藍色情懷

生：

西元1707年,瑞士-巴塞爾

卒：

西元1783年

國籍：

瑞士

著作：

《無窮微量分析入門》，《無窮小分析引論》（1748），《微分學原理》（1755），以及《積分學原理》（1768-1770）《寫給一個德國公主的信》 。

小故事：

歐拉

歐拉（Euler，Léonard，1707年4月15日—1783年9月18日）是瑞士數學家和物理學家。生於巴塞爾，卒於俄國聖彼德堡。出身牧師家 庭，自幼受父親教育。13歲人巴塞爾大學，15歲獲學士學位，16歲獲碩士學位。他上大學時就受到約翰．伯努尼（Johann Bernoulli）的特別指導，後專心數學研究，19歲（1726年）開始創作文章，一舉獲巴黎科學院獎金。1727年，由丹尼爾．伯努尼 （Daniel Bernoulli）舉薦，到聖彼德堡科學院工作。1731年成為物理學教授，1733年接替丹尼爾．伯努尼任數學教授。1741年受普魯士腓特烈大帝 （Frederick the Great）邀請到德國柏林科學院任物理數學所所長。1766年應俄國沙皇喀德林二世敦聘重回聖彼德堡，直至去世。 　 　歐拉是數學史上最多產的數學家，發表了500餘篇論文和教科書，另有350篇死後才發表，實際上論著幾乎涉及當時所有的數學分支。其主要貢獻有：出版 《無窮分析引論》（1748）、《微分學原理》（1755）和《積分學原理》（1768－1770）三部數學經典著作，擴展了微積分領域，為無窮級數、微 分方程、微分幾何學等分支和學科的產生與發展奠定了基礎；開創現代三角學和現代數論；並藉以對所有的數學分支進行了統一和系統化處理；還由解決柯尼斯堡七 橋問題而引發圖論分支的研究等等。他創用或提倡使用了大量先進的數學符號，得到許多重要的公式、定理和常數值。除創建純粹數學理論外，他還應用這些數學工 具去解決天文、物理、力學等方面的實際問題，取得巨大成果。 　 　歐拉以完成複雜計算的才智而聞名，在1735年因過度工作右眼失明，1771年又因病左眼失明，他以驚人的記憶力和心算技巧，在雙目失明之後仍堅持繼續 進行科學創作，以口授方式又完成幾百篇科學論文。此外，他扶植後學，關心教育，其高尚品德贏得後人的廣泛尊敬。而瑞士曾經以歐拉的肖像印在十瑞士法郎的紙 幣之上作為對他的尊崇。

歐拉是能在任何地方、任何條件下進行工作的幾個偉大數學家之一。他很喜歡孩子(他自己曾有13個，但除了5個以外，都很年輕就死了)。他寫論文時常常把一個嬰兒抱在膝上，而較大的孩子都圍著他玩。他寫作最難的數學作品時也令人難以置信的輕鬆。

 許多關於他才思橫溢的傳說流傳至今。有些無疑是誇張的，但據說歐拉確實常常在兩次叫他吃晚飯的半小時左右的時間裡趕出一篇數學論文。文章一寫完，就放到給 印刷者準備的不斷增高的稿子堆兒上。當科學院的學報需要材料時，印刷者便從這堆兒頂上拿走一旦。這樣一來，這些文章的發表日期就常常與寫作順序顛倒。由於 歐拉習慣於為了搞透或擴展他已經做過的東西而對一個課題反覆搞多次，這種惡果便顯得更嚴重，以至有時關於某課題的一系列文章發表順序完全相反。

