| 今日數學家 |
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| 德．摩根 Augustus De Morgan |
| 當年今日數學家 | |||||||||||||||||||||||||
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狄摩根
（Augustus De Morgan）
1806年5月27日生於印度，1871年3月13日死於英國
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狄摩根的名字對大多數高中生來說一定不陌生，因為在學到集合論的時候有一個狄摩根定律：如果宇集中的兩個子集合A和B，則他們兩集合連集的補集合等於他們各自補集的交集，可用數學式子表示如下：
(A∪B)′＝A′∩B′
狄摩根出生於印度馬德里，他是英國人，只不過因為他父親在印度的東印度公司工作，後來他回到英國，在著名學府三一學院唸書，他的老師是皮考克教授
(Peacock)，並且以數學榮譽考試第四名的資格畢業，1727年，他回到他們家族世居地倫敦，1828年，他就在新成立的倫敦大學當教授，儘管當時
他還沒有任何數學上的成果發表，他並就職演說上暢談他的數學學習。並且在這裡，通過他的學生與他的著作，對英國數學起了很大的影響，他對於數學史和哲學都
非常精通，寫過代數基礎、微分計算、邏輯與機率論的著作，他是一位很好的老師，上起課來也非常的風趣幽默。 |
奧古斯都·德·摩根（Augustus De Morgan）（1806年6月27日—1871年3月18日），英國數學家、邏輯學家。他明確陳述了德·摩根定律，將數學歸納法的概念嚴格化。
生平
童年
德·摩根生於印度馬德拉斯管轄區。其父在東印度公司工作，母親是James Dodson（曾編製反對數表）的後代。德·摩根七個月大時，舉家遷回英國。
十歲時，父親去世，她母親帶他搬到英國西部。其數學才華一直未被發現，直至十四歲時，一位家庭的朋友意外發現他精心繪製的尺規作圖。
德·摩根有一目失明。於是他求學時期沒有參與任何體育活動，因此被同學取笑。
德·摩根的母親是英國教會的活躍分子，寄望兒子成為牧師。而他的中學老師，畢業於牛津大學奧里爾學院的Mr Parsons，是個擅長古典文學多於數學的人。可是德·摩根都不受這些長輩的影響。
大學教育
1823年，16歲的他進入劍橋大學三一學院，與喬治·皮庫克和威廉·修艾爾成為終身的好朋友。德·摩根受皮庫克影響，引起了對代數和邏輯的興趣。
他主要的娛樂是笛。
2006/02/26, by Chi
命題邏輯所使用的符號意義(以下大寫英文字代表一個命題)
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符號 |
– |
v |
& |
à |
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意義 |
Not |
Or |
And |
If … then |
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舉例說明 |
– P P命題為假 |
P v Q P命題或是Q命題為真 |
P & Q P命題和Q命題皆為真 |
P à Q 如果P命題為真則Q命題必為真 |
命題邏輯的推論規則 (凡是符合下列形式的推論皆為有效論證)
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名稱 |
1. MP |
2. MT |
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前提 |
P à Q P |
P à Q – Q |
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結論 |
Q |
– P |
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舉例說明 |
如果小明是一隻鳥﹐則小明會飛。 小明是一隻鳥 因此﹐小明會飛 |
如果小明是一隻鳥﹐則小明會飛。 小明不會飛。 因此﹐小明不是一隻鳥。 |
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名稱 |
3. HS |
4. DS |
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前提 |
P à Q Q à R |
P v Q – P |
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結論 |
P à R |
Q |
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舉例說明 |
如果小明是一隻鳥﹐則小明會飛。 如果小明會飛﹐則小明喜歡吃蟲。 因此﹐如果小明是一隻鳥﹐則小明喜歡吃蟲。 |
我口袋裡有五元不然就是有拾元。 我口袋裡有五元是不正確的。 因此﹐我口袋裡有拾元。 |
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名稱 |
5. Adj
(結合律) |
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前提 |
P Q |
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結論 |
P & Q |
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舉例說明 |
我今天穿藍色衣服。 我今天穿黑色運動鞋。 因此﹐我今天穿藍色衣服以及黑色運動鞋。 |
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名稱 |
6. Simp
(簡化律) |
7. Add (添加律) |
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前提 |
P & Q |
P |
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結論 |
