藍色情懷

今日數學家

亨利．嘉當 Henri Cartan(born July 8, 1904, Nancy, France)

Nicholas Bourbaki的嘉當,H. Henri Cartan─他與S.艾倫伯格合著的<<同調代數學>>(1956)成為經典著作，推動了同調代數在代數幾何學和解析幾何學以及代數數論等學科上的應用。最早的工作是在單複變函數方面，在博士論文中證明了布洛赫猜想的不等式並加以推廣。不久轉入多複變函數論的研究。30年代他證明了「全純域一定是偽凸域」這一重要結果。50年代他利用全新的方法把單複變函數論中的一些重要結果推廣到多複變量的情形。他與S.艾倫伯格合著的<<同調代數學>>(1956)成為經典著作，推動了同調代數在代數幾何學和解析幾何學以及代數數論等學科上的應用。 著作：<<解析函數論初>>

　　函數論是數學研究中的一個十分重要的領域。其中包括兩大分支；
一是實變函數論（研究以實數作為自變量的函數）：另一是複變函數論
（研究以複數作為自變量的函數）．本章主要介紹一下複變函數論。

一、複變函數的基本涵義

　　複數起源於求代數方程的根。在二次、三次代數方程求根的公式中
獻出現了形為的一類數，其中a、b是實數，稱虛數。人們
習慣以i表示，並且稱a+bi為複數。

　　在函數中如果以複數作為自變量，則這類函數就叫做複變函數。複
變函數論主要研究複數域上的解析函數；解析函數是複變函數中的一類
具有解析性質的函數。因此，複變函數論也叫作解析函數論。

　　在複變函數論中，把在Z₀點的某一領域之內的一切點都具有導數的
那種函數叫作在Z₀點解析的函數。

　　從函數的一般定義出發，如果存在一種規律，使我們根據己經給出
的複數值Z 可以算出複數值W ，我們就說W 是複數Z 的函數。

　　對於每一複數Z=X+yi可以用平面xoy上的點(x,y)來表示，對於數W=u+vi
就用uov(>函數平面)上的點來表示。於是從幾何的觀點看，複數函數

w=f(z)

　　在變數平面xoy上的點和函數平面uov的點之間建立了一個對應關係
，即變函數給變數平面到函數平面上建立了一個映象．出於給定一個複
變數函數和給定兩個實變函數

是等價的，顯然有 比如說，假設 那麼

二、複變函數的產生和發展簡史

　　複數概念早在16世紀己經出現，但對複數的全面掌握和廣泛運用，
卻遲至18世紀。三、四十年代，歐拉就己經利用冪級數詳細討論過初等
復變函數的性質。1777年 3月，歐拉向彼得堡科學院提交一篇論文。論
文中考慮了複變函數的積分，其中滿足方程

　　比歐拉更早，達朗貝爾在1752年關於流體力學的論文中已經得到這
兩個方程。有的教科書稱這兩個方程為達朗貝爾—歐拉方程。

　　到了19世紀，上述兩個方程由柯西和黎曼在研究流體力學的時候，
對它作了更詳細的研究，所以這兩個方程更多的是被叫做柯西—黎曼條
件，或柯西－黎曼方程，並且用柯西、黎曼的英文字頭(C、R)簡寫成
"C-R"條件。 (Cauchy-Rimann equation)

　　拉普拉斯也考慮過複變函數的積分，他和歐拉，達朗貝爾是複變函
數論的先驅。

　　複變函數論的全面發展是在19世紀。柯西，黎曼，維爾斯特拉斯三
位大數學家作了奠基性的工作，1825年，柯西在《論虛限定積分》中討
論了定積分

　　並且在1831年推出了以柯西名字命名的著名積分公式：

　　其中C 是區域D 上的邊界，而Z 是D 內的任意一點。他在此基礎上
建立了一整套複變函數的微分、積分理論。

　　黎曼1851年的論文奠定了複變函數論的基礎，他推廣單值解析函數
到多值解析函數。引入黎曼曲面的重要概念。確立了複變函數的幾何理
論基礎。他得到黎曼－羅赫定理。對後來的發展具有深遠的影響。黎曼
還對保角映射，橢圓函數論、多周期函數，以及偏微分方程、數論等方
面都作出了開創性的貢獻。