哥尼斯堡七座橋問題

 原來在當時的東普魯士有一個小城鎮叫哥尼斯堡，有一條普雷格爾河橫貫市內，河中心有二個小島。在當時有七座橋把這小島和對岸聯結起來。
    在週末當地的市民喜歡在城裏蹓躂，有人曾想法子從家裏出發，走過所有的橋回到家裏，他們想是否能每座橋只走過一次。許多人試過都不成功。現在是否有一個方 法能走過?歐拉的朋友知道這個青年人很聰明，並且喜歡思考問題，就告訴他這個「哥尼斯堡七橋問題」，要他想法子解決。 歐拉並沒有跑到哥尼斯堡去走走。他把這個問題化成了這樣的問題來看:把二岸和小島縮成一點，橋化為邊，二個頂無有邊聯結，當且僅當(if and only if)這點代表的地區有橋聯結起來。這樣歐拉就得到了一個圖了。

歐拉如何解決「七橋問題」

 歐拉現在考慮這個圖是否能一筆畫完成，如果能夠的話，對應的「七橋問題」也就解決了。他先研究一般能一筆畫完成的圖應該具有什麼性質?他發現它們大體 上有二類，不是全都是偶點就是有二個奇點。 這個情形是可以這樣的看:如果一個圖能一筆畫成，那麼一定有一個起點開始畫，也有一個終點。有一條邊進這點，那麼就要有一條邊出去，不可能是有進無出，它 就會變成終點，也不可能有出無進，它就會變成起點。因此在「過路點」進出的邊總數應該是偶數，即「過路點」是偶點。如果起點和終點是同一點，那麼它也是屬 於「有進有出」的類型，因此必須是偶點，這樣圖上全體的點是偶點。 如果起點和終點是不一樣，那麼它們必須是奇點了。因此這圖最多只能有二個奇點。現在對應七橋問題的圖，所有的頂點都是奇點，共有四個，故這個圖肯定不能一 筆畫成。

Euler（1707～1783）生於 Basel，卒於聖彼得堡。瑞士數學家，貢獻遍及數學各領域，是數學史上最偉大的數學家之一，也是最多產的數學家。

Euler 生於公元1707年4月15日，但隨即其家庭就搬到 Basel 近郊的 Riehen。Euler 的父親 Paul Euler 是一名加爾文教派的教師，但他在大學求學期間與 John Bernoulli 的哥哥 Jacob Bernoulli 家住過並從 Jacob 身上學了不少數學。

Paul 希望 Euler 讀神學，但他卻犯了最大的錯誤， 在 Euler 很小的時候便教他數學，挑動了他內心中的數學靈魂。Paul期望Euler成為神學家， 但是他最好的朋友卻是大數學家 John Bernoulli。Paul 計劃 Euler 將來成為牧師傳道、宣揚聖經真理， 但 Euler 讀大學時所接觸卻是 Bernoulli 家族這個宣傳數學真理的家族。Paul 只是希望其兒子成為 Riehen 的牧師。但 John Bernoulli 卻跟他勸說「Euler 註定要成為大數學家，而非 Riehen 的牧師。」我們感謝上帝 ，因為 Paul 的信仰並沒有使他走火入魔，把自己的旨意當作上帝的旨意。最後 Paul 終於在 John Bernoulli 之勸說同意 Euler 攻讀數學。從此展開他燦爛的學術生涯，並成為數學史上最偉大的數學家之一。

Euler 的數學生涯開始於牛頓去世的那一年。這實在是一個不可多得的時代，解析幾何、 微積分的發展已達到某種程度，並被應用到不同領域的問題。更重要的是牛頓的萬有引力定律已經是天文、物理學的基礎。 並進而是研究各類物理問題不可或缺的工具。Euler躬逢其時，再加上自身的才華，逐一對整個數學 ─純數學與應用數學─進行有系統的研究。