P |
P v Q |
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舉例說明 |
我今天穿藍色衣服及黑色運動鞋。 因此﹐我今天穿藍色衣服。 |
我今天穿藍色衣服。 我今天穿藍色衣服或是白衣服。 |
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名稱 |
8. 雙否定律(DN) |
9. 交換律 (Com) |
10. 交換律 (Com) |
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前提 |
– – P |
P v Q |
P & Q |
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結論 |
P |
Q v P |
Q & P |
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舉例說明 |
我並非不去。 因此﹐我會去。 |
今天下雨或下雪。 因此﹐今天下雪或下雨。 |
今天下雨又出太陽。 因此﹐今天出太陽又下雨。 |
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名稱 |
11. 冪等律 (Idem) |
冪等律 (Idem) |
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前提 |
P & P |
P v P |
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結論 |
P |
P |
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舉例說明 |
今天下雨而且下雨。 因此﹐今天下雨。 |
今天下雨或是下雨。 因此﹐今天下雨。 |
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名稱 |
12. 狄摩根律 (DeM) |
狄摩根律 (DeM) |
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前提 |
– (P & Q) |
– (P v Q) |
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結論 |
– P v – Q |
– P & – Q |
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舉例說明 |
我並非既穿黑色衣服又穿黑色運動鞋。 因此﹐我並非既穿黑色衣服或者我並非穿黑色運動鞋。 |
我口袋裡有五元不然就是有拾元﹐這是錯誤的。 因此﹐我口袋裡並非有五元也不是有拾元。 |
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名稱 |
13. 條件句與選言等值律(CD) |
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前提 |
P à Q |
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結論 |
– P v Q |
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舉例說明 |
如果小明是一隻鳥﹐則小明會飛。 因此﹐小明不是一隻鳥或是小明會飛其中必有一為真。 |
其他推論方法
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1. 條件証法 (CP) 先假設P為真，然後導出Q，則證明P à Q為真。 |
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2. 間接證法(歸謬証法) RAA 先假設P為真，然後導出矛盾，則證明 – P為真(意即P為假)。 |
邏輯
邏輯不能涵蓋人生 人生未必要全部合乎邏輯
文學語言 不一定合乎邏輯 卻往往能夠感人肺腑
然而邏輯卻是一切論證的基準
缺乏邏輯 就不能建構完整可靠的理論
缺乏邏輯 論證的說服力也會大打折扣
培養個人的邏輯分辨力
可以讓自己說的話更具有說服力
也比較容易洞察別人話語的疏漏
以下六個論證 摘自網路小說名著
您能說說看 那些地方有問題嗎
^_^
(一)
如果我有一千萬，我就能買一棟房子。
我有一千萬嗎？沒有。
所以我仍然沒有房子。
(二)
如果我有翅膀，我就能飛。
我有翅膀嗎？沒有。
所以我也沒辦法飛。
(三)
如果把整個太平洋的水倒出，也澆不熄我對妳愛情的火燄。
整個太平洋的水全部倒得出嗎？不行。
所以我並不愛妳。
(四)
如果我還有一天壽命，那天我要做你女友。
我還有一天的命嗎？..沒有。
所以，很可惜。我今生仍然不是你的女友。
(五)
如果我有翅膀，我要從天堂飛下來看你。
我有翅膀嗎？..沒有。
所以，很遺憾。我從此無法再看到你。
(六)
如果把整個浴缸的水倒出，也澆不熄我對你愛情的火燄。
整個浴缸的水全部倒得出嗎？..可以。
基本推論規則
1. 肯定前件(M.P.)
p > q
p
q
2. 否定後件(M.T.)
p > q
~q
~p
3. 假言三段論(H.S.)
p > q
q > r
p > r
4. 簡化(Simpl.)
p．q p．q
p q
5. 連言(Conj.)
p
q
p．q
6. 選言三段論(D.S.)
p v q p v q
~p ~q
q p
7. 添加(Add.)
p q
p v q p v q
8. 兩難論(Dil.)
p > q
r > s
p v r
q v s
取代規則 1.
雙否言規則(D.N.) p ≡ (~ ~ p) 2.
交換規則(Comm.) (p v q) ≡ (q v p) (p．q) ≡ (q．p) 3.
結合規則(Assoc.) ((p v q) v r) ≡ (p v (q v r)) ((p．q)．r) ≡ (p．(q．r)) 4.
重複規則(Dup.) p ≡ (p v p) p ≡ (p．p) 5.
狄摩根規則(DeM.) (~ (p v q)) ≡ (~p．~q) (~ (p．q)) ≡ (~p v~q) 6.
