《幾何原本》淺釋

 樑子傑

前言

在新的《中學數學課程綱要》「以演繹幾何學習幾何」的部分中提到，教師須「透過歐幾里得的 故事和他的著作《幾何原本》，發展以演繹方法來研究幾何圖形的特性。」但現時一般中學教師都甚少機會接觸到《幾何原本》一書，試問在施教時，又如何處理這 段課文呢？撰寫這文的目的，就是擬扼要地為大家介簡《幾何原本》一書的歷史背景、該書的內容和它對後世數學發展的影響。

背景：希臘數學的「黃金時代」

從公元前 338 年希臘諸邦被馬其頓控制，至公元前 30 年羅馬消滅最後一個希臘化國家托勒密王國的三百餘年，史稱希臘數學的「黃金時代」。這個時期，希臘數學的中心從雅典轉移到了亞歷山大城。亞歷山大城是馬其頓帝國君主亞歷山大大帝征服埃及後在地中海之濱建立的城巿。亞歷山大去世後，帝國一分為三。托勒密統始下的希臘埃及，定都於亞歷山大城，並於公元前 300 年左右，開始興建規模宏大的藝術宮（或譯博物館）和圖書館，提倡學術，羅致人才，使亞歷山大城成為希臘文化的首府，那裡學者云集，先後出現了歐幾里得（Euclid, 330 B.C. – 275 B.C.）、阿基米德（Archimedes, 287 B.C. - 212 B.C.）和阿波羅尼斯（Apollonius, 262 B.C. - 190 B.C.）三大數學家，他們的成就標誌著古典希臘數學的巔峰。

歐幾里得及《幾何原本》

歐幾里得是希臘論證幾何學的集大成者。關於他的生平我們所知甚少。根據有限的記載推斷，歐幾里得早年就學於雅典，公元前 300 年左右應托勒密一世之邀到亞歷山大，成為亞歷山大學派的奠基人。歐幾里得寫過不少有關數學、天文、光學和音樂方面的著作，在這些著作中，最重要的莫過於《幾何原本》了。

《幾何原本》是一本劃時代的的鉅著。其偉大的歷史意義在於它是用公理法建立起一個演繹推理的體系。由歐幾里得之前的數學家所積累下來的數學知識，大多數都是零碎和片斷的，歐幾里得借助於邏輯方法，把這些知識組織起來，加以分類、比較，整理成一個嚴密的系統，並成為《幾何原本》一書。歐幾里得完成了這一艱巨的任務，對整個數學的發展產生了深遠的影響。

《幾何原本》的英文譯名為 Elements，原意是指一學科中具有廣泛應用的重要定理。歐幾里得在這本著作中用公理法對當時的數學知識作了系統化、理論化的總結。全書共分 13 卷，包括有 5 條公設、5 條公理、119 個定義和 465 個命題，構成歷史上第一個數學公理體系。各卷的內容大致可分類如下：

《幾何原本》各卷內容分類

《幾何原本》中的重要命題

《幾何原本》的譯名雖然稱為「幾 何」，但事實上它是一本集合了平面幾何、比例論、數論、無理量論和立體幾何大成之書。（故此，近代學者已漸漸將此書改稱為《原本》，刪去「幾何」兩字。） 當中包括了不少重要的數學命題（難題），在現今的中學（甚至是大學）課程之中，亦有教授。試舉例如下：

命題 I.47　在直角三角形中，直角所對的邊上的正方形面積等於夾於直角兩邊上正方形面積之和。

註：這是著名的「畢氏定理」。據說，在西方，這定理最先是由畢達哥拉斯所證明的，但他的證明方法卻沒有流傳下來。而《幾何原本》中的證明，則可以算是現存西方最早證明畢氏定理的記載。

命題 II.12　在鈍角三角形中，鈍角所對的邊上的正方形比夾鈍角的二邊上的正方形的和大一個矩形的二倍。即由一銳角向對邊的延長線作垂線，垂足到鈍角之間一段與另一邊所構成的矩形。

命題 II.13　在銳角三角形中，銳角對邊上的正方形比夾銳角的二邊上的正方形的和小一個矩形的二倍。即由另一銳角向對邊作垂直線，垂足到原銳角之間一段與該邊所構成的矩形。

註：命題 II.12 及 II.13 就是現時常用的「餘弦定律」。

命題 III.20　在一個圓內，同弧上的圓心角等於圓周角的二倍。

命題 IV.4　求作已知三角形的內切圓。

命題 IV.5　求作已知三角形的外接圓。

命題 IV.11　求作已知圓內接等邊且等角的五邊形。

命題 VII.1　設有不相等的二數，從大數中連續減去小數直到餘數小於小數，再從小數中連續減去餘數直到小於餘數，這樣一直作下去，若餘數總是量不盡其前一個數，直到最後的餘數為一個單位，則該二數互質。

