作者：Hardy/原著
出版社：凡異
出版日期：2001 年 08 月 27 日
語言別：繁體中文
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這是 Hardy (哈帝) 所寫的 A Mathematician's Apology. 原文應是在 1940 年寫就, 最近 (1992) 由 Cambridge University Press 再度出版. 圖書館編號是 QA7 H3 1992. 臺灣的凡異出版社有一本中譯本, 譯筆還可以, 但是排版和出版的態度都令人難以忍受. 如果不太講究閱讀樂趣, 只求大約知道 Hardy 為純數學家們辯護些什麼, 讀讀不妨. 這本書的前言是在 Hardy 身後寫的, 類似他的一份短短的傳記. 由 C. P. Snow 所寫.
這本薄薄的小冊子, 為純數學的研究工作而辯護. Hardy 沒做什麼激烈的辯護, 這可能不是他的風格. 他的筆調是一種很冷峻的幽默; 有時候, 甚至讓我覺得有點尖酸. 簡單地說, 我所理解的是, 且不談純數學有沒有用, 它至少是無害的. 既然無害, 而有些人天生就是做純數學的創作比做任何其他事情都更有興趣, 而且也做得更好, 那麼就讓他們去做做何妨呢. 接著他談數學的抽象普遍性, 她的真, 美, 深刻與嚴肅, 然後再回到有沒有用的這個話題. 他針對數學的用, 以及純數學和應用數學的分別, 闡述自己的看法.
Hardy 的看法可能在臺灣的數學界很有影響力. 至少, 當我是個數學系的學生的時候, 我所受的教育, 就強烈地暗示, 數學是越沒有用的越好. Hardy 在某處輕描淡寫地說他自己不完全是這個意思, 而且他說這個看法可能來自於 高斯 (Gauss) 的一句被誤解或誤用的話. 他認為純數學家倒不是對物質的世界毫無興趣, 只是他們 (至少他自己吧) 刻意地避免受到它太多的誘惑, 以免失去其純數學的立場. 如果數學被發現有什麼高貴的用處, 即使是純數學家也不至於要否認數學的用處, 更不會為了她的用處而感到羞愧.
至於他自己有沒有做些 "有用" 的數學呢, 他倒是說得非常尖刻, 挑舋, 孤傲, 還帶點酸味:
I have never done anything `useful.' No discovery of mine has made, or is likely to make, directly or indirectly, for good or ill, the least difference to the amenity of the world. I have helped to train other mathematicians, but mathematicians of the same kind as myself, and their work has been, so far at any rate as I have helped them to it, as useless as my own. ... that I may be judged to have created something worth creating. And that I have created something is undeniable: the question is about its value.
很多人可能並不同意 Hardy 所做所傳的數學是如他自己所說的那樣無用. 雖然他不認為自己的數學是有用的 (或許是反諷也不一定), 但是後來的應用數學的確用到了他的東西, 比如說, 他發現的一些不等式, 在應用數學 (微分方程) 的研究上有廣泛的用處. 還有, 在遺傳學上, 有一個所謂的 Hardy-Weinberg 定律 (Weinberg 是一位德國的醫生, 這個定律關係著顯性與隱性基因的傳播, 他們在 1908 年分別同時提出這個定律); 但是他似乎不太情願接受這個榮譽.
除了這些, 我還可以列舉一個與 Hardy 遙遙相關的應用數學. 有一種 Hardy 創造的函數空間, 叫做 Hardy 空間. 研究反射波理論的人常會討論這個空間裡面的函數. 而這個理論直接應用在地震波的研究上, 地震波又有個直接的工業應用, 那就是, 石油探勘. 1980 年代初期, 研究地震波的法國學者源自 Hardy 空間中的原子分解 (atomic decomposition) 理論, 發現了一種新的函數, 具有以前意想不到的性質. 那種函數, 到了八十年代中期, 被稱為 wavelet (我將它譯做凌波函數 http://www.math.ncu.edu.tw/~shann/Teach/wavelet.html), 而後有了快速的發展. 凌波函數被成功地應用在數位訊號處理方面, 例如影像壓縮; 它的可應用範圍還在持續增加中. 當然, 這些都是 Hardy 始料未及的. (幸抑不幸呢?)