雙如言互換規則(B.E.) (p ≡
q) ≡ ((p>q)．(q > p)) 7.
質位同換規則(Contrap.) (p > q) ≡ (~q > ~p) 8.
如言互換規則(C.E.) (p > q) ≡ (~p v q) 9.
移出規則(Exp.) ((p．q)
> r) ≡ (p > (q > r)) 10.分配規則(Dist.) (p．(q
v r)) ≡ (p．q)
v (p．r) (p v (q．r)) ≡ (p v q)．(p
v r)
邏輯試題
有１２名惡棍同聚一室談判，後來因為談不攏，引發一陣兇殘。
根據搜證資料，得到以下四條線索：
１
(甄大殺了郝小而且吳一殺了劉二)以及(張三沒殺李四而且蘇五沒殺勞六)
這兩者至少有一方面是事實。
２如果(張三殺了李四而且甄大殺了郝小)，那麼便可進一步斷定：
如果吳一殺了劉二，則白七沒殺王八。
３如果不是(白七殺了王八或者賈九殺了程十)，那麼吳一就沒殺劉二。
４事實上，賈九沒殺程十。
法官據此斷定：張三沒殺李四。
若您覺得法官推論正確，請逐步證明
否則請您舉出一個反例
邏輯解題一
(１)(甄大殺了郝小而且吳一殺了劉二)以及(張三沒殺李四而且蘇五沒殺勞六)這兩者至少有一方面是事實。
(２)如果(張三殺了李四而且甄大殺了郝小)，那麼便可進一步斷定：如果吳一殺了劉二則白七沒殺王八。
(３)如果不是(白七殺了王八或者賈九殺了程十)，那麼吳一就沒殺劉二。
(４)事實上，賈九沒殺程十。
因此張三沒殺李四。
若以真值表法來檢驗本論證的有效性
可以先對本論證所牽涉到的事件做初步分析：
本論證所牽涉的人物雖然有１２位
但其所牽涉的事件，卻只有六件，我們先各以代號來標示這些事件：
Ａ 甄大殺了郝小
Ｂ 吳一殺了劉二
Ｃ 張三殺了李四
Ｄ 蘇五殺了勞六
Ｅ 白七殺了王八
Ｆ 賈九殺了程十
並對各個前提和結論，也各賦予它一個代號：
Ｇ 代表前提(１)
Ｈ 代表前提(２)
Ｉ 代表前提(３)
Ｊ 代表前提(４)
Ｋ 代表結論
ＡＢＣＤＥＦ六個事件，都有真假的可能
由此可以得到６４種可能狀況
每一種狀況下的ＧＨＩＪＫ也都可以推測得出
如此一來，可以得到以下的真值表：
ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪＫ
－－－－－－－－－－－－
1.ＴＴＴＴＴＴＴＦＴＦＦ
2.ＴＴＴＴＴＦＴＦＴＴＦ
3.ＴＴＴＴＦＴＴＴＴＦＦ
4.ＴＴＴＴＦＦＴＴＦＴＦ
5.ＴＴＴＦＴＴＴＦＴＦＦ
6.ＴＴＴＦＴＦＴＦＴＴＦ
7.ＴＴＴＦＦＴＴＴＴＦＦ
8.ＴＴＴＦＦＦＴＴＦＴＦ
9.ＴＴＦＴＴＴＴＴＴＦＴ
10.ＴＴＦＴＴＦＴＴＴＴＴ
ˇ
11.ＴＴＦＴＦＴＴＴＴＦＴ
12.ＴＴＦＴＦＦＴＴＦＴＴ
13.ＴＴＦＦＴＴＴＴＴＦＴ
14.ＴＴＦＦＴＦＴＴＴＴＴ
ˇ
15.ＴＴＦＦＦＴＴＴＴＦＴ
16.ＴＴＦＦＦＦＴＴＦＴＴ
17.ＴＦＴＴＴＴＦＴＴＦＦ
18.ＴＦＴＴＴＦＦＴＴＴＦ
19.ＴＦＴＴＦＴＦＴＴＦＦ
20.ＴＦＴＴＦＦＦＴＴＴＦ
21.ＴＦＴＦＴＴＦＴＴＦＦ
22.ＴＦＴＦＴＦＦＴＴＴＦ