Euler對於數學的貢獻是全面性的，從數論到分析，無論抽象或應用，基本上我們可以稱他是一個百科全書型的數學家。

「他是有史以來瑞士最多產的科學家，也是一個不可思議的數學幻想家，他在任何領域都能發現數學， 在任何情況都能進行研究。…」

對筆者而言 Euler 是我個人最喜歡的數學家。原因是 Euler 做了一些跟他才能相當的偉大數學家從沒做過的事，就是：他解釋了他是如何發現他的結果。這可由他所寫的教科書《無窮微量分析入門》視出端倪。他在這套書中 將指數與對數函數兩者立在相等的基礎上，而再用分析（微積分）的技巧來各自發展。 這套教科書另一個重要工作則是連分數。做為教科書對數學分析的影響， 這套書可媲美歐幾里得（Euclid）的《原本》。

Euler 一生都是在科學院度過。首先是在俄國的聖彼得堡科學院，1740年後則在柏林科學院待到59歲。由於與腓特列大帝相處的問題，離開柏林，接受凱薩琳女皇二 世邀請再次前往聖彼得堡，一直到他過世（1783年）。科學院的工作讓他可以專心研究數學，不必為了任何政治服務，更不需為了一堆申請表格而耗費生命，全 心全意地將整個生命投入，就好像宣教師將他的生命奉獻給上帝一般。一個將數學視為生命的人絕對不同於將數學視為職業的人。正如法國數學家 Arago 所描述， Euler 以其超乎想像的能力進行重要的數學研究，其感覺就好像呼吸那麼自然，如鷹展翅在空中翱翔那麼容易。

相對於牛頓的內向、退縮、神經質，Euler 則是樂觀且仁慈寬厚，甚至在1771年眼睛完全瞎掉，仍保有樂觀的性格，雖然在幾乎完全失明之下，Euler 仍藉由口述給他的助理（實際上就是他的兒子 Albert Euler）， 來繼續未曾停歇的數學創作。在後來的17年間 Euler 繼續發展著數學，如果說有什麼不同，那就是他比以前更多產。他的智慧使他巧妙地把握各種概念和想法而無需將它們書寫在紙上，他非凡的記憶力，使他的頭腦有如一個堆滿知識的圖書館。

Euler 對於數學的貢獻，我們無法在此一一個數，其中我個人第一次對 Euler 有深刻印象是 Euler 公式

這是關於三角函數最漂亮的公式之一，同時也是三角函數與複數間的橋樑，若令， 則有

Euler 與牛頓，Leibniz 都是屬於新數學理論的開拓者，有人將 Euler、Gauss、Riemann 在數學的地位比喻為樂壇上的三 B：巴哈、貝多芬、布拉姆斯，但有人將Euler 比擬為數學界的莎士比亞：

普世性、鉅細靡遺、取之不盡、用之不竭。

雖然 Euler 過世有兩百多年，但他今天仍然活在數學的每個角落。當你接近他的時候會感受到一股親切的溫柔。

Read Euler, read Euler, he is the master of us all.

P.-S.de Laplace

以下為歐拉的一些重要研究

歐拉線

首先提出三角形內的外心、重心、垂心在一直線上，此線稱為尤拉線。

歐拉定理

在一封閉的多面體內，其頂角數 v，邊數 e 和面數 f 有一個關係式：v ＋ f － e ＝ 2，此稱尤拉定理。

數學符號

許多現在我們習用的數學符號都出自尤拉的首創：

１、以 f ( x ) 表示函數符號
２、以 Σ 表示求和符號
３、以 e 表示自然對數底
４、以 i 表示虛數單位
５、以 a、b、c 表示 △ABC 之三邊長
６、以 S 表示三角形之半周長

歐拉公式
尤拉公式 e^ix ＝ cos x + i sin x 是複數的一個重要公式。

歐拉趣聞

 
尤拉有驚人的記憶力。有一晚他睡不著覺，就在腦中計算了 1～100 的 6 次方，幾天以後還記得整個表。他數值計算能力之高可由他反證了費瑪的一個猜測看出，費瑪說，有形如 的數都是質數；尤拉在1732年說：「不對」。 是 4 , 294 , 967 , 297 它可分解成 6 , 700 , 417 乘上 641。