Created: Apr 11, 1997
Last Revised: Jun 5, 1997
© Copyright 1997 Wei-Chang Shann 單維彰
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假如真的能把我的雕像塑在倫敦紀念碑上的話，我是希望這座碑高聳入雲，以至人們見不到雕像呢，還是希望紀念碑矮得可以使人們對雕像一目瞭然呢？我會選擇前一種，而斯諾博士可能會選擇後一種。
序 言
我感謝C‧D‧布勞德(Broad)教授和C‧P‧斯諾博士對我提出的許多寶貴的批評。他們讀過我的初稿。我已將他們提出的所有建議的內容實質差不多都寫入了我的書中，同時刪除了許多生硬晦澀的詞語。
但是有一種情況我是以不同的方式處理的，那就是§28。這一章節是在我的一篇短文的基礎上撰寫的。那篇短論文是在年初我投稿到《我發現了》(此雜誌是由劍橋阿基米德協會主辦的學術刊物)的。對這篇不久前我曾以非常認真的態度寫出的東西加以修改，我的確感到為難。再說，假如真要我設法接受這些批評(即嚴肅地看待這些重要的評論)，那我就只得將這章節大大擴展，直至完全破壞這篇論文，使其面目全非。鑑於此，我就沒改動它，而是把批評家對我論文所作的評論的要點之簡述以腳註的形式加在文章最後。
G‧H‧哈帝
1940年7月l8日
前言
這是一個極平常的基督學院高桌晚餐①，哈帝應邀做客，他剛剛作為薩德萊裡恩(Sadleirian)講座教授回到劍橋。在這之前我已經從劍橋年輕一輩數 學家那裡聽到一些他的故事，他們對哈帝回來都感到非常高興，稱他是一位真正的數學家。與物理學家們常掛在嘴上的迪拉克(Dirac)和玻爾等人不同，哈帝 是最純正的，他超凡脫俗，舉止詭異，思想激進，而且對於任何事物急於表達自己的見解。那是193l年的事，當時英語中還不流行以上用語，但人們會籠統地說 他才智出眾。
順著桌子看過去，我仔細地打量著哈帝：他看上去五十出頭，頭髮已灰白，皮膚上太陽斑很深，呈現出印第安人的青 銅色。他的臉長得很俊秀——高高的顴骨，細鼻樑，高傲而威嚴，但娛樂時會像頑童般捧腹大笑。他有一對深棕色的眼睛，明亮如少女——這種眼睛在思維敏捷的人 中很少見。那時劍橋有很多傑出的人，我當時想，即使如此，哈帝也是最出眾的。
我不記得他當時的穿著。在他的長黑袍②裡面很可能是一件運動衣和法蘭絨長褲。與愛因斯坦一樣，他穿著總以舒適為原則；但與愛因斯坦不同的是，他會變換便服款式，穿起昂貴的絲質襯衫。
晚餐後我們坐在休息室的桌子邊喝葡萄酒時，有人告訴我說，哈帝想跟我談談板球。我一年前負責板球隊，但基督學院當時很小，即使是初級隊員的角色也很快確 定了。我被帶到哈帝身邊坐下，沒有人將我介紹給他。如我後來所發現的那樣，在所有正式場合，他都靦腆而害羞，害怕被介紹給人。他點點頭，似乎是意識到了我 的存在，然後，在沒有任何開場白的情況下，開始問我：
「我想你應該對板球有所瞭解，是嗎?」「是的，」我回答，「我知道一點。」
他立刻嚴肅地考問我玩過板球嗎?是什麼風格的球員?我猜測他是因為害怕與人打交道才選擇了學術界，這一圈子的人都獻身於研究而從不娛樂。我煞有介事地炫 耀著自己。他顯示出不完全相信我的回答，接下去提出了一些戰術問題：一年前 (1930年)的最後一場比賽我該選誰來當隊長?如果入選隊員認為我可以挽救英格蘭隊，那麼我應該採取什麼戰略和戰術呢? (「如果你很謙虛，你可以作為非上場隊長來回答。」)如此等等，全然不理會桌上其餘的人。他完全入迷了。