23.ＴＦＴＦＦＴＦＴＴＦＦ
24.ＴＦＴＦＦＦＦＴＴＴＦ
25.ＴＦＦＴＴＴＦＴＴＦＴ
26.ＴＦＦＴＴＦＦＴＴＴＴ
27.ＴＦＦＴＦＴＦＴＴＦＴ
28.ＴＦＦＴＦＦＦＴＴＴＴ
29.ＴＦＦＦＴＴＴＴＴＦＴ
30.ＴＦＦＦＴＦＴＴＴＴＴ
ˇ
31.ＴＦＦＦＦＴＴＴＴＦＴ
32.ＴＦＦＦＦＦＴＴＴＴＴ
ˇ
33.ＦＴＴＴＴＴＦＴＴＦＦ
34.ＦＴＴＴＴＦＦＴＴＴＦ
35.ＦＴＴＴＦＴＦＴＴＦＦ
36.ＦＴＴＴＦＦＦＴＦＴＦ
37.ＦＴＴＦＴＴＦＴＴＦＦ
38.ＦＴＴＦＴＦＦＴＴＴＦ
39.ＦＴＴＦＦＴＦＴＴＦＦ
40.ＦＴＴＦＦＦＦＴＦＴＦ
41.ＦＴＦＴＴＴＦＴＴＦＴ
42.ＦＴＦＴＴＦＦＴＴＴＴ
43.ＦＴＦＴＦＴＦＴＴＦＴ
44.ＦＴＦＴＦＦＦＴＦＴＴ
45.ＦＴＦＦＴＴＴＴＴＦＴ
46.ＦＴＦＦＴＦＴＴＴＴＴ
ˇ
47.ＦＴＦＦＦＴＴＴＴＦＴ
48.ＦＴＦＦＦＦＴＴＦＴＴ
49.ＦＦＴＴＴＴＦＴＴＦＦ
50.ＦＦＴＴＴＦＦＴＴＴＦ
51.ＦＦＴＴＦＴＦＴＴＦＦ
52.ＦＦＴＴＦＦＦＴＴＴＦ
53.ＦＦＴＦＴＴＦＴＴＦＦ
54.ＦＦＴＦＴＦＦＴＴＴＦ
55.ＦＦＴＦＦＴＦＴＴＦＦ
56.ＦＦＴＦＦＦＦＴＴＴＦ
57.ＦＦＦＴＴＴＦＴＴＦＴ
58.ＦＦＦＴＴＦＦＴＴＴＴ
59.ＦＦＦＴＦＴＦＴＴＦＴ
60.ＦＦＦＴＦＦＦＴＴＴＴ
61.ＦＦＦＦＴＴＴＴＴＦＴ
62.ＦＦＦＦＴＦＴＴＴＴＴ
ˇ
63.ＦＦＦＦＦＴＴＴＴＦＴ
64.ＦＦＦＦＦＦＴＴＴＴＴ
ˇ
根據上列真值表可知：
符合四個前提的狀況(ＧＨＩＪ四行皆為真)，
只有10,14,30,32,46,62,64七列
而這七列的Ｋ值(結論)，也都是真，絕無例外
可見這是一個有效論證
並且可以得知：如果這四個前提成立的話，就只有這七種可能：
10.ＡＢＤＥ真，ＣＦ假
(即甄大,吳一,蘇五,白七殺了人，張三,賈九沒殺)
14.ＡＢＥ真，ＣＤＦ假
(即甄大,吳一,白七殺了人，張三,蘇五,賈九沒殺)
30.ＡＥ真，ＢＣＤＦ假
(即甄大,白七殺了人，吳一,張三,蘇五,賈九沒殺)
32.Ａ真，ＢＣＤＥＦ假
(即甄大殺了人，吳一,張三,蘇五,白七,賈九沒殺)
46.ＢＥ真，ＡＣＤＦ假
(即吳一,白七殺了人，甄大,張三,蘇五,賈九沒殺)
62.Ｅ真，ＡＢＣＤＦ假
(即白七殺了人，甄大,吳一,張三,蘇五,賈九沒殺)
64.ＡＢＣＤＥＦ皆為假
(即甄大,吳一,張三,蘇五,白七,賈九都沒殺人)
由此再次證明：法官推論張三沒殺李四是正確的
至於有人推斷所有人都沒殺人，則只是上列七種可能之一而已
以上是真值表法的實例，當然還有其他比較巧妙的方法囉
^_^
PS.真值表判讀示例：
ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪＫ
－－－－－－－－－－－
1.ＴＴＴＴＴＴＴＦＴＦＦ 六人皆殺人，則前提２和４不成立
2.ＴＴＴＴＴＦＴＦＴＴＦ 只有賈九沒殺人，則前提２不成立
3.ＴＴＴＴＦＴＴＴＴＦＦ 只有白七沒殺人，則前提４不成立
可以先將該論證符示如下：
1.(Ａ．Ｂ)Ｖ(～Ｃ．～Ｄ) pr.
