獨行，為了什麼

（圖1）Kurt Gödel（1906-1978）

   記得幾年前，Goedel的名字居然在這個浮躁的時代，還不一般地熱鬧過一陣，凡是覺得需要表達自己的高深和前衛了，就一定嘴裡要蹦出個Goedel不完全性定理云云；凡是覺得要驚世駭俗，聲稱能夠破解世界超級大難題了，也少不了拿Goedel不完全性定理做論據。彷彿一夜之間滿天下人都成了Goedel的再傳弟子，如果Goedel地下有知，只怕要嚇著他老人家了，因為在留駐於這個世界的大部分時間裡面，他都是深深地藏在普林斯頓高等研究員的幽邃象牙塔裡面，除了和愛因斯坦一起散散步之外，是不想任何人來打攪自己的。

 可能是拜Douglas Hofstadter的那本暢銷書《哥德爾，艾舍爾，巴赫--一條永恆的金辮》之賜，舊三論新三論已經說膩了的國人們，突然知道了這個20世紀最偉大的邏輯學家和數學家--哥德爾，同時也知道了在計算機科學的基礎裡面，哥德爾貢獻了一塊關鍵的基石。後來由於傑出的華裔邏輯學家與計算機科學家王浩在國內的極力崇揚，人們又更多地瞭解到哥德爾還作為一個獨特而偉大的哲學家而聳立於20世紀。不幸的是，王浩的那本艱澀的哥德爾傳記的中譯本問世後，浮躁的時代又轉頭追逐別的時髦去了。

   確實，Goedel的人總是隱藏在人們的傳說後面，Goedel的學養更是顯得不沾一點塵氣，怎麼可能長久地停留在大眾的視野當中呢？

 當歷史抵達20世 紀初年的時候，一個關於數學的終極夢想又開始在當時一些偉大的數學頭腦裡面頑強復甦，從歐幾里德到笛卡兒，從萊布尼茲到希爾伯特，對於從少數明確的公理以 及邏輯規則出發，而構建整個數學的最終幻想，總是抱有一種不可壓抑的衝動，幾乎是在同一個時期，懷德海和羅素的《數學原理》，希爾伯特和阿克曼的《理論邏 輯基礎》，希爾伯特和貝奈斯的《數學基礎》，希爾伯特的《幾何基礎》，都無不透漏著那份信念和執著，然而一些同樣偉大的數學家則幾乎是天生就厭煩這種想 法，如布勞維爾和外爾，從而形成當時有關數學基礎的直覺主義與形式主義以及邏輯主義的對壘。

  Goedel把這一切看在眼裡，暗地裡另闢蹊徑，一舉徹底改變了這個局勢。他首先深究了所謂一個數學理論的完全性是什麼意思，把對於一個命題邏輯系統的完全性描述延伸到了初等邏輯系統，澄清了我們對於完全性的判別標準是什麼，這就是Goedel得 到的初等邏輯的完全性定律，即每個可數公式集或者可滿足或者可反駁，謂之完全。然後就是一招絕命，直擊問題的核心，得到了一個震驚天下的結論，即數學的不 可完全性。當然他並不是針對一個實際的數學領域而得到這個結論的，而是站在數學的形式基礎層面，構造了一個簡樸的數學理論的模型，他無懈可擊地證明了，在 這個模型裡面，按照一種強的一致性要求，任何可判定公式類都包含不可判定命題。

 可以說，這個結果徹底瓦解了形式主義者對於數學的完全形式系統的夢想，當然也宣告了邏輯主義者尋求邏輯形式系統的徒勞，對於直覺主義來說，看到Goedel使用這麼一種形式的方法，輕而易舉地說清楚了他們一直喋喋不休而又不足以服人的觀點，也是略感受到嘲弄的。而這個結論對於計算機科學來說，特別是當圖靈把「可判定」的概念換成「可計算」的概念之後，就成了一塊最穩重的奠基石。

  不過Goedel自己並不熱中於這些塵世的意義，他對於生活，猶如對於數學，只是站在形式的遠處，卻一眼透入血肉，深入骨髓，這該是一個怎樣的人呢？

Goedel在1906年出生於當時屬於奧匈帝國的Brünn，也就是後來的捷克的Brno。在他5歲的時候，大人們發現他行為有點異常，拉去看醫生，說是患了焦慮性神經官能症，不過屬於輕度，於是人們也就沒大在意了，不過我很好奇，一個5歲的小孩，會焦慮些什麼呢？也許是這個小男孩將來的天才生涯的一個預兆吧。（圖2）

（圖2）從左到右分別為Goedel的母親，Goedel，父親，哥哥。

   不過Goedel自己並不熱中於這些塵世的意義，他對於生活，猶如對於數學，只是站在形式的遠處，卻一眼透入血肉，深入骨髓，這該是一個怎樣的人呢？

Goedel年時間，他在博士論文裡面就給出了初等邏輯的完全性證明，然後陸續提出了具有劃時代意義的不完全性第一定理和第二定理。

   於是這個體弱而敏感的年輕人立刻享有了石破天驚的名聲，因為他的結論徹底地否決了當時大部分數學家的一個努力方向，所謂形式主義數學突然發現自己破產了，而當時數學「大巫師「希爾伯特在1899年的世界數學家大會上所發出的形式主義宣言大概還在很多人的耳邊迴響著。

   然而名聲對於Goedel來說，勝於蛇蠍，遠避而猶不及。因為他一生都只關心一件事情，就是這個世界的那些最基本的概念，任何有可能妨礙他的專注的東西，他都是充滿敵意地加以排斥。於是在旁人看來，他的一切生活習慣，哪怕他的一絲影子，都顯得極端怪異。

 他一生都不喜歡旅行，1940年之前主要是窩在維也納，1940年之後，直到離開人世，足足快40年，一直就窩在普林斯頓，原因很簡單，他覺得他的神經不能承受旅途的煩瑣。

 他很樂於跟Goedel自己並不熱中於這些塵世的意義，他對於生活，猶如對於數學，只是站在形式的遠處，卻一眼透入血肉，深入骨髓，這該是一個怎樣的人呢？

 Goedel最 遭人議論的是他的飲食。他有很美滿的婚姻，他的妻子是他在大學時代追求的一個在夜總會工作的有夫之婦，當年為此還受到來自家庭和周圍人的很大壓力，然而事 實證明他們是圓滿的一對，他妻子照料他的日常起居的一切，到了須臾不可離的程度，偶爾妻子外出了，他幾天才做一次飯。由於他從小體質柔弱，對於飲食分外小 心，以至於讓外人覺得是到了而當時數學「大巫師「希爾伯特在1899年的世界數學家大會上所發出的形式主義宣言大概還在很多人的耳邊迴響著。

   
 就是這樣一個軀體活在世中，精神遺於世外的Goedel，正好和愛因斯坦構成了絕好的一對密友。愛因斯坦晚年的唯一活動，就是在普林斯頓的幽徑上和Goedel邊走邊聊，一直到該回家吃飯了才散。這兩個最大膽的上帝的窺密者在一起聊些什麼呢？莫不是一起謀劃著一次新的針對上帝的密室的偷竊行動？可惜沒有第三個人知道，我們現在只能從王浩在Goedel的晚年對他的訪問所獲得的隻言片語當中去揣摩，也許，我們還可以從Goedel後半生所思考的問題當中尋找到鴻影。