歐拉是數學史上著名的數學家，他在數論、幾何學、天文數學、微積分等好幾個數學的分支領域中都取得了出色的成就。不過，這個大數學家在孩提時代卻一點也不討老師的喜歡，他是一個被學校除了名的小學生。 

      事情是因為星星而引起的。 當時，小歐拉在一個教會學校裡讀書。有一次，他向老師提問，天上有多少顆星星。老師是個神學的信徒，他不知道天上究竟有多少顆星，聖經上也沒有回答過。其 實，天上的星星數不清，是無限的。我們的肉眼可見的星星也有幾千顆。這個老師不懂裝懂，回答歐拉說：「天上有多少顆星星，這無關緊要，只要知道天上的星星 是上帝鑲嵌上去的就夠了。」

        歐拉感到很奇怪：「天那麼大，那麼高，地上沒有扶梯，上帝是怎麼把星星一顆一顆鑲嵌到一在幕上的呢？上帝親自把它們一顆一顆地放在天幕，他為什麼忘記了 星星的數目呢？上帝會不會太粗心了 呢？」                                                             

     他向老師提出了心中的疑問，老師又一次被問住了，漲紅了臉，不知如何回答才好。老師的心中頓時升起一股怒氣，這不僅是因為一個才上學的孩子向老師問出了 這樣的問題，使老師下不了台，更主要的是，老師把上帝看得高於一切。小歐拉居然責怪上帝為什麼沒有記住星星的數目，言外之意是對萬能的上帝提出了懷疑。在 老師的心目中，這可是個嚴重的問題。

    在歐拉的年代，對上帝是絕對不能懷疑的，人們只能做思想的奴隸，絕對不允許自由思考。小歐拉沒有與教會、與上帝"保持一致"，老師就讓他離開學校回家。但 是，在小歐拉心中，上帝神聖的光環消失了。他想，上帝是個窩囊廢，他怎麼連天上的星星也記不住？他又想，上帝是個獨裁者，連提出問題都成了罪。他又想，上 帝也許是個別人編造出來的傢伙，根本就不存在。 

        回家後無事，他就幫助爸爸放羊，成了一個牧童。他一面放羊，一面讀書。他讀的書中，有不少數學書。 

       爸爸的羊群漸漸增多了，達到了100只。原來的羊圈有點小了，爸爸決定建造一個新的羊圈。他用尺量出了一塊長方形的土地，長40米，寬15米，他一算，面 積正好是600平方米，平均每一頭羊佔地6平方米。正打算動工的時候，他發現他的材料只夠圍100米的籬笆，不夠用。若要圍成長40米，寬15米的羊圈， 其周長將是110米（15+15+40+40=110）父親感到很為難，若要按原計劃建造，就要再添10米長的材料；要是縮小面積，每頭羊的面積就會小於 6平方米。

         小歐拉卻向父親說，不用縮小羊圈，也不用擔心每頭羊的領地會小於原來的計劃。他有辦法。父親不相信小歐拉會有辦法，聽了沒有理他。小歐拉急了，大聲說，只有稍稍移動一下羊圈的樁子就行了。 

         父親聽了直搖頭，心想：「世界上哪有這樣便宜的事情？」但是，小歐拉卻堅持說，他一定能兩全齊美。父親終於同意讓兒子試試看。

 
     小歐拉見父親同意了，站起身來，跑到準備動工的羊圈旁。他以一個木樁為中心，將原來的40米邊長截短，縮短到25米。父親著急了，說：「那怎麼成呢？那怎 麼成呢？這個羊圈太小了，太小了。」小歐拉也不回答，跑到另一條邊上，將原來15米的邊長延長，又增加了10米，變成了25米。經這樣一改，原來計劃中的 羊圈變成了一個25米邊長的正方形。然後，小歐拉很自信地對爸爸說：「現在，籬笆也夠了，面積也夠了。」

