一、哥德爾不完備性定理的基本內容
一個普遍公認的事實是，哥德爾不完備性定理在數理邏輯中佔有極其重要的地位，是數學與邏輯發展史中的一個里程碑。
哥德爾關於形式系統的不完備性定理，首次發表在他的論文《論數學原理及有關系統中不可判定命題》中。不完備性定理是關於不可判定命題存在的一般結果，如果僅就算術系統而言，這個定理可以簡單地表述為：
定理：如果形式算術系統是ω無矛盾的，則存在著這樣一個命題，該命題及其否定在該系統中都不能證明，即它是不完備的。
羅塞爾（Rosser）對上面的定理進行了如下改進：
定理：如果形式算術系統是無矛盾的，則它是不完備的。具體說就是——
定理：如果一個含有自然數論的形式系統S是無矛盾的，則S中存在一個邏輯公式A，使得在S中A是不能證明的，同時￣|A（￣| 為否定連接詞——筆者注）也是不能證明的。
作為不完備性定理證明思想的一個關鍵之處在於映射原理的應用，哥德爾是通過一種十分新穎的映射形式來構造他的命題的。映射是數學研究中極為重要的一種研 究方法，其基本思想就是借助一一對應使得某一領域內的對象之間的某種關係得以在另一領域內的對象之間的關係得到表現。哥德爾的方法是：把算術系統（記為 N）中的符號、表達式和表達式的序列都映射為數——通過引進「哥德爾數」而實現了對象的數化手續。這樣處理的結果，對於數理邏輯和其他有關分支來說，在研 究方法上就提供了一種數字化工具，能夠方便地把一些討論對象（如符號、公式）轉換為自然數或自然數的函數，能夠用自然數的理論來討論有關問題。其次，哥德 爾又通過「遞歸函數」的引進證明了所有元理論中關於表達式的結構性質命題，都可以在算術系統中得到表達。映射原理的應用和遞歸函數的引進，使元理論中的命 題都映射為了算術系統中的命題，算術系統也因此獲得了元數學的意義。
哥德爾在闡述自己的證明思想時說過：「我們可以注意到一個形式系 統的公式在形式上都表現為基本符號（變量、邏輯常項、括號或中斷號）的一個有限序列，而且人們容易精確地去指明基本符號的那些有限序列是有意義的公式和那 些不是有意義的公式。類似地，從形式的觀點看，所謂證明實際上就是公式的一個有限序列。對於元數學來說，究竟用什麼東西來作為基本符號當然是沒有關係的。 我們不妨就用自然數來作為基本符號，如此，一個公式就是一個自然數的有限序列，而證明便是一個有限的自然數序列的有限序列。據此，元數學的概念（命題）也 就變成了關於自然數或他們的序列的基本概念（命題），從而就可以（至少是部分地）在（對象）系統本身的符號中得到表示，特別是人們可以證明『公式』、『證 明』、『可證公式』等都可在對象系統中加以定義。」
哥德爾按照上述的證明思想，為不完備性定理的證明在對象系統內構造了這樣一個命題G，使其元數學的意義為「G是不能證明的」（作為元數學的命題——我們記為G'，這裡G'為G的映射。）。
哥德爾指出：一旦構成這樣的命題，定理的證明就完成了，因為G正是需要的不可判定的命題。對此，這裡僅作簡單描述：
前提：
（α）凡是可證明的命題必然是真的（從直觀上看，這是任何一公理系統的必然要求）。
（β）命題的真理性在映射下保持不變（特別是這裡的G和G'是同真假的）。
結論1：G是不能證明的。
證明：用反證法
設G是可以證明的（α）→G為真，（β）→G'為真；由G'的意義→G是不能證明的。矛盾，證畢。
結論2：￣| G也是不能證明的。
證明：由結論1可知，G是不能證明的，由G'的意義→G'為真；（β）→G為真，Df→￣|G為假，（α）→￣| G是不能證明的，證畢。
由結論1和結論2可知G是不可判定的，也就是說系統是不完備的。
上述的證明，可以定性地概括如下：
（1）一個包括初等數論的形式系統P，如果這個系統是一致的，那麼它就是不完備的。這條稱為第一不完備性定理。
（2）如果一個包括初等數論的形式系統P是一致的，那麼它的一致性在本系統中是不能得到證明的。這條稱為第二不完備性定理。
哥德爾不僅詳細檢驗了他的論證，而且進一步斷定：如果要證明一個系統S的一致性，那麼在元理論中所使用的推理工具絕不能弱於系統S中所使用的推理工具。 因此，可以看出，希爾伯特的方案，即用有窮觀點證明自然數論甚至整個數學的一致性是絕對行不通的。這一點也說明了形式系統有局限性。
