藍色情懷

作者：國立台灣師範大學 物理系 黃福坤

科學的興起 主要在於 人們將所欲探討事物的性質 加以量化，

測量的精密度 也標示著 科學的進步。

凱文（Kelvin）曾說：

" 如果你無法將所探討的 加以測量並用數字表示，表示你對它 瞭解的有限。

如果你能夠加以量化並測量，表示你對它 已經開始有些瞭解"。

我們來回溯一下，古代的人們是 如何估計 地球、月亮與太陽的大小的呢？

以下說明時會列出參考數據，如果你真的有心想 學習，請千萬親自好好算一下！

（你可以坐在駕駛後面觀摩開車 10年，還是不會開車，只有親自學習才能學會）

 

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地球的大小：（地球平均半徑 6.371×10⁶m)

早在西元 前235年（兩千多年前）埃及人便估算了 地球的大小。

當時已經知道 六月二十二日正午時，太陽日正當中。

在 Syene 城市的高牆，正好都沒有影子產生。

但是同時在北方距離約 8000公里的 Alexandria 城市的高牆卻仍有一段影子。

測量影子長度與牆高，得知影子與牆頂連線和垂直線的夾角為 7.2°

藉由以上的資訊，估算出 地球的周長約 40,000公里。

你想 是如何估計的呢？下圖是提供給你一些提示呢？



 

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月球的大小：（月球平均半徑 1.74×10⁶m)

由觀測月蝕的情形，如下圖是否可以估算出 月球與地球的 半徑比呢？



因為地球的半徑已知，故可以估算 月球的半徑。

地球與月球間的距離：(平均距離 3.85×10⁸m)

如下圖，若是夜晚觀賞月亮時，手上拿著一顆彈珠對準月亮時，

彈珠恰好擋住月亮的外形輪廓，如此你能估算出月球與地球間的距離嗎？



 

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太陽的大小：（太陽平均半徑 6.96×10⁸m)

我們眼中看到月球的大小（視角）似乎與太陽的大小差不多！

月球直徑與地球和月球間距離的比值 ～太陽直徑與地球和太陽間距離的比值

～ 1/110。

如果我們能先估計 地球和太陽間距離 則也就可以估算 太陽的大小了！

 

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( 地球和太陽間平均距離 1.50×10¹¹m ）

當 半月時月球與太陽的連線 和 月球與地球的連線 恰成 90°(如下圖）

在同時可看見月球與太陽時，測量月球與太陽連線 和地球與太陽連線的夾角

（由測量地球與月球連線 和地球與太陽連線的夾角推算）

再由 圖中黃色區域內 公式 便可估算地球與太陽間的距離。



 

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太陽的質量 （1.987×10³⁰ kg） 與地球的質量（5.975×10²⁴ kg）

現代 我們由 克卜勒第三運動定律 ：

軌道半徑三次方 與 軌道週期的平方 的比值。



如上式，萬有引力 恰好提供 圓周運動所需的向心力。

由地球繞日的軌道半徑與週期，可以估算出 太陽本身的質量。

由月球繞地球的軌道半徑與週期，可以估算出 地球本身的質量。

厲害吧！ 你能想出其他 『秤』出太陽或 地球質量 的方法嗎？

當然是 無法用 『天平』 的啦！

當年 卡文迪西 測量出 萬有引力常數 G值 時，

他便宣稱是第一個測出了地球質量的人。

因為由地球表面的重力場強度 g 與地球本身的半徑，藉由萬有引力定律

當已知 萬有引力常數後，便剩下 地球質量一個未知數了！

你如果已經知道月球表面的重力場強度約為地面的 1/6 （1.62 m/s²)

是否可以估算出 月球的質量呢？（7.35×10²² kg）

藉由 地球、月球與太陽的質量與 平均半徑 是否 請你比較一下三者的密度呢？

計算前 先猜一猜 三者密度 大小的順序為何？

也估算一下太陽表面的 重力場強度吧！（參考數值： 274 m/s²)

其他參考數據：

地球繞日週期： 365 天 5 小時 48 分。

（記得高中時我由此數據推算數千年內 潤年的法則，你不妨也試一下吧！）

地球自轉週期：23時56分4.1秒。

月球繞地球週期 27.3 天，月球自轉週期恰好也是 27.3天（好巧喔！）

太陽繞銀河週期約 200×10⁶年，（自轉週期約 26 天）。

地表溫度 ～ 287K，月表溫度～ 125-375K，太陽表面～ 5.8×10³K

地球密度 5.52×10³ kg/m³，月球密度 3.33×10³ kg/m³，太陽密度 1.41×10³ kg/m³。

 

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讓我們藉由熱平衡 估算一下地表的溫度：

太陽表面溫度約 5800K，假設其為理想黑體 則 單位面積輻射能 = σT_s⁴

太陽表面總 輻射能 為 σT_s⁴ (4πR_s²) ，其中 R_s 為太陽半徑

太陽輻射能向四面八方輻射出去，當抵達地表時 單位面積的輻射能變為

σT_s⁴ (4πR_s²)/(4πd²) ，其中 d 為 地球與太陽間 平均距離。

地球表面只有半面面向太陽 ，若地表溫度為 T_e，平衡時

地球所吸收總能量 = 地球所輻射總能量

σT_s⁴ (4πR_s²)/(4πd²)*πR_e² = σT_e⁴ (4πR_e² )

因此 T_e⁴ = T_s⁴ ( R_s²/ d²)/4 ， 2R_s/ d 為地球上所見太陽的視角。

將數值帶入 可得 T_e = 278 K。

（由於地球表面有大氣層，會使大部份太陽的輻射透過，但卻會吸收地表的輻射）

因此會使地球表面的溫度 略高於 上述估計值。

（若是因為某原因 使地表蒙上一層灰塵使得 太陽的輻射穿不透，

但卻又能讓地表輻射能射出去 --地表溫度較低，輻射能相對波長較長，

則 地表的溫度 將更低於上述數值，有人說或許 恐龍就是因此而 滅亡的）

我曾經於去年奧林匹亞國家代表隊的選拔過程中，出過上述問題的詳細計算。

挺有趣的！ 進入準決選的高中生幾乎都能完全答出來。你試過了嗎！

月球表面由於沒有大氣層 因此 面對太陽與背對太陽的溫度 相差很大。

若 考慮 面對太陽的表面 ，單位面積吸收太陽的能量 = 單位面積輻射的能量

σT_s⁴ (4πR_s²)/(4πd²) = σT_m⁴

則可以估算 月球表面 最高溫 T_m ～ 393K

若取月球平均溫度同 上述估算的地表溫度 278K

則 月表背對太陽的溫度 可估算約 143 K 。

上述估計值 與 參考數據 125 - 375 K 還算接近吧！

 

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想一想！我們藉由簡單的想法與物理概念，便可以估算出上述那麼多的數量。

以上舉一些例子，希望達到拋磚引玉的功能，

請你也能 有機會便利用 現有的知識，對未知的 事物做出合理的估計！

通常做為一個決策人員，所最需要的能力便是對於未知的狀況做出合理的估算。

然後做為下定決策時的參考。