命題 VII.2　已知兩個不互質的數，求它們的最大公度數。

註：命題 VII.1 提供了一個求最大公因數的方法。我們稱它為「歐幾里得算法」或「輾轉相除法」。

命題 IX.14　如果一個數是被一些質數能量盡的最小者，那麼，除原來量盡它的質數外任何另外的質數量不盡這數。

註：這表示一個數僅能以一種方法分解為質因數之積。現代數學稱這命題為「唯一分解定理」或「算術基本定理」。

命題 IX.20　預先任意給定幾個質數，則有比它們更多的質數。

註：這是一個重要的命題。它指出質數有無窮多個。

命題 XII.10　圓錐是與它同底等高的圓柱的三分之一。

以上的命題不單止在數學理論中佔有一個非常重要的地位，而且當中的證明，亦非常巧妙，閱後令人拍案叫絕，亦能顯示出歐幾里得的超凡智慧。

《幾何原本》中命題間的邏輯關係

後世大多數的數學家都認為，《幾何原本》中的演繹體系，是邏輯推理的一個典範。書中對命題關係的要求，甚至乎比現代教科書的要求還要高。以下就是一個很好的例子：

在《幾何原本》的第六卷中，有以下的兩個命題：

命題 VI.2　如果一條直線平行於三角形的一邊，則它截三角形的兩邊成比例線段；又，如果三角形的兩邊被截成比例線段，則截點的連線平行於三角形的另一邊。

命題 VI.4　在兩個三角形中，如果各角對應相等，則夾等角的邊成比例，其中等角所對的邊是對應邊。

命題 2 的前半部其實就相當於現時教科書中的「等比定理」，而命題4則是相似三角形對應角相等的充份條件。在現時的教科書中，我們一般都會應用相似三角形的定理來證明「等比定理」。但在《幾何原本》，兩個命題出現的次序則剛好相反。事實上，在《幾何原本》中，相似三角形對應角相等的充份條件卻是由「等比定理」所推導出來的！

歐幾里得這樣安排，可以避免像現時教科書般，以一種直觀的眼光去理解相似三角形性質；將相似三角形對應角相等的充份條件變成推理的結果，而不是一項幾何假設。由此可見，《幾何原本》的邏輯要求，遠在現時教科書之上！

《幾何原本》中的公理體系

《幾何原本》所使用的演繹法，它的精神是由簡單的數學現象，去證明複雜的現象的。在這個過程中，邏輯推理自然非常重要，但更重要的，是我們必須接受一些簡單的數學現象作為我們的「起步點」，才可以完成所有的證明。而歐幾里得就稱這些「起步點」為「公設」和「公理」。以下就是《幾何原本》中所採用的 5 條公設和 5 條公理：

公　設

1. 由任意一點到任意一點可以作直線。
2. 一條有限直線可以繼續延長。
3. 以任意的點為圓心及任意的線段為距離可以畫圓。
4. 凡直角皆相等。
5. 同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在直線某一側的兩個內角之和小於二直角，則這兩條直線經無限延長後在這一側相交。

公　理

1. 等於同量的量彼此相等。
2. 等量加等量，其和仍相等。
3. 等量減等量，其差仍相等。
4. 彼此能夠重合的物體是全等的。
5. 整體大於部分。

以公理方式去處理演繹幾何的手法，並不是歐幾里得所首創的，在歐幾里得之前已經有希臘數學家提出有關的問題。不過，《幾何原本》中的公設和公理，全部都由歐幾里得本人所選定。從後來歷史的發展可以讓我們體會到，這些公設和公理十分有代表性。透過深入地研究《幾何原本》中的公理系統，我們更可再一次欣賞到歐幾里得超凡的智慧！

第 5 公設及非歐幾何的誕生

在以上的 10 條公設和公理之中，相信最令人迷惑的，要算是第 5 公設了。

看看這條公設，無論在文句上和字數上，都比其他的公設、公理為多，再三閱讀，更覺得這條「公設」好像一個命題而不像一條公設。因此，自《幾何原本》寫成後，就有無數的數學家研究這條公設，並試圖找出證明這公設的方法。

可惜，一直以來，他們的嘗試都失敗！到了十九世紀，匈牙利數學家波爾約（János Bolyai; 1802 - 1860）和俄國數學家羅巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky; 1792 - 1856）分別地發表了一套與第 5 公設相反的幾何體系，從而證明了第 5 公設確實是一條「公設」，不能被證明或否定。與此同時，這兩位數學家亦為我們帶來一個全新的數學世界 —— 非歐幾何學。

圓面積及球體體積公式

《幾何原本》中並沒有圓面積或球體體積的計算公式，我們祇可以從第十二卷中，找到以下的一些相關命題：

命題 XII.2　圓與圓之比如同直徑上正方形之比。

命題 XII.18　球的比如同它們直徑的三次比。

在西方歷史上，最先提出球體體積公式的是阿基米德。阿基米德應用了一種近乎於現代微積分的計算手法，推算出有關的算式，併成功地計算出圓週率小數後兩個位的數值。

參考書目

本文所介紹的，都祇是《幾何原本》中的一小部分內容，若果大家希望可以一窺全豹，則可以參考下列各書，自行探索和研究。

藍紀正、朱恩寬譯（1992）《歐幾里得‧幾何原本》台灣：九章出版社（本書原本由陝西科學技術出版社於 1990 年出版）

Heath, T.L. (1952) 「The Thirteen books of Euclid』s Elements」 New York : Dover Publications, Inc.

Dunham, William著，林傑斌譯（1995）《天才之旅：偉大數學定理的創立》台灣：牛頓出版社

蕭文強著（1978）《為甚麼要學習數學？—數學發展史給我們的啟發》香港：學生時代出版社

梁宗巨著（1995）《數學歷史典故》台灣：九章出版社（本書原本由瀋陽：遼寧教育出版社於 1992 年出版）

李文林（2000）《數學史教程》北京：高等教育出版社、施普林格出版社

網上閱讀《幾何原本》 http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html

下載演講時使用的簡報檔（精簡版）：《幾何原本》淺釋（291 KB ppt 檔）