| 今日數學家 |
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| 羅素 Bertrand Russell (18 May 1872 – 2 February 1970) |
| 當年今日數學家 | |||||||||||||||||||||
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Bertrand Russell(伯特蘭．羅素)曾經說「不能根據從事科學活動的人相信什麼來評判他是不是一個科學家，而要根據他如何和為什麼相信。科學家的信念是嘗試性的、非教條的，他們以證據為基礎，而不以權威或直覺為基礎。」
羅素（Bertrand Russell）：「在我們批判別人之前，先要有一種『假設的同情』。」
| 把數學建立於集合論上 |
數學系統原本非常複雜，19世紀的一大成就，就是把這個數學系統簡約了。
數學討論的對象本來是「數」和「形」。「形」是幾何學討論的範圍，但是幾何可以座標化，
例如：在平面幾何中，如果我們把以 (x,y) 為座標的點直接看成實數對 (x,y)，我們便可以省掉「形」的觀念，而直接以實數來討論它了。至於實數，Dedekind 和 Cantor 在19世紀中葉各引入一套實數的理論，
以有理數為素材把實數建構出來，有理數 
可以想成整數對 (m,n)，其中 
；若 (m',n') 為另一個這種整數對，則當 mn'=m'n 時，我們把 和 
看成等同，這樣我們便可以用整數為素材把有理數建構出來了，至於整數，也可以用類似的方法從正整數建構出來。如此我們可以把整個數學建立在正整數上。
在19世紀中葉，Cantor 創立了集合論。根據他的說法，當我們把一些清晰可分的，客觀世界中或我們思想中的事物，看成一體時，這整體便稱之為「集合」，其中的事物稱為它的「元素」。若 x 是集合 A 的元素，我們便用符號 
表示；若 x 不是集合 A 的元素。則以 
表示；而不包含任何元素的集合叫「空集合」。
通常用符號 
表示它，空集合和數系中的 0 相當。由元素 a,b,c 為元素的集合，可以用符號 {a,b,c} 表示。有了這些準備以後，我們就可以把正整數的系統建立在集合論上，方法是：
, 1={0}, 2={0,1}, 3={0,1,2}，如此整個數學便可以建立在集合論上了。
| 數學的崩塌與重建 |
20世紀初，集合論出現了很難解決的「悖理」(paradox)。
其中一個是1902年由羅素（Bertrand Russell，圖一）所提出的，
我們可以在這裡覆述：如上面整數的定義，集合的元素可以也是集合，
有些集合可以以其本身為元素，例如:如果以所有集合為元素所成的集合 U，
便符合 
的條件。但一般的集合，例如：中央大學的所有同學的集合 V，
便不是它本身的元素 (
)。
現在我們用 A 表示所有不以本身為元素的集合所成的集合，
即若 ，則 x 是一個集合，且 
，現在我們問 
是否成立。若 ，是 A 具有 A 的元素的性質，
即 
了。這是矛盾；反之，若 
，
則 A 不具有 A 的元素的性質。這便是說 不成立，
這也是矛盾。但 和 二者之一必成立，所以矛盾是躲不掉的，
這樣就形成了「悖理」。
圖一：羅素提出的悖理，使數學面臨崩塌的危機 |
這樣的悖理造成數學界的大地震，因為整個數學的建構是以集合論為基礎的。所以數學需要重建，第一步便是重建集合論，這就是20世紀前半很多數學家和數理哲 學家所做的工作。基本上，問題出在 Cantor 給集合所下的定義不夠嚴謹，我們必須重新出發，把集合與整數等觀念看成紙上的符號，再說明哪些符號串有意義，在有意義的符號串上允許哪些變換等等。這樣便 可以把上述各種悖理的問題同時解決。這種討論非常專門，參考資料[1]和[2]有較完善的說明，有興趣的讀者不妨一讀。
| Bourbaki 與新數學 |