2.(Ｃ．Ａ)＞(Ｂ＞～Ｅ) pr.
3.～(ＥＶＦ)＞～Ｂ pr.
4.～Ｆ pr.
－－－－－－－－－－－－－－
／∴～Ｃ
接著再以間接證法逐步證明如下：
5. Ｃ Assp.(I.P.)
6. ＣＶＤ Add.5
7. ～～(ＣＶＤ) D.N.6
8. ～(～Ｃ．～Ｄ) DeM.7
9. Ａ．Ｂ D.S.1,8
10. Ａ Simp.9
11. Ｂ Simp.9
12. Ｃ．Ａ Conj.5,10
13. Ｂ＞～Ｅ M.P.2,12
14. ～Ｅ M.P.11,13
15. ～Ｅ．～Ｆ Conj.4,14
16. ～(ＥＶＦ) DeM.15
17. ～Ｂ M.P.3,16
18. Ｂ．～Ｂ Conj.11,17
19.～Ｃ I.P.5-19
回到日常用語說明如下：
5. 利用間接證法，先假設結論不成立．即張三殺了李四
6. 根據添加規則．由５可以進一步推得張三殺了李四或蘇五殺了勞六
7. 根據雙否言規則，由６可知並非不是(張三殺了李四或蘇五殺了勞六)
8. 根據狄摩根定律，由７可以推得並非(張三沒殺李四且蘇五沒殺勞六)
9. 根據選言三段論，由１跟８可以推得(甄大殺了郝小且吳一殺了劉二)
10. 根據簡化規則．由９可以推得甄大殺了郝小
11. 根據簡化規則．由９可以推得吳一殺了劉二
12. 根據連言規則，由５跟１０可以推得張三沒殺李四且甄大殺了郝小
13. 根據肯定前件規則，由２跟１２可以推得(若吳一殺了劉二則白七沒殺王八)
14. 根據肯定前件規則，由１１跟１３可以推得白七沒殺王八
15. 根據連言規則，由４跟１４可以推得白七沒殺王八且賈九沒殺程十
16. 根據狄摩根定律，由１５可以推得並非(白七殺了王八或賈九殺了程十)
17. 根據肯定前件規則，由３跟１６可以推得吳一沒殺劉二
18. 根據連言規則，由１１跟１７可以推得吳一殺了劉二且吳一沒殺劉二
19.根據間接證法，由５至１８，若假設張三殺了李四，就必然導致吳一殺了劉二且吳一沒殺劉二的矛盾，可證張三沒殺李四
PS. 本例所用到的推論規則說明：
添加規則(Add.)：若Ｐ真，則ＰＶＱ為真
雙否言規則(D.N.)：若Ｐ真，則～～Ｐ為真
狄摩根定律(DeM.)：若～(ＰＶＱ)真，則～Ｐ．～Ｑ為真
若～(Ｐ．Ｑ)真，則～ＰＶ～Ｑ為真
選言三段論(D.S.)：若ＰＶＱ真，～Ｐ真，則Ｑ為真
若ＰＶＱ真，～Ｑ真，則Ｐ為真
簡化規則(Simp.) ：若Ｐ．Ｑ真，則Ｐ為真
若Ｐ．Ｑ真，則Ｑ為真
連言規則(Conj.) ：若Ｐ真，Ｑ真，則Ｐ．Ｑ為真
肯定前件規則(M.P.)：若Ｐ＞Ｑ真，Ｐ真，則Ｑ為真
附注：．且，Ｖ或，～非，＞則
邏輯試題
英、花、哥、文、瑰、瑜六個寶貝黨原本約好要一起去美國的
卻在臨出國前，鬧得有些彆扭
當時大家有三個默契：
１如果不是小英跟小花都去，小哥跟小文就都不去
２如果小英、小花跟小哥都去，小瑰就不去
３如果小瑰跟小瑜都不去，小花就不去
由此可見：除非小瑜去，否則小哥就不去
請問：這是一個有效推論嗎？
如果您覺得它有效，請逐步證明它
否則請您舉出一個反例
邏輯解題二
英、花、哥、文、瑰、瑜六個寶貝黨原本約好要一起去美國的
卻在臨出國前，鬧得有些彆扭
當時大家有三個默契：
１如果不是小英跟小花都去，小哥跟小文就都不去
２如果小英、小花跟小哥都去，小瑰就不去
３如果小瑰跟小瑜都不去，小花就不去
由此可見：除非小瑜去，否則小哥就不去
請問：這是一個有效推論嗎？
如果您覺得它有效，請逐步證明它
否則請您舉出一個反例
1.～（Ａ．Ｂ）＞～Ｃ．～Ｄ pr.
