藍色情懷

圓形天花板、月球等任何與圓有關的東西，都暗藏著圓週率 π。（影像來源：http://www.sxc.hu）

　前陣子一個介紹太空新聞與知識的太空網（www.space.com）在討論一個問題：人類如何把自己介紹給外星人？有人建議圓週率 π 值是不錯的選擇。為什麼呢？透過 π 值，我們可以向外星人透露什麼訊息？

　對大多數人而言，圓週率 π 沒有太大的意義，然而，任何與圓、球有關的東西，諸如圓形天花板、瞳孔、露珠、車輪、月球等，都離不了圓週率，也許正因為它的無所不在，從古至今，總有數學家不放棄對它的追尋。

舊約聖經裡的 π

　人類對圓週率 π 的認識，最早應該是從圓面積而來。台灣師範大學數學系教授洪萬生表示，若只是畫圓，不需知道直徑與圓周的關係，也能利用類似圓規的工具畫出正圓；但計算圓面積時，必須考慮周長，人們才由此發現：任意畫圓，圓周長大約都是直徑的三倍。

　圓周長約為直徑三倍的記錄，最早可追溯到公元前約950年的《舊約聖經‧列王紀》，它提到所羅門王建宮殿時，鑄了一個「高5肘（單位名），直徑10肘，圍30肘」的圓柱形容器，可見當時已經明確知道圓周長約是直徑的三倍。

　更早的古埃及人也出現一份有關圓的資料，在阿美斯（Ahmes）的紙草文件（約1650年前）上，有一道題目是「求直徑為9 khet(1 khet≒50公尺)的圓面積」。當時古埃及人的計算方式如下：

　扣除直徑的1/9，亦即減去1 khet，剩下8 khet，8自乘得64，即為所求答案。

古埃及人認為圓面積等於邊長為直徑之8/9的正方形面積。（電腦繪圖：姚裕評）

　換言之，古埃及人的計算方式是把圓面積改以正方形計算，邊長取直徑之8/9，就是答案。至於怎麼求出此算法，至今仍是謎。這與正確的圓面積63.6174（半徑r=4.5，圓面積= π r ²）相比，答案已經相當接近。

阿基米德確定 π 為常數

　知道圓周長約是直徑的三倍與 π 為常數，是兩個完全不同的概念，因為在未證明 π 是常數之前，並不能斷言圓周長與直徑的比值不會隨著圓的大小而改變。目前留下來的數學文本中，最早觸及 π 為常數的，是公元前300年的古希臘數學家歐幾里得（Euclid ，約公元前330~260年），在他的《幾何原本》（Elements）中，證明了兩個圓面積的比就相當於直徑平方之比。

假設兩圓面積S、S'，其直徑分別為d與d'，則

S：S^'＝d²：d'²

　以現代的數學知識來看，上式可以寫成 S/d²＝S/d'²，也就是任何圓的 S/d² 均為定值，就可推得 π 為常數；然而，受當時知識的侷限，歐基裡得並不確定 S:d² 是否可以寫成 S/d²，而且他也沒有提到圓面積究竟如何計算，因此我們也不能確定歐幾里得證明了 π 是定值。

　不過有一點可以肯定的，比歐基裡得稍晚的古希臘科學家阿基米德（Archimedes，公元前287~212年）已經知道 S:d² 可寫為比值 S/d²，也證明圓面積公式為半周長乘半徑，因此他清楚知道圓周長與直徑的比是常數，也開始求 π 的近似值（π 為常數乃是求近似值的必要前提，因為若 π 不是常數，就沒有近似值可言）。

以「窮盡法」求 π 的近似值

　阿基米德估計π的近似值時，是採用「窮盡法」(method of exhaustion)慢慢逼近圓周長。根據「內接正n邊形的周長小於圓周，外切正n 邊形的周長大於圓周」，若使n 任意大，則兩個正多邊形的周長會接近圓，而圓週率就介於兩者之間。阿基米德從正六邊形出發（如下圖），先個別計算內接正六邊形與外切正六邊形的周長與圓的 直徑的比值，再計算正12邊形的周長與圓的直徑的比值，然後逐次加倍邊數，計算至96邊時，即得圓週率的近似值為：

內接正多邊形與外切正多邊形的邊數越多，其周長越接近圓周。（電腦繪圖：姚裕評）

3 10/71＜π＜3 1/7

改寫成小數形式，可得：

3.14084＜π＜3.142858

　由此可知，阿基米德求得的 π 值只精確到小數點第二位。到了公元1596年，荷蘭數學家萬科倫（Ludolph Van Ceulen，公元1540~1610年）採用阿基米德的方法，從正60邊形出發，計算到正60×2²⁹邊形，得出有32位小數的圓週率；1610年，他再次向正2⁶²邊形挑戰，求出35位小數的π 值。

π會停在小數點後幾位？

　儘管數學家以無比的毅力將 π 的小數點往後推，但結果始終有限。在代數符號（用字母代表未知數和已知數）出現後，數學家開始跳脫幾何的思維方式，試著找出與 π 有關的無窮級數或無窮連乘積，即令 π 等於一長串、有規律的式子相加或相乘，以計算 π 值。1593年，韋達（Francois Vieta, 公元1540~1603年）首度以無窮乘積描述圓週率：

　這個式子求得的圓週率雖然只精確到小數點後第10位，卻打破中國南朝數學家祖沖之（公元 429~500年）求到小數點後第7位、保持了1000年的紀錄。自韋達之後，有關 π 的無窮連乘積或無窮級數越來越多，如萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz，公元1646~1716年）提出：

歐拉（Leonhard Euler，公元1707~1783年）也寫出不少 π 的公式，如：

　1706 年，英國數學家梅欽（John Machin, 公元1680~1751年）建立了一個公式，將 π 值首度計算至小數點後第100位：

　近幾年，在電腦高速運算能力下，π 的精確值有了飛快的進展。數學家利用電腦計算 π 的無窮展開式，至1999年 π 值的紀錄已經超過2060億個小數位了！但到底 π 值會停在哪裡？洪萬生表示，π 永遠沒有最後一個小數位，因為1761年德國數學家朗伯特（Johann Heinrich Lambert）已經證明它是無理數，即它不可能被寫成兩個整數之比；若將它改寫成任何進位數的小數形式（譬如十進位或二進位），小數點之後的數字將有無 窮多個，並且不會循環。有些數學家試圖尋找小數點後的數字是否有規律性，但始終沒有驚人的發現，不過值得一提的是，他們統計出0到9這10個數字出現的機 率幾乎是一樣的。

　從古至今，數學家不斷將最新的數學知識運用到尋找 π 的特性或求其近似值，如早期的測量、比值、畢氏定理、窮盡法、幾何，到後來的代數、無窮級數等，對 π 的探索從未止歇。德國數學史家康托（Moritz Cantor，公元1829~1920年) 曾說︰「一個國家所算得的圓週率準確程度，可以做為衡量這個國家當時數學發展水準的指標。」或許在某種程度上，我們可以說 π 的小數位數與數學發展剛好是成正比關係。