1950年前後，一群法國數學家決定以集合論為基礎，用純演繹的方式，重寫整套數學，他們用共同的筆名 N. Bourbaki 發表著作。每年到暑假，他們便聚集在一個避暑勝地，每天上午討論怎樣寫書，下午開數學講論會 (colloquium)。在上午的寫書討論中，必須一致通過才算定稿，全書共有數十冊。其基本態度是從最抽象的數學體系談起，然後才逐漸待殊化，因此必 須講完一般拓撲學和線性代數後，才能講拓撲向量空間;講完拓撲向量空間後，才能講實變數的函數。這種由廣入狹的次序，把數學組織得既簡潔又亮麗，所以數學 家們對此頗為欣賞。
當 Bourbaki 學派得到初步成功之後，在六○年代他們又進一步想重建中學數學課程的工作。他們以大數學家的身份編著中學教科書， 自然為法國教育部所樂於接受，這是法國數學教育上的一大變革。消息傳到了美國， 由 Begle 所領導的 School Mathematics Study Group（中小學數學研究組，簡稱 SMSG）便編著了一套課本，推廣到中小學使用，這便是所謂「新數學」。我國的清華大學校長陳可忠先生在美國看到了這套新數學．便帶了一套回來，交給清華 的數學研究所參考。於是清華大學的幾位教授便開始以它為藍本，改編我國的新數學。Bourbaki 學派的中小學數學課本我沒看過,在法國也並不怎麼成功，事實上,數學家所能欣賞的和企業界所需要的數學有一段距離，和中小學生所能研讀的有更大的一段距 離，數學教育的這項變革可說是曲高相寡,甚至是揠苗助長.在美國,新數學的命運比法國更慘，可以說是遭到徹底的失敗。終究 SMSG 的學者們都不是像 Bourbaki 學派的那樣有見地的數學家，他們既看不到數學的精髓所在，又陷於語言文字的瑣碎歧義探索的泥淖中而不能自拔。
下以台灣版的新數學為基礎，舉幾個例子:在討論幾何時，把半線和射線加以分別，而認為其不同處在於是否包合端點，再如「聯集」、「交集」與 「若且唯若」等詞語，本是為敘述問題方便而設，但要用相當多的篇幅說明，在高三下的課本中，介紹了「群」、「環」與「體」等名詞，而不討論其性質，也不舉 任何稍有深度的例子。在這種情況下，給這些代數體系下定義，可說是沒有什麼意義。
無怪「新數學」失敗了，在新數學實施不久以後，美國出現了以《為何強尼不識數》為題的一本書，書中痛陳新數學之弊，在新數學盛行時，好學生
學會了如何在語言中挑語病，但沒學會應用數學中把實際問題數學化，再用數學解決問題的方法；也沒學會純數學中臆測、證明、推廣與再臆測的循環研究程序，而
判斷數學問題重要性的洞察力就更不用說了！新數學把集合論中最粗淺的部分誇大了，使凌駕在整個中小學數學之上，因而喪失了學習初等數學中重要課題的機會。
| 新數學之後 |
在美國批判新數學以前，旅美數學家項武義先生返台期間就對台灣實施的新數學便提出了警告，並願提供一套課本的稿件，以取代新數學。他的另一個進步的理念 是：課本未經實驗教學，不可冒然推廣到全國。因此選定了一所既非明星高中亦非落後學校的彰化中學作為實驗的對象，在這套「實驗本」裡，集合論退居輔助敘述 數學問題的地位，不料實驗剛開始，項武義先生便因觀看大陸的乒乓隊在美比賽而被列入黑名單，不能再回台灣，因此在台的教學實驗便由黃武雄與邱守榕等教授接 手。這套實驗本內容雖然還好，但仍有曲高和寡的問題，我覺得它僅適用於資優班學生。
實驗本使用了十年，教育部修訂了課程標準，這次幾乎完全揚棄了集合論的語言，而將初等統計、微積分與線性代數納入高中課程之中，這套課程標準採納了很多奇怪的規定，例如：「要從指數函數定義對數函數，但不可以講反函數」、「要講自然對數，但不可以講自然對數底 e 的存在」、「要講複數的絕對值和輻角，但不可以講極座標」與「要講極限，但不可以講極限的嚴謹定義」等等。 據說這些規定出自學習心理學家的建議。但事實上它們減少了數學課程的數學味，也不能說是高中數學的正確方向，我姑且稱這套課本為「心理本」。今年開始教育部又實行新的課程標準了，我沒看過課程標準，也沒看過新課本，所以無從置評。我對前面各種課本的評價是:
最後我願意說出我對未來中小學數學教材走向的看法，我國社會逐漸多元，各級學校的入學管道也逐漸多元化，因而沒有再採用統一課程標準的必要，所以政府應對數學課本鬆綁，讓民間百家爭鳴，物競天擇，經過數年的教學實驗後，幾套適合各種口味的數學課本終歸會浮現出來的。
- 1.C.C. Pintor: 《Set theory》. Addision-Wesley Co.1971.