哥德爾定理的證明思想來源於對悖論的分析，可見深入研究悖論問題對數學和邏輯學都有著極為重要的意義。而哥德爾定理的另一個重大意義在於：系統一致性和完 備性的不相容性，僅僅存在於數學系統中，還是普遍存在於所有系統中呢（自然科學系統，社會科學系統，等等）？所以，哥德爾定理已經超越了數學和邏輯學，提 出了無法迴避的哲學問題；在20世紀對數學的基礎研究中，對數學哲學基礎的研究成了十分重要的一個方面，和哥德爾定理的發現是有著直接關係的。
二、悖論與數學史上的三次數學危機
在漫長的數學發展史中，曾有過三次危機：無理數的發現；微積分的創立，集合論的悖論。這三次危機，使數學與邏輯學、哲學的聯繫不斷加深，也使人類對各種事物的認識不斷得到深化。因此，深入瞭解數學史上的三次危機有助於瞭解數學發展的全貌。
公元前5世紀，畢達哥拉斯學派的希帕索斯發現了等腰直角三角形的直角邊與斜邊不可通約，從而導致了數學的第一次危機。對於這個問題，可以進行如下的證明：
設等腰直角三角形斜邊與一直角邊之比為α︰β，並設這個比已經表達成最小整數之比：
α︰β= 1︰√2；α√2 =β （1）
將上式（1）兩端平方後得：β平方 =
2α平方。由於β平方是偶數，β必然也為偶數；因為任一奇數的平方必是奇數，而α︰β是既約的，所以α必然是奇數。β既是偶數，可以設為β=2γ；於是β
平方 = 4γ平方 = 2α平方。因此，α平方= 2γ平方，這樣α平方是個偶數，所以α也是偶數了，但α同時又是奇數，這就產生了矛盾。
在畢達哥拉斯學派深信數是萬物的本原，因此數是絕對和諧的不可能有任何矛盾的，宇宙的一切現象都能歸結為整數或整數比，所以希帕索斯的發現就成了荒謬
的、「反常」的事情，這個發現也因此構成了數學史上的第一次危機。這次危機，迫使數學家去認識和理解自然數及其比（有理數）不能包括一切幾何量，畢達哥拉
斯學派也被迫承認這一悖論並提出單子概念去解決這一悖論。
單子概念是一種如此之小的度量單位，以至於本身是不可度量的卻要保持為一種
單位，這應該看成是企圖通過無限來解決有限問題的最早努力。但是，畢達哥拉斯學派的努力卻又遭到了古希臘詭辯學派的著名代表芝諾的質疑，他認為：一個單子
或者是0或者不是0，如果是0，就是無窮多個單子相加也產生不了長度；如果不是0，那麼無窮多個單子組成的有限長線段就應該是無限長的，無論如何都會產生
矛盾。所以，連同著名的芝諾悖論在內，都被列為第一次數學危機的組成部分。需要說明的是，畢達哥拉斯學派的單子論，對哲學的影響遠遠超過了對數學的影響，
黑格爾受單子論的啟發把物質的運動解釋為「在與不在的矛盾統一……運動本身就是矛盾」，而萊布尼茨在深入研究單子論的基礎上創立了微積分並最早提出了建立
數理邏輯的設想——他因此被看成是數理邏輯的創始人。可以說：與萊布尼茨相比，黑格爾把單子論引向了「神秘主義」和「詭辯論」，辯證法因此被稱為「通向詭
辯的橋樑」是有其道理的。
希帕索斯悖論和芝諾悖論的出現，促使數學家從依靠直覺、經驗轉向了依靠證明，從而導致了公理幾何學與邏輯學的誕生。同時，哲學家也開始深入研究數學，從數學中吸取建立哲學方法論的材料。
如果說第一次數學危機使數學從「有限」進入了「無限」，那麼第二次數學危機則是「有限」與「無限」矛盾的集中反映。一般來說，人們把18世紀微積分的誕
生以來在數學界出現的混亂局面稱為第二次數學危機。雖然在整個18世紀微積分在各個領域都得到了廣泛應用，但微積分的理論基礎卻是含糊不清的「無窮小量」
概念，因此遭到了來自各方面的責難與攻擊。
大家都知道，英國的貝克萊主教對微積分的攻擊是最為激烈的，他的名字幾乎成了「反微積分」
的代名詞。貝克萊對微積分的批判，主要是依據牛頓所創立的微積分，而不是萊布尼茨的微積分：牛頓是按照「流數法」來建立微積分的，而萊布尼茨是把單子論的
哲學思想用於數學實踐之中，因此兩者還是有所區別的。貝克萊批判了牛頓的許多論點，例如，在《求曲邊形的面積》一文中，牛頓辯解說自己避免了「無窮小
量」，他給x以增量0，展開（x +
0）n次方，減去x的n次方；再除以0，求出x的n次方的增量與x的增量比，然後扔掉0的項，從而得到x的n次方的「流數」。貝克萊說牛頓首先給x一個增
量，然後讓它是0，這違背了背反律，至於導數被當作y與x消失了的增量之比，即dx與dy之比；貝克萊認為dx與dy既不是有限量也不是無限量，但又不是
「無」，dx與dy只能是「消失了量的鬼魂」。微積分中的「鬼魂論」就是著名的「貝克萊悖論」。針對貝克萊悖論，柯西建立了嚴格的極限論，戴德金則在實數