2.（（Ａ．Ｂ）．Ｃ）＞～Ｅ pr.
3.（～Ｅ．～Ｆ）＞～Ｂ pr.
－－－－－－－－－－－－－－
／∴～Ｆ＞～Ｃ
4. Ｃ Assp.(C.P.)
5. ＣＶＤ Add.4
6. ～～（ＣＶＤ） D.N.5
7. ～（～Ｃ．～Ｄ） DeM.6
8. Ａ．Ｂ M.T.7
9. （Ａ．Ｂ）．Ｃ Conj.8,4
10. ～Ｅ M.P.2,9
11. Ｂ Simpl.8
12. Ｂ＞～（～Ｅ．～Ｆ） Contrap.3
13. ～（～Ｅ．～Ｆ） M.P.12,11
14. ＥＶＦ DeM.13
15. Ｆ D.S.14,10
16.Ｃ＞Ｆ C.P.4-16
四色定理
|
你曾經為地圖塗上顏色嗎？你有發現什麼規律嗎？在1852年，有一個英國青年人叫法蘭西斯.古特理(Francus
Guthrie)，他在畫英國地圖塗顏色時發現，塗顏色只需要色種顏色就足夠了，他把這驚人的結果告訴他的哥哥費特里(Frederick)，他的哥哥也
相信這結果是正確的，但是他證明不出來，因此同年10月23日費特里拿這個問題相倫敦大數學教授狄.摩根(De
Morgan)請教，他是當時著名的數學家，可是他也不能馬上解決，因此他寫一封信向三一學院的好朋友哈密頓(Hamilton)問如何解決，他相信哈密
頓年少就會說八國語言，這樣絕頂聰明的人一定能夠解決。在信中他這樣寫到：「今天我一個學生問我這樣一個問題，我還不曉的他是否正確，他說在面上畫一地
圖，使的兩個有共同邊緣的區域圖上不同的顏色，則四種顏色就已經夠了，難道造不出一個需要五種以上顏色依照此方法圖地圖的地圖嗎？很可惜，哈密頓或許以為
此問題太容易了，就沒有去注意他。 過了八年，狄.摩根在一本叫作''發現的哲學''的書上再度提起了這個問題，可是仍然沒有人去注意它，直到1878年英國數學家凱利(Cayley)在英 國數學學會及皇家地理學會提出這個''四色問題''，此問題才逐漸為世人所注意。第二年，有一個律師凱伯(Kempe)自稱發現了這個定理的證明，但在 1890年，被一個二十九歲的年輕人西渥特(Heawood)發現他的證明是有錯誤的，西渥特在牛津受教育，主要的研究就是四色定理，在以後六十年時間 內，他先後發表七篇這方面論文。西渥特在式的時候沒有解決四色問題，但是他證明了''地圖五色定理''是對的，也就是只用五種顏色來塗地圖是可以做到的。 過了很長一段時間，這問題一直沒能突破，直到1796年九月的美國數學學會通告公布了一個令數學界震驚的消息，就是伊利諾大學教授阿貝勒(Appel)和 哈根(Haken)兩人利用高速電子計算機，計算出了四色定理是正確的，同一年10月21日，英國科學雜誌''新科學人''登了一篇阿貝勒親自寫解決這個 問題文章，他在那篇文章敘述到四色定理的歷史，並提到一百年前律師凱伯的關鍵想法是正確的，自從高速電子計算機出現之後，德國數學家就設計一些程序，要來 解決這個問題，1960年，美國數學家哈根也開始從事這方面工作，1972年，阿貝勒和哈根一起改進了電子計算機，到了1974年，工作是有一些眉目，這 時也有一些人加入他們的行列，到了1976年1月，他們已經有信心可以解決這個問題了。 整個1976年的六月，他們用超過一千多小時的電子計算機應用時間，總算得出四色定理的結果，數學家經過百年的努力，終於藉助電腦的幫助，運算完人腦所計算不完的問題。 |
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