　　維爾斯特拉斯和柯西、黎曼完全不同，他徹底擺脫了幾何直觀，以
冪級數為工具，定義解析函數是可以展開成冪級數的函數，圍繞奇點來
研究複變函數的性質，他在解析開拓和橢圓函數論方面也有很重要的貢
獻。橢圓函數論是和複變函數的基礎理論平行地發展起來的。

　　近幾十年來，複變函數論又有了很大的進展，維爾斯特拉斯的學生
，瑞典數學家列夫勒、法國數學家龐加菜、阿達馬Uacques-Salomon Had-amard
，(1865--1963)都做了大量的研究工作，開拓了複變函數的更廣闊的領
域，為這門學科的發展做了大量工作。

　　近年來，我國數學家楊樂、張廣厚在單複變函數的值的分布理論和
漸近值理論的研究中取得了具有世界水平的成果，他們的研究進一步充
實了複變函數論的理論。

三、複變函數論的基本內容

　　對複變函數的研究，可以分為單複變函數論和多複變函數論。所謂
單複變函數論主要討論的是定義在複數平面上的函數的何學的研究中產
生出來的。

　　複變函數論中的這部分用幾何方法來說明，解決問題的內容，一般
又叫做幾何函數論。

柯西積分

　　基於最後的定理我們能證明下面柯西的基本公式，此公式表示於一
閉圍線的內點一個可微分的函數之值可用函數本身沿此圍線之值表示之
。

可微分函數展成冪級數

　　假設以A 為圓心的圓內及圓周上，是到處可微分的，則
能展成泰勒級數

^，

而此級數收斂於圓內。

整函數

　　在所有解析函數中，自然的挑選那些對於所有有限值都能解析的函
數。這種函數以冪級數表之時，對所有變數z 都收斂稱之為z 的整函數。

解析函數的唯一性

　　假設兩解析函數f(z)及g(z)定義於同一領域D ，且對於在D 內之某
曲線C 上之所有z 點，f(z)=g(z)，則於D 內之任一z 點f(z)=g(z)。

留數理論

　　留數理論是複變函數論中一個重要的理論。留數也叫做殘數，它的
定義比較復雜，這裡只能簡單地解釋一下它的概念。如果Z=a 是f(z)的
孤立奇點，那麼f(z)/2 i沿圓心在a 的小圓周的積分就叫做f(2)在a 點
的留數。

　　應用留數理論使某些複變函數積分的計算十分方便。某些實變函數
的積分，可以化為複變函數沿閉回路曲線曲積分，再用留數基本定理化
為被積分函數在閉回路曲線內部孤立奇點上求留數的計算，當奇點是極
點時，計算更加簡便，還可以用它將整函數展開為無窮乘積。它對穩定
性理論、漸近估計等分支亦有影響。

廣義解析函數論

　　把單值解析函數的一些條件適當加以改變和補充，以滿足實際研究
工作的需要，這種經過改變的解析函數叫做廣義解析函數，廣義解析函
數所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。

　　解析函數的一些基本性質，只要稍加改變以後，同樣適用於廣義解
析函數。

　　廣義解析函數的應用範圍很廣泛，不但應用在流體力學的研究方面
，而且像薄殼理論這樣的固體力學部門也有應用，因此近年來這方面的
理論發展十分迅速。

　　以上講的，都是經典的單複變函數的基本內容。

多複變函數論

　　多複變函數論是研究多個複變量的解析函數的性質和結構的分支學
科，有時也稱多複分析。它在研究的重點和方法上，都和單複變函數論
有顯著的區別。因為多複變函數的性質在很大程度上由定義區域的幾何
和拓撲性質所制約，因此，其研究的重點經歷了一個由局部性質到整體
性質的逐步轉移。它廣泛地使用著微分幾何、代數幾何、拓撲學、微分
方程等的概念和方法，不斷地開闢新的領域。