論的基礎上證明了極限論的基本定理；此外，康托爾和魏爾斯特拉斯也加盟了進來，為微積分尋找牢固的基礎。
普遍認為，由於嚴格的微積分
理論的建立，上述的兩次數學危機已經解決了。但事實上，建立嚴格的數學分析理論是以實數理論為基礎的，而建立嚴格的實數理論又必須以集合論為基礎；在集合
論的發展過程中，卻又出現了一系列悖論，由此構成了更大的危機。人們把集合論悖論的出現稱之為第三次數學危機，應該說是很恰當的。從本質上看，第三次數學
危機是前兩次數學危機的發展和深化，因為集合論悖論所涉及的問題更加深刻，涉及的範圍也更廣闊。
在集合論悖論中，最著名的就是羅素悖論。為了避免過分的專業化，只能將羅素悖論簡單地加以描述：
集合可以分為兩種：一種是本身份子集，例如，一切概念所組成的集，由於它本身也是一個概念，所以必為該集自身的一個元素。又如一切集合所組成的集合也是
一個本身份子集。另一種非本身份子集，例如，自然數集合N決不是某個自然數n。這樣，任給一集M，它不是本身份子集就是非本身份子集，不應有其他例外；現
在考慮一切非本身份子集的集Σ，試問Σ是哪一種集合？若設Σ為本身份子集，則Σ為自身的一個元素，而Σ的每一個元素皆為非本身份子集，所以Σ也應該是一個
非本身份子集；再設Σ為非本身份子集，而一切非本身份子集皆在Σ之中，所以Σ也應該在其中，因此Σ又是一個非本身份子集；不管哪種說法都會導致矛盾。這就
是羅素悖論。
羅素悖論也稱為「說謊者悖論」，就如同下面的悖論：
古希臘時代一個克里特島上的人說：「克里特島上的人都是說謊者。」如果這句話為真，那他自己（是克里特島人）就是在說謊，所以他的話就是假的；如果這句話為假，那就是克里特島人不說謊，那他的話就是真的了。因此，無論怎麼解釋，都會導致矛盾。
不難看出，數學史上的三次危機，都是與悖論聯繫在一起的。而悖論最終導致了哥德爾不完備性定理的證明，這使現代數學不僅和邏輯學融為了一體，也和哲學有了無法割捨的聯繫。
1.不完備性定理與辯證法
哥德爾定理被許多人解釋為是「系統與自身方法之間的矛盾」，完備性與一致性的不相容、一致性與證明的不相容，促使數學家和哲學家都不得不思考：邏輯悖論，真是辨證法所說的那種「對立統一」關係嗎？
辯證法——如果它是邏輯的話，那這個邏輯的自身結構應該是什麼呢？按照唯物主義的解釋，就是「自然界，人類社會，思維過程」，這種概括包括了三個系統： 自然界，人類社會，思維過程。那麼，三個系統能夠在辯證法的基礎上彼此相容嗎？如果每一個系統都遵循哥德爾定理的話，那麼辯證法所概括的「系統」也必然遵 循這個定理，結果必然是：辯證法本身就是非邏輯的悖論，而這個悖論的內在表現就是無法使自身形式化，因此在「辯證法」中沒有實質性的內容，它不能邏輯地判 斷一個命題的「真假」，因此無法使人認識真理。
在這裡，辯證法遇到了無法解釋的自身的悖論。所以，邏輯悖論問題不是「對立統一」的表 現，而是「邏輯自身不能證明自身」、「概念自身不能包括概念」的表現，目前是通過「系統擴張」或者「概念增加」來解決悖論的；但是「系統擴張」與「概念增 加」有沒有極限呢？到了極限會是什麼局面呢？這，似乎是向人類智慧進行挑戰的極其複雜的問題。
2.數學的真理與哲學的真理
塔爾斯基證明了下面的定理：
定理：對於無窮階的形式語言來說，如果相應的元理論中可證明命題是無矛盾的，那麼就不可能在元語言中構造出一個在約定意義下是充分的關於真理的定義。
這是一個關於真理概念的可定義性的定理，值得注意的是塔爾斯基對定理的證明與哥德爾在方法上有類似之處。
真理與命題之間的矛盾，似乎是悖論的必然表現。這個表現的本質在於，證明了「真理」本身的相對性，而「絕對真理」只能建立在體系完備的基礎上，哥德爾定 理證明這是不可能的。因此，當人追求「絕對真理」時，就已經偏離了追求「真理」的正確道路，其結果必然是：發現「絕對真理」就是絕對的悖論。
因此，20世紀的哲學終於擺脫了「絕對真理」的龐雜體系，開始了自身的變革。雖然，哲學不再充當「科學的教父」，「意識形態的總司令」，但它自身卻變的更加接近真理而遠離了謬誤。這就是20世紀的數學，對人類文明最大的貢獻，其影響也是非常深遠的。
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