不論它逃到天涯海角，這關係再也擺脫不掉，好像是一場男女之間「你追我躲」的愛情糾紛。──這個名號沿用至今。

非局域性(non-locality)與瞬時及遠(instantaneous action at a distance)：如果「量子糾纏」是真的，會產生兩個問題：

1. 所有的古典物理都相信「局域性」（locality）：兩個系統如果相距夠遠，兩者之間之相互影響可以不計。所以，在廣島、長崎投下原子彈，在當地固然天搖地動，但對火星毫無影響。這「局域性」似乎理所當然，無可置疑，但「量子糾纏」顯然違反了它。──玻爾在EPR以前，也表示過反對「非局域性」，而且用詞強烈。但EPR以後就不談了。

2.  愛因斯坦的狹義相對論也是最成功的物理理論之一。其中一個結論是任何「訊號」（signal，資訊之傳遞）速率皆不可超光速。但這「鬼魅般的遠距效果」是「瞬時及遠」的，速率竟是無限大。這又引起了違反狹義相對論的疑慮。──但很快就有人指出這可能是過慮。如果有人測第二電子，他也無法從測量結果判斷第一電子是否被測。所以，這「鬼魅般的遠距效果」不能用來傳遞資訊。

EPR是 愛因斯坦與玻爾在量子詮釋上的最後一次論戰。兩人相互欽佩，終身友誼不變，但誰也沒能說服對方。「巨人之爭」落了個不了了之的結尾，似乎有些令人失望。但 其原因不難理解：到了這個地步，想像實驗已經不能解決爭議，必須要真的實驗才能判斷誰是誰非。但當時看來，做這種實驗似乎遙不可及。此外，各人都有更迫切 的事要做（1939年第二次世界大戰爆發，兩人都痛恨納粹，參與促成了美國的核彈計畫），這爭論就擱下了。

六、貝爾不等式及其他發展

第二次世界大戰之後的數十年，是物理學發展鼎盛的時代。物理中各領域（從原子、分子、核子、基本粒子、固態、光電到天文物理等等），成果都極為豐碩。並且，部份成果開啟了現代所謂「高科技產業」。這些發展，除了少數的例外，幾乎都是1935年以前的量子力學的應用或推廣。量子力學之「有效」，到此時已無可置疑。

這些發展，是較年輕一輩的物理學家主導的。愛因斯坦、玻爾等人，在他們有生之年，雖廣受尊敬，但與物理髮展的主流，漸行漸遠。年輕一輩的物理學家們，運用 量子力學解決問題，十分熟練，並且時出新意。對量子詮釋問題，關心的人卻不多。哥本哈根的詮釋號稱「正統」（orthodoxy），各教科書上或多或少，都加以陳述。但各家的說法，卻不盡相同(例如，有的用「波函數崩縮」，有的不用)。大體而言，哥本哈根詮釋是大部份物理學家工作時的「工作設定」（working hypothesis），而且，也很「管用」(working )。

當年的「巨人之爭」，對大多數當時的物理學家而言，只是歷史上有趣的插曲。倒是哲學家、科學史家對這段經過做了深入的探討，釐清了一些這爭論的意義。其中一個說法；就本體論(ontology，探究何謂實存的哲學)而言，愛因斯坦與水丁格是實在論(realism)的：有一個實存的外在世界，物理學家的任務就是去瞭解其運行的規則。海森堡則是實證論(positivism)的：若沒有測量，談實存祗是虛幻。物理學家的任務僅是找出測量值與測量值之間的關係。玻爾的立場則被稱為「新康德」(Neo-Kantian)， 介於兩者之間：有一個實存的外在世界，但我們不可能窺其全貎，只能找出測量值之間的關係。──這或許可以說明為什麼在哥本哈根詮釋如此有效的情形之下，它 仍然只是「工作設定」：大多數人的直覺，比較接近愛因斯坦與水丁格的實在論。更有一些年輕的物理學家，有雄心一探宇宙奧秘，對量子力學的詮釋再作檢討；特 別是EPR。

貝爾(J. S. Bell, 1928-90)在1964年，發表了一篇「論EPR詭說」(On Einstein- Podolsky-Rosen Paradox)的論文，一舉成名。此文中的EPR卻不是原版，而是用了粒子「自旋」（spin）的新版(D. Bohm, J. Aharonov, 1957)：兩粒子各有1/2的自旋，假定總自旋為零(即singlet state)，它們的相撞後分開，總自旋應守恆。故測量其中之一的自旋，就可決定另一粒子之自旋。量子力學不允許各方向（如x方向與y方向）的自旋同時被測定。用類似EPR原來的論證，可以造成矛盾。(自旋1/2之粒子，在任何方向之自旋，本徵值只有兩個+1 (spin-up), -1 (spin-down)，且不必考慮粒子之運動，故此版較簡潔。)