正如我後來從無數 次觀察中所發現的那樣，哈帝無論是對自己還是其他人都不輕信表面印象。按哈帝的觀點，瞭解一個人的惟一方法是考試，無論是數學、文學、哲學，還是政治…… 無一例外。如果誰被考問難住了，其水平也就可以確定了。在哈帝那聰明、高效率的頭腦中，所有的事情都是有條不紊的。
那天晚上在休息室裡，哈帝一定要弄清我是否是一名還過得去的板球運動員，別的他什麼也不關心。最後他像孩子般地坦然笑了：通過我們之間的交談，他充滿了信心，畢竟菲南爾球場(學校的板球場)下一季度可以利用起來了。
正如我與勞合－喬治(Lloyd George)的相識應該歸功於他對顱相學的愛好一樣，我與哈帝的友誼應歸功於我花了太多的青春在板球上，我不知其教益所在，但他給我帶來了好運，這是我 一生中與知識分子的最珍貴的友誼。正如我剛才所提到的，他的頭腦聰明而高效，以至於在他的眼中，其他人似乎都顯得有點糊塗、平淡和慌亂。他不是愛因斯坦或 拉瑟福德(Rutherford)那樣的大天才，憑著他一向清晰的頭腦，他說，「天才」一詞他無論如何配不上，充其量他也只在一個短時期內可稱得上世界上 第五位最純正的數學家。他的人品如他的頭腦一樣絕妙、坦率，他總是宣傳說，他的朋友和合作者利特伍德(Littlewood)是比他更有才華的數學家，他 的門徒拉曼紐揚(Ramanujan)才真正具有一個大數學家所具有的天才素質(儘管是狹義的，但並不需要精確定義)。
當 哈帝談到這些朋友的時候，大家都認為他低估了自己。的確，他人品高尚，從無忌妒之心；但是我認為如果誰不接受他對自己的評價，誰就誤解了他的品質。我傾向 於相信他在《一個數學家的辯白》中的論點，即既謙虛又自負：「當我失望地卻又不得不聽那些浮誇而令人厭倦的談話時，我就會對自己說：『我做了一件你從未曾 做過的事，那就是與利特伍德和拉曼紐揚在某種平等條件下的合作。』」
無論如何，哈帝在數學界的排名只能留給數學史專家了 (儘管這是不可能的，因為他的許多優秀的研究都是與人合作的)。但有一點，哈帝比愛因斯坦、拉瑟福德或其他任何大天才都要傑出，那就是任何腦力工作，重要 的、不重要的或十足的遊戲，他都可以使其成為藝術。我認為，正是上帝恩賜給他的這一天賦，才給了他從事腦力工作的樂趣，儘管哈帝本人可能沒有意識到這一 點。當《一個數學家的辯白》第一次出版時，格雷厄姆‧格林 (Graham Greene)在一篇書評中寫到，本書及其亨利‧詹姆斯的註解是對一個具有創造性的藝術家的素質的最精彩的描述。回憶一下哈帝對所有他周圍人的影響，我相 信這是千真萬確的。
哈帝於1877年出生於一個中層職員家庭。父親是肯蘭萊學校的會計和美術教師，後來就職於一所不大的私立學校；母親是林肯教師進修學院的教師，雙親都很 有才華，特別是具有較高的數學素養。生在這樣的家庭，哈帝自然遺傳了很多數學基因。與愛因斯坦不同的是，他在孩提時代就表現出超人的數學天賦：還在啞啞學 語的時候就有極高的智商(I.Q．)；兩小時就可以寫出億位數；去教堂做禮拜時，他把聖歌中的數字進行因數分解，以此為樂。從那時起他就喜歡與數字打交 道，這一嗜好導致了後來發生在拉曼紐揚病床上的傳奇故事。儘管這一故事已眾所周知，但我不得不再次重述。