- 2.P. Suppes : 《Axiomatic set theory》. Van Nostrand.1960.
What I have Lived For
羅素（Bertrand Russell）著方舟子譯
（感謝賢傳、燕思的潤色）
有三種簡單然而無比強烈的激情左右了我的一生：對愛的渴望，對知識的探索和對人類苦難的難以忍受的憐憫。這些激情象颶風，無處不在、反覆無常地吹拂著我，吹過深重的苦海，瀕於絕境。
Three passions, simple but overwhelmingly strong, have governed my life: the longing for love, the search for knowledge,and unbearable pity for the suffering of mankind. These passions,like great winds, have blown me hither and thither, in a wayward course, over a deep ocean of anguish, reaching to the very verge of despair.
我尋找愛，首先是因為它使人心醉神迷，這種陶醉是如此的美妙，使我願意犧牲所有的餘生去換取幾個小時這樣的欣喜。我尋找愛，還因為它解除孤獨，在可怕 的孤獨中，一顆顫抖的靈魂從世界的邊緣看到冰冷、無底、死寂的深淵。最後，我尋找愛，還因為在愛的交融中，神秘而又具體而微地，我看到了聖賢和詩人們想像 出的天堂的前景。這就是我所尋找的，而且，雖然對人生來說似乎過於美妙，這也是我終於找到了的。
I have sought love, first, because it brings ecstasy --ecstasy so great that I would often have sacrificed all the rest of life for a few hours of this joy. I have sought it, next, because it relieves loneliness -- that terrible loneliness in which one shivering consciousness looks over the rim of the world into the cold unfathomable lifeless abyss. I have sought it, finally, because in the union of love I have seen, in a mystic miniature, the prefiguring vision of the heaven that saints and poets have imagined. This is what I sought, and though it might seem too good for human life, this is what --at last -- I have found.
以同樣的激情我探索知識。我希望能夠理解人類的心靈。我希望能夠知道群星為何閃爍。我試圖領悟畢達哥拉斯所景仰的數字力量，它支配著此消彼漲。僅在不大的一定程度上，我達到了此目的。
With equal passion I have sought knowledge. I have wished to understand the hearts of men. I have wished to know why the stars shine. And I have tried to apprehend the Pythagorean power by which number holds sway above the flux.A little of this, but not much, I have achieved.
愛和知識，只要有可能，通向著天堂。但是憐憫總把我帶回塵世。痛苦呼喊的回聲迴蕩在我的內心。忍饑挨餓的孩子，慘遭壓迫者摧殘的受害者，被兒女們視為 可憎的負擔的無助的老人，連同這整個充滿了孤獨、貧窮和痛苦的世界，使人類所應有的生活成為了笑柄。我渴望能夠減少邪惡，但是我無能為力，而且我自己也在 忍受折磨。
Love and knowledge, so far as they were possible, led upward toward the heavens. But always pity brought me back to earth. Echoes of cries of pain reverberate in my heart. Children in famine, victims tortured by oppressors, helpless old people a hated burden to their sons, and the whole world of loneliness,poverty, and pain make a mockery of what human life should be.I long to alleviate the evil, but I can't , and I too suffer.
這就是我的一生。我發現它值得一過。如果再給我一次機會，我會很高興地再活它一次。
This has been my life. I have found it worth living, and would gladly live itagain if the chance were offered me.
NOTE: This is the prologue of Russell's autobiography.
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