貝爾考慮：測量第一粒子在a方向之自旋及第二粒子在b方向之自旋(測得之值非+1即-1)。令測得結果之「相關係數」(correlation coefficient，即兩值相同的或然率減去兩值不同的或然率）為C(a,b)。他證明了：如果每次測量之結果為某種「隱藏變數」(hidden variable)決定 (也就是量子力學不完整)，對三個任意方向a, b, c,  有以下關係：

|C(a,b) - C(a,c)| - C(b,c) £1

此式被稱為「貝爾不等式」。但如果量子力學是對的：C(a,b)=-a·b=-cosq_ab，不難找出一組a,b,c違反這個不等式(例如：q_ab=q_bc=60°, q_ac=120°)。由於相關係數是可以測的（用多次同樣方法之測量，取其平均值），故「貝爾不等式」提供了檢驗量子力學是否完整的一個實驗方法。

這個實驗很快就有人嚐試去做。到了1980左右，終於有了結果（A. Aspect, et al, 1982）：貝爾不等式被違反了。量子力學（或哥本哈根詮釋）又勝利了。然而，如果量子力學是對的，則「量子糾纏」隨之而來，勢必放棄「局域性」作為代價。於是，有人對實驗過程提出質疑，也有人對貝爾不等式重新檢討。這問題似乎至今尚未塵埃落定。

另一方面，有人想到：如果「量子糾纏」真有其事，何不加以利用？於是：量子遠傳（Quantum Teleportation）、量子資訊（Quantum Information）、量子密碼（Quantum Cryptography）、量子計算(Quantum Computation)等都成了新興學問，相當熱門，甚至有教科書出版(如：H.-K. Lo, S. Popescu, T. Spiller, Introduction to Quantum Computation and Information, Singapore, World Science, 1998)。──據我所知，目前這些尚未有具體成品，倒是提供了科幻小說一些新題材。但未來是否會造成另一波的產業革命？誰也不敢說。

七、結語  回顧「巨人之爭」，我有幾點看法：

1. 量子力學為何難「懂」？──對抽象難懂的題材，我們慣常借重「圖畫似的寫照」(pictorial representation)來瞭解它。例如：電磁波的「波形」是看不到的，但幾乎所有電磁學入門的書上，都畫出電磁波的波形。對很多人（包括我）而言，「懂了」的第一步，就是能「在想像中予以圖形化」(visualized)。書上的圖形，有助於達成這一步。

量子力學教科書中雖不乏圖形（如波函數之波形、Feynman Diagram等）， 但都不是「對真實圖畫似的寫照」。故量子力學所描述之「真實」，很難「在想像中予以圖形化」（海森堡否認有此可能）。倘若勉強去做，又往往遇到困難（如波 函數之「崩縮」）。我以為這可能是量子力學號稱難懂的最大原因。過去數十年中，能運用量子力學解決問題的人不在少數。其中最出色的人之一Feynman竟然宣稱：沒有幾個人明白量子力學是什麼。這句話，也只有從這角度可以理解。

2. 哥本哈根詮釋為何遭到頑強抵抗？──上文中曾提到：如果觀測證據充分，又沒有內在矛盾，新觀念即使看來怪異，我們也只好接受。這個論點，愛因斯坦曾用來說服物理學界接受了他的相對論。然而，哥本哈根詮釋在滿足此二條件上表現不差（除EPR之外，幾乎沒有問題。如果「量子糾纏」能在觀測上證實，EPR也可過關。）但很多人對哥本哈根詮釋始終不能接受。網路上可查到的量子力學「替代」(alternative)理論，有七、八種之多。它們的倡導者中不乏重量級的物理學家（如John Wheeler, David Bohm）。這些人追隨愛因斯坦、薛丁格的遺志，千方百計就是要打倒哥本哈根詮釋的霸權。我以為這關鍵在「非因果」。

前文已經提到「因果律」在科學中的重要性：它保證一件事窮究到厎，一定可以找到原因，進而鼓動了科學家們打破砂鍋問到厎的興趣。十七世紀以後科學之起飛， 由牛頓力學而建立起來的對「因果律」的信心，是一個重要因素。廿世紀的物理，推翻了很多重要的古典觀念，例如：相對時間取代了絕對時間，波粒雙重性消滅了 波與粒子之分別等等。提出之初，這些都被認為是怪異到不可思議，但在觀測證據充分，又能自圓其說後，也只好接受。然而，破壞了「因果律」，簡直是動搖了科 學的根本。即使滿足了以上二條件，還是要盡一切努力挽回。愛因斯坦的：老頭子不會在玩骰子、堅持量子力學不完整；以及後來的許多「替代」理論，或皆由此而 起。

在可預見的將來，哥本哈根詮釋大概還是會用來作為物理工作的「工作設定」。另一方面，尋找替代理論的努力，也不會停止。這種努力，也可能帶來意外的收穫──如果「量子糾纏」果真引起新興產業，不能不感謝EPR，雖然EPR之原意正好與其相反。──至於量子力學會不會有一個能為大家共同信服的詮釋，目前看來，短期內還不會有所定論。