　　20世紀初，龐加菜、庫辛、哈託格斯等人的工作，揭示了多複變解
析函數本質上的獨特性。在這當中，庫辛提出的關於解析函數整體性質
的兩個以他的名字命名的問題，利維提此的擬凸域和正則域是否等價的
問題，更有深遠的影響，成為多複變函數發展的一個推動因素。20世紀
30年代，多複變函數研究的初步繁榮，出現嘉當(Henri Cartan l904~
，法國數學家）關於解析自同構的唯一性定理，有界域解析自同構群的
李群性質以及正則域與正則凸的等價性的嘉當－圖倫定理等突出成果。
特別是從1936年開始，日本數學家岡潔對庫辛問題、列維問題、逼近問
題等多複變函數的中心問題進行了係統研究，於50年代對上述問題給出
了解答，對多複變的發展有著重大的影響50年代後多複變函數論出現用
拓撲方法和幾何方法研究解析函數的整體性質的趨勢，勒雷引進的層和
上同調概念與嘉當的解析函數理想理論以及同岡潔的思想相結合，導致
了凝聚解析層理論的建立。與此同時，複空間和施泰因流形的概念也應
運而生。60年代，微分幾何與複分析相結合，產生了複流形，成為多複
分析的一個有力工具。近年來，多複變函數論的研究更多地偏向於複幾
何及與數學物理有關的一些問題。

四、複變函數的應用

　　複變函數論在應用方面，涉及面很廣，有很多複雜的計算都用它來
解決。比如物理學上有很多不同的穩定平面場，所謂場就是每點對應有
物理量（溫度、速度．電勢等）的一個區域，對它們的計算就是通過複
變函數的理論來解決的。

　　比較典型的應用例子，是俄國儒可夫斯基的研究，他以著名的儒可
夫斯基函數為出發點，成功地解決了飛機機翼的結構間
題．在流體力學和航空動力學方面，他運用複變函數論也作出了貢獻。

　　複變函數論不但在其它學科得到廣泛的應用，而且在數學領域裡，
許多分支也都應用它的理論，它己經深入到微分方程、積分方程、概率
論和數論等學科，對它們的發展有很大影響。

五、結論

　　解析函數論之發生與解代數方程式之問題有關，但是當它發展以後
，它經常與數學更新的分支有接觸、它闡明發生在解析力學及數學物理
之函數的基本類型。許多解析的中心事實唯有用複數域最後才能使得顯
明。一複變數的函數在流體力學及電動力學之重要的向量場內，有了一
個直接的實際解說，以及對於這些科學分支所引起的問題之解供給一個
特殊的工具。函數論與熱導體論、彈力論等等內之問題間已被發現有關
係。

　　在微分方程式論內之一般問題，以及他們的解之特殊方法時常被視
為一複變數函數論擴大的基礎。解析函數自然的加入積分方程式論及一
般線性算子論內。解析函氐數論與幾何之密切關係已被發現。所有這些
函數論與科學及數學之新領域的經常廣泛之關係，顯示函數論的持久性
及其問題範圍之連續不斷的擴張。

　　在通盤考察中，我們尚不能夠對於函數論的所有多方向的支派給予
一個完整的說明。我們僅僅設法用指出對於某些理論已變動之各種不同
基本方向的基本事時實，給予其問題有很大變化之特徵的某些觀念。函
數論還與微分方程式論及特殊的函數，與橢圓及自守函數，與三角級數
論，以及與許多數學的其他分支有關係。這些關係在我們的討論中已完
全的被忽視。在其他的方面我們僅用最簡明的說明，但是我們希望此概
觀將給予讀譭者複變數函數論之意義及特性之一般觀念。

參考書籍

1. 數學之內容方法及意義(二)　傅溥、潘壽山、繆龍驥編著
2. 數學史與數學家
3. 數學五千年　劉健飛、張正齊編著
4. 現代數學思想概論　孔慧英、梅智超編著