孩提時代的哈帝受 到良好的啟蒙教育，受維多利亞文化的熏陶很深。他的父母似乎有點守舊，但非常善良。能在這樣一個維多利亞家庭中度過童年，無疑他是非常幸運的，儘管智力教 育受到過分的苛求。他有兩個與眾不同之處。首先，他很小(不到 12歲)就有極高的自 性。他的父母知道他聰穎過人，而他也的確如此，在班上他所有課程都名列第一，但由此也帶來他最厭倦的事情：他必須站到台前接受頒獎。有一次我們共進晚餐 時，他對我說，他常常試圖故意做錯答案，以免受這種無法忍受的折磨，但這種蓄謀的錯誤總是太小，每次他還是不得不去領獎。
年齡稍大一點，他的自覺意識有所喪失，變得極具挑戰性。正如他在《一個數學家的辯白》中所言，「我不記得在孩提時代對數學有過強烈的愛好，這種數學家的素 質我也許具備，但我並不覺得十分驚人。我對數學的興趣是基於應付考試和爭取獎學金的需要：我必須戰勝其他同學!這似乎成了我決策的動力。」遺憾的是，他不 得不生活在過於棘手的世界中，他的臉皮太薄，不能有效地保護自己，因而不得不努力強化自我意識，但後來他有時又犯一意孤行的毛病；另一方面，這也使他坦率 正直，勇於反省，能夠用肯定、簡潔的語言作出自我評價，這些與愛因斯坦截然不同。愛因斯坦常常不得不抑制自我意識，使自己保持理智狀態來研究外面的世界。
我相信這種矛盾或緊張的性格是導致他行為古怪反常的原因。他是典型的反自戀主義者，他不能忍受被人拍照。據我所知，他一生只照 過五次快照。他的房間不能有任何能照得見人的玻璃，連剃鬚用的鏡子也不例外。他住進旅館的第一件事就是用毛巾把所有的鏡子都罩起來。這種行為即使對一個長 相古怪的人也屬反常，何況他相貌比普通人都漂亮，這種舉動更顯得古怪。當然，自戀與反自戀都無法改變自己在外人眼中的相貌。
這一行為看起來有些古怪，實際上也確實如此。不過，他與愛因斯坦確有一些差異。與愛因斯坦相處很久的人——如因菲爾德(Infeld)——發現與愛因斯 坦相處時間越長，越感到愛因斯坦古怪，我確信我也會有同感。而哈帝則相反，他的行為之古怪也與眾不同，似乎是某一類上層建築導致了這種性格。但這種性格與 常人仍有類同之處，只是他更加怪癖一些。
兒童時代哈帝的另一與眾不同之處是更加務實，他要除去一生中所有事 業上的障礙。哈帝憑著他對數學無限的忠貞、執著，無人可以與他相提並論。他知道特權的優越性，也知道他曾經擁有它。他的家庭並不富裕，僅靠教師的微薄收 入，但他受到了19世紀英格蘭最好的教育。這種特殊的精神財富在這個國家永遠比其他財富更有意義。獎學金總是為傑出者而設的，關鍵是如何贏得它，小哈帝連 微小的失去獎學金的幾率也沒有——儘管有不少小威爾斯(Wells)或小愛因斯坦。從12歲起他就不得不參與競爭，他的天才也受到了人們的關注。
事實上，由於他在肯蘭萊時數學上取得的一些成績，12歲那年他在溫切斯特獲得了一個獎學金。溫切斯特在當時及後來相當長一段時間內是英格蘭數學方面最好 的學校。(附帶說一下，人們會驚訝現在是否還有哪所學校能如此靈活?)他一年級在那裡學習數學，他的成績是拔尖的。後來，他承認當時在那裡受到了極好的教 育，但學習是被迫的。他不喜歡這所學校，但喜歡它所開設的課程。與所有公立的維多利亞學校一樣，溫切斯特非常簡陋，有一年冬天他差一點送了命。他羨慕寄住 在別人家的利特伍德，他是聖‧保羅學校的走讀生，也羨慕在其他制度較鬆的普通學校的朋友們。他離開溫切斯特以後再也沒有走進那所學校。慶幸的是他終於離開 了它，走上了正確的人生路，申請到了三一學院的公開獎學金。
