藍色情懷

在大自然中窺見費伯納契數列

自然界中，很多花瓣數是3、5、8；向日葵種子以順時針與逆時針螺旋排列的數則有34和55或55和89等。這些數字看似毫無關連，其實都是費伯納契數列裡 的項數值。費伯納契數列是由「後項等於前兩項之和」的一串正整數組成，它不只隱藏了一些自然界的數字，當項數趨於無窮大時，將後項除以前項，比值將趨近於 一個不能寫成兩整數之比的黃金比例。 文／楊嘉慧 審稿／台灣大學數學系教授　張鎮華

圖中向日葵的螺線數為逆時針34個，順時針55個。（影像來源：http://www.sxc.hu

　最漂亮的公式通常是那種既簡單，又能呈現許多現象的數學式子，費伯納契數列（Fibonacci sequence，簡稱費氏數列）便是個只需簡單式子：f_n = f_n-1 + f_n-2 （f_n 表費氏數列的第 n 項的值），就能代表每項值的數列，它雖然不能呈現自然現象，卻湊巧包含了某些自然界的數字，像有些花瓣數，例如月桃3，長春花、非洲鳳仙花5、菊斯菊8 等，是費氏數列裡的數字；而向日葵種子同時有順時針與逆時針方向的螺旋排列，兩組螺線數往往也是費氏數列的值，如34和55、55和89、89和144 等。另外，鋼琴琴鍵在一個八度音之間，有5個黑鍵，8個白鍵；法國作曲家德布西的音樂作品也巧合的出現費氏數列，例如鋼琴獨奏曲「水之反光」第一個迴旋曲 再現部出現於第34個小節之後，到第55個小節時，調音至降E調，開始出現高潮……因為上述美麗的巧合，不少科學家對費氏數列持有濃厚的研究興趣，也陸續 發現它的種種特性。

　費氏數列是來自費伯納契（Leonardo Fibonacci, 1170~1250）所著《算盤之書》（Liber Abaci）中一個簡單的問題：

　籠子裡有一對新生的兔子。假設每對兔子每個月會生出一對兔子，但新生的兔子要滿兩個月才能生出下一代兔子，則一年之後，會有多少對兔子？

　此解法為：前兩個月只有一對兔子，第三個月成兔會生出一對幼兔。第四個月，成兔再生下幼兔，原先的幼兔變為成兔（見下圖）。以此類推，每個月的兔子對數為：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144……

　這就是費氏數列，當中的組成數字稱為費氏數（Fibonacci number）。

藍臉表尚不會生出幼兔的一對兔子，粉紅臉表已能生育一對幼兔的一對成兔。幼兔要到第三個月才會生出下一代幼兔，至第四個月又可再生下一對幼兔。以此推算，第 四個月有三對兔子；第五個月有兩對成兔生下兩對幼兔，加上上個月生下的一對，共有五對兔子。第六個月，三對成兔生下三對幼兔，加兩對上個月生下的兔子，共 八對兔子。（電腦繪圖：姚裕評）

暗藏黃金比例

　費氏數列很常和黃金比例相提並論，二者本來沒有任何關聯，黃金比例主要是應用在幾何作圖。然而，在數學家發現費氏數列也隱藏黃金比例之後，費氏數列和黃金比例就分不開了。

　黃金比例是從黃金分割的定義而來，黃金分割早在古希臘時期就出現在歐幾里得的《幾何原本》（Elements），當時使用的詞是「中末比分割」(extreme and mean ratio)：

　一線段按中末比分割表示，該線段的全長和分割後較長線段之比等於長線段和短線段之比（見下圖）。

歐幾里得對中末比分割（黃金分割）的定義為AB：AC=AC：CB（電腦繪圖：姚裕評）

　而黃金比例就是指圖中所示的AB/AC或AC/CB之值。假設線段AC長度為x，線段CB為1，按黃金分割的定義，可得：

　　x/1 = (x +1)/x

　解之，x為：

　　x =(1+√5)/2　（另一個根為負數，不合）

　因此黃金比例正是 (1+√5)/2 （約為1.618），為一無理數。

　費氏數列是一連串正整數組成，它與不能被寫成兩整數之比的黃金比例有何關係？台灣大學數學系教授張 鎮華指出，若將費氏數列的後項除以前項，在項數非常大時，該比值正巧會趨近於黃金比例，也就是項數極大時，費氏數列幾乎是以黃金比例倍數遞增的等比數列。 該結果可從費氏數列一般項推得，其表示法如下：