       父親照著小歐拉設計的羊圈紮上了籬笆，100米長的籬笆真的夠了，不多不少，全部用光。面積也足夠了，而且還稍稍大了一些。父親心裡感到非常高興。孩子比自己聰明，真會動腦筋，將來一定大有出息。

       父親感到，讓這麼聰明的孩子放羊實在是可惜了。後來，他想辦法讓小歐拉認識了一個大數學家伯努利。通過這位數學家的推薦，1720年，小歐拉成了巴塞爾大學的大學生。這一年，小歐拉13歲，是這所大學最年輕的大學生。

有關π

尤拉導出的 π 的平方的許多公式。

平方倒數之級數

( 1 / 1² ) + ( 1 / 2² ) + ( 1 / 3² ) + …　　　　　　　　(1)

困擾數學家有幾十年之久。萊比尼茲，微積分的共同發明人，就想不出方法求它的和。傑可士伯努利一世，證明了它是收斂的，但也求不出和來。但尤拉在1736年衝破難關。牛頓早已知道級數

sin x ＝ x - ( x³ / 3! ) + ( x⁵ / 5! ) - ( x⁷ / 7! ) + … (2)

尤拉以 x² ＝ y代入，把方程式

sin x ＝ 0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)

看成一個無限次的方程式，當 y ≠ 0 而得出

1 - ( y / 3! ) + ( y² / 5! ) - ( y³ / 7! ) + … ＝ 0　　　　　(4)

但是方程式 (3) 的根是 0、± π、± 2π、± 3π、…，所以方程式 (4) 的根是 π²、( 2π )²、( 3π )²、… ( 0 要刪去 )，由高等代數中的方程式論可知一次項係數之負數是方程式的根之倒數和，所以

( 1 / π² ) + ( 1 / 4π² ) + ( 1 / 9π² ) + … ＝ 1 / 3!

或 ( 1 / 1² ) + ( 1 / 2² ) + ( 1 / 3² ) + … ＝ ( π² / 6 )　　 (5)

這不僅一舉掃光了其他人的煩惱，還額外得到 π² 的級數表示。尤拉當然不會就此打住，利用餘弦的級數重複以上步驟，他發現了

( π² / 8 ) ＝ ( 1 / 1² ) + ( 1 / 3² ) + ( 1 / 5² ) + …　　　　(6)

由 (5) 式減去 (6) 式的兩倍，他得出

( π² / 12 ) ＝ ( 1 / 1² ) - ( 1 / 2² ) + ( 1 / 3² ) - ( 1 / 4² ) + …(7)

把這推廣到任意偶次方的倒數和，即考慮由 1 / J2k ( J ＝ 1、2、3、… ) 組成的級數，尤拉發現一個和伯努利數有關的一般公式，並寫出特別情況，從

( 1 / 14 ) + ( 1 / 24 ) + ( 1 / 34 ) + … ＝ 22 π4 / 5!‧3 (8)

直到( 1 / 126 ) + ( 1 / 226 ) + ( 1 / 326 ) + … ＝ 224‧76977927‧π26 / 27! 　　　　 　　　 　 　(9)

為了計算 π 的對數，尤拉找到了，π 的偶次方的無限乘積，譬如( π² / 6 ) ＝ ( 2² / 2² - 1 )‧( 3² / 3² - 1 )‧( 5² / 5² - 1 ) ‧( 7² / 7² - 1 ) …　　　　　　　　　 　 (10)

尤拉導出了公式arctan ( 1 / p ) ＝ arctan ( 1 / p + q ) + arctan ( q / p² + q + 1 )　　　　　　　　　　　　　　　(11)

及

arctan ( x / y ) ＝ arctan ( ax - y / ay - x ) + arctan ( b - a / ab + 1 ) + arctan ( c - b / cb + 1 ) + … 　 (12)

這可以給我們無數個 π 的關係式，要多少有多少。譬如說，a、b、c … 以奇數代入，則得π / 4 ＝ arctan ( 1 / 2 ) + arctan ( 1 / 8 ) + arctan ( 1 / 18 ) + …　　　　　 (13)

這些公式都是反正切的級數，尤拉從其中找到一些比其他的收斂更快的，即

arctan x ＝ ( y / x )〔 1 + ( 2 / 3 ) y + ( 2‧4 / 3‧5 ) y² + ( 2‧4‧6 / 3‧5‧7 ) y³ + …〕　　　 (14)

其中 y ＝ x² / ( 1 + x² )

利用如下形式的 Machin 的妙招

π ＝ 20 arctan ( 1 / 7 ) + 8 arctan ( 3 / 79 ) (15)

其中兩個項用 (14) 求值，尤拉在一個小時內算出了 π 到 20 位小數。

這只是尤拉所發現的 π 的許多表示方法中的幾個例子罷了。由於尤拉處理這些與 π 相關的問題非常詳盡，日後就沒有人算出比他還更精確的數值來，在 π 的歷史上，如果只就其數值估計而言，他的結果可算是空前絕後了。

連分數
尤拉也導出了以下的連分數，而為後來研究 π 的無理性以及超越性的人奠下根基：

　　



　　 ( 雙曲正切 )


　　

曲面論

在1760年歐拉建立了曲面論，這是他在微分幾何這一方面最大的貢獻。他提出曲面二主曲率 k₁、k₂：

令曲面為 z ＝ f ( x，y )，規定

首先求出平面任意切曲面所得曲線的曲率半徑。然後令該平面為過一法線的平面，所得曲線稱為法線段，再後令該平面為過法線且與 xy 平面垂直，所得曲線稱為主法線段。當法線段的平面與主法線段平面成角度 φ 時，法線段的曲率半徑為 1 / ( L + Mcos2φ + Nsin2 φ )，其中 L、M、N 為 x、y 之函數。

設最大和最小法線段的曲率分別為 k₁、k₂，則 k₁、k₂ 為 tan2 φ ＝ N / M 的二根，k₁ － k₂=90°，即為互相垂直的法線段平面。稱該對應二曲率  k₁、k₂ 為二主曲率。若一法線段 k₁ 與 k₂ 法線段夾角為 a，則 k ＝ k₁cos²α +k₂sin²α。

曲面論主要為了解決可展面問題 (如何將曲面不歪曲地展成平面 ) 而引起。尤拉證得：

曲面 x = x ( t , u )，y = y ( t , u )，z = z ( t , u ) 為可展面的充要條件是：

l² + m² + n² ＝ 1 , a² + b² + c² ＝ 1 , la + mb + nc ＝ 0 ，其中

費馬大問題

費馬最後問題 ( 又稱費馬大問題 )：xⁿ + yⁿ ＝ zⁿ，n ≧ 3 時，沒有正整

數解。尤拉證得當 n ＝ 3和 n ＝ 4 時，費馬的大問題是正確的。

週期簡連分式

尤拉發現任一個二次無理數，a + √b，a，b 為有理數，都可以表示成週期簡連分式。如

歐拉常數γ

歐拉常數γ是怎麼來的呢？他考慮

log ( 1 + 1 / x ) ＝ ( 1 / x ) - ( 1 / 2x² ) + ( 1 / 3x³ ) - ( 1 / 4x⁴ ) + …

得 1 / x ＝ log ( x + 1 / x ) + ( 1 / 2x² ) + ( 1 / 3x³ ) + ( 1 / 4 x⁴ ) - …

上式中令 x ＝ 1、2、3、…，n得

1 / 1 ＝ log2 + ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) + ( 1 / 4 ) - ( 1 / 5 ) + …

1 / 2 ＝ log ( 3 / 2 ) + ( 1 / 2‧4 ) - ( 1 / 3‧8 ) + ( 1 / 4‧16 ) - ( 1 / 5‧32 ) + …

1 / 3 ＝ log ( 4 / 3 ) + ( 1 / 2‧9 ) - ( 1 / 3‧27 ) + ( 1 / 4‧81 ) - ( 1 / 5‧243 ) + …

：

1 / n ＝ log〔 ( n + 1 ) / n 〕+ ( 1 / 2n² ) - ( 1 / 3n³ ) + ( 1 / 4n⁴ ) - ( 1 / 5n⁵ ) + …

兩邊相加得：

1 + ( 1 / 2 ) + ( 1 / 3 ) + … + ( 1 / n ) ＝ log ( n + 1 ) + ( 1 / 2 ) ( 1+ 1 / 4 + 1 / 9 + … + 1 / n² ) - ( 1 / 3 ) ( 1 + 1 / 8 + 1 / 27 + … + 1 / n³ ) + ( 1 / 4 ) ( 1 + 1 / 16 + 1 / 81 + … + 1 / n⁴ ) + ……

設γ＝ ( 1 / 2 ) ( 1 + 1 / 4 + 1 / 9 + … + 1 / n² ) - ( 1 / 3 ) ( 1 + 1 / 8 + 1 / 27 + … + 1 / n³ ) + ( 1 / 4 ) ( 1 + 1 / 16 + 1 / 81 + … + 1 / n⁴ ) + ……，n → ∞

則γ＝ 1 + 1 / 2 + 1 / 3 + … + 1 / n - log ( n - 1 ) ，n → ∞

利用

規定γ＝ 1 + 1 / 2 + 1 / 3 + … + 1 / n - log n ，n → ∞

歐拉算得的歐拉常數γ近似值為 0.577218。到今天我們還不知道γ為有理數或無理數。歐拉解微分方程式 y" + k²y ＝ z ( x ) 來折算木星和土星互相間的擾亂，得法國科學院獎。

微分方程

 
歐拉在1728年研究單擺在有抵抗力媒介體上運動，或一拋射體在空氣中運動時，得二階微分方程式：

( dy / dx )^p-2 ( d²y / dx² ) ＝ ( ax^m / yⁿ ) ( a )

歐拉解 ( a ) 時，利用變換變數

y ＝ e^v t ( v )，x ＝ e^αv   ( b )

其中 α 為待定常數。由 ( b ) 算出 ( dy / dx )、( d²y / dx² ) 代入 ( a ) 得 t 對 v 的二次微分方程式。令 α 使得其中指數項可去掉，再利用 z ＝ ( dv / dt ) ，可將二階微分方程式降為一階微分方程式。本法首創用指數函數做變換變數，大為刺激二階微分方程的研究。

函數定義

歐拉在1755年定義：若 y 量隨著 x 量之變而變時，稱 y 為 x 的函數。

變分學

歐拉對變分學的貢獻：

歐拉極小化 J：

得 y ( x ) 滿足微分方程式

f_y － ( d / dx ) ( f_y' ) ＝ 0

利用鏈法則得

f_y － f_y'x－f_{y'y  y′}－f_{y'y'  y〞}＝ 0

這兩個非二階線性常微分方程式，是變分學基本微分方程式。

歐拉考慮平面上兩固定點 P_o ( x_o , y_o )、P₁ ( x₁  , y₁ )。y ( x ) 為 P_o 到 P₁ 的一曲線。y ( x ) 繞 x 軸旋轉。問得最小旋轉面時的 y ( x ) 為何？這問題是極小化 A：

歐拉證得當 y ＝ f ( x ) 為垂鍊線弧 ( Catenary ) 時，旋轉面最小。歐拉證法是幾何與分析合用。

1.數學家和數學家的故事1(六藝出版社)

2.數學家的性格

3.思想與功績(北京師範大學出版社)

4.歐拉（Leonhard Euler )的故事！