他對溫切斯特有一種奇特的怨情：他天生是一個球類運動員，有一 雙光彩奪目的眼睛。50歲時他常常能夠打敗大學網球亞軍，60歲時我還看見他在板球場上令人吃驚地擊球。遺憾的是，他在溫切斯特從未受過正規訓練，他的打 球方法不大正確。他覺得，如果能夠受到正規訓練的話，他一定會成為一個優秀的板球擊球手，即使不是一流的，也不會差很遠。就像他對自己的所有評價一樣，我 相信他的話非常正確。奇怪的是，維多利亞高級比賽居然漏選了這樣一位天才選手。我猜想無人會想到應在高級學者中尋找運動選手，這是多幼稚、愚蠢而又保守的 想法。
對於他那個時代來說，一個溫切斯特學院的畢業生進入新學院是很自然的，這對他的學術生涯不應該產生明顯的影響(儘管 他一直對牛津比劍橋更鍾愛一些，他如果在牛津呆一輩子，我們中的有些人就會失去結識他的機會)。但他決定進三一學院，其理由被他在《一個數學家的辯白》中 幽默而不加掩飾地解釋為：「我的思想發生變化是在我15歲的時候(這種變化方式很特別)。有一本名叫《三一學院的一個年輕人》的書，署名為『阿倫‧聖‧奧 賓』(實際上是弗朗西絲‧馬歇爾夫人)，是一套有關劍橋生活叢書中的一本……書中有兩名主人公，第一主人公叫弗勞爾斯，他幾乎是完美的化身；第二主人公佈 朗很有些女人氣質。弗勞爾斯和布朗在大學生活中遇到很多妨礙學習的情況……弗勞爾斯擺脫了所有這些麻煩，成為數學學位考試的第二名和年級第一名，自然得到 了一個獎學金(正如我當時所假設的那樣)。而布朗則失敗了，辜負了父母的期望，開始酗酒。有一次，在暴風雨中他處於醉酒後的狂亂狀態，被牧師的禱文拯救出 來。他連普通學位都難以拿到，最後成為一名傳教士。這些不愉快的事
情並沒有影響他們間的友誼，當布朗第一次在高級職員休息室裡喝著葡萄酒、吃著核桃仁的時候，弗勞爾斯對他的行為大惑不解，們卻充滿著愛憐之情。
現在弗勞爾斯是一個非常正直的研究員(迄今為止『阿倫‧聖‧奧賓』所能找到的一個)，然而，就連我這個思想單純的人也不認為他是聰明人。如果他能作出這 些成績，我為什麼不能?給我印象最深的是休息室的最後一幕，它使我著了迷，從那時起，直到我得到三一研究基金為止，對我來說，數學就等同於三一研究基金。
22歲時，他在劍橋數學榮譽學位第二部分考試中榮獲第一名，並得到了三一研究基金。在耶期間，有兩個小插曲。一個是宗教方面 的，表現為高素質的維多利亞處理方法。哈帝決定——我認為他在離開溫切斯特以前就有此念頭——不相信上帝。對於他來說，這是一個黑門分明的決定，如他腦海 裡的所有其他概念一樣明確。禮拜儀式在三一學垸是強制性的。毫無疑問，哈帝以他特有的遲疑的口吻告訴教長說，他不能虔誠地參加禮拜。教長是個自命不凡的小 官吏，堅持要哈帝寫信告訴他的父母。教長知道他的父母是正統的宗教信徒，而哈帝更加清楚，這一消息會使他父母非常痛苦——對於70年後的我們是無法想像這 一痛苦的。
哈帝與他的良心抗爭著，他不能世俗地放棄這一決定。他甚至不善處世到這種程度：去求教於一些老於世故的人，諸如喬治‧特裡維廉(George Trevelyan)和德斯蒙德‧麥卡錫 (Desmond MacCarthy)等，他認為他們會知道怎樣處理這類事，這是有一天下午在菲南爾球場他抱怨此事時告訴我的。最後他終於給父母寫了信。部分是由於這件 事，他對宗教一直持懷疑態度，並愈來愈甚：他拒絕參加任何學院的禮拜，即使是正式公務 (如選舉院長)，他也不遷就。他的朋友中也有牧師、教士，但上帝是他的敵人。所