，n表項數（註1）

　乍看之下，此式很難與正整數組成的數列聯想在一起，但依序代入不同n 值，確實會得出正整數，且當n 趨近無限大時，[(1-√5)/2]ⁿ 幾乎為 0，所以費氏數列的一般項會趨近於 (1/√5)[(1+√5)/2]ⁿ，可視為比值為 (1+√5)/2 的等比數列。

有趣的幾何遊戲

邊長由費氏數構成的7個矩形：1x1、1x2、2x3、3x5、5x8、8x13、13x21，恰可被放入21x21的正方形裡。（電腦繪圖：姚裕評）

邊長由費氏數構成的6個正方形：1x1、1x1、2x2、3x3、5x5、8x8，恰可被放入8x13的矩形裡。（電腦繪圖：姚裕評）

　黃金比例只是費氏數列其中一個特性，費氏數列還有許多性質，例如奇數個邊長等於相鄰費氏數的矩形，可以被放進一個正方形裡，因為費氏數列滿足：

f₁ f₂ + f₂ f₃ + f₃ f₄ +……+ f_2n-1 f_2n

= f_2n ²　　（註2）

　若取前8項，可得：

　1x1 + 1x2 + 2x3 + 3x5 + 5x8 + 8x13 + 13x21 = 21²

　再將式子轉換成以1x1、1x2、2x3……為邊的7個矩形，它們恰可被放入 21x21 的正方形內（見右圖）。

　再如以相鄰費氏數為邊的矩形，可以被分割成若干個以費氏數為邊長的正方形，因為費氏數有以下關係：

f₁² + f₂² + f₃² + ……+ f_n²

= f_nf_n+1 　　（註3）

　若取 n=6，則以 f₆、f₇ 為邊，即8x13的矩形可以被分割成6個正方形（見右圖）。

　張鎮華表示，和費氏數列有關的數學式或例子不勝枚舉，不過有關費氏數列的研究多半是近100多年來 得到的結果，因為費伯納契對所提之兔子問題並沒有繼續深入研究，且《算盤之書》後來也少有人知道，直到法國盧卡斯（Edouard Lucas, 1842~1891）發現該數列的許多特性，人們才開始對它產生興趣，數學界更在1963年創辦《費伯納契季刊》，刊登各種與費氏數列有關的文章，而我們 也才知道這個極其簡單的數列，竟把許多風馬牛不相及的東西連繫起來。

註1：費氏數列一般項的推導過程可參考台大數學系教授賴東昇的《再談費氏數列》。

註2：利用費氏數列具有「後項等於前兩項之和」的關係，反覆置換其中項數。

f_2n² = f_2n（f_2n-1+f_2n-2）

= f_2nf_2n-1 + f_2nf_2n-2 = f_2nf_2n-1 +（f_2n-1+f_2n-2）f_2n-2

= f_2nf_2n-1 + f_2n-1 f_2n-2 + f_2n-2²

= f_2nf_2n-1 + f_2n-1 f_2n-2 + f_2n-2（f_2n-3+f_2n-4）=……

= f_2nf_2n-1 + f_2n-1 f_2n-2 + f_2n-2f_2n-3 +……+ f₄f₃ + f₃f₂ + f₂f₁

即 f₁f₂ + f₂f₃ + f₃f₄ +……+ f_2n-1f_2n = f_2n²。

註3：方法同註2。

f_n f_n+1 = f_n (f_n+ f_n-1)

= f_n²+ f_n f_n-1 = f_n² + f_n-1 (f_n-2 + f_n-1)

= f_n² + f_n-1² + f_n-2²+……+ f₂² + f₂ f₁

= f_n² + f_n-1² + f_n-2²+……+ f₂²+ f₁²

（因為 f₁ = f₂）

延伸閱讀
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《黃金比例1.61803……的祕密》，李維歐著，丘宏義譯，遠流出版

《生物世界的數學遊戲》，史都華著，蔡信行譯，天下文化出版

高三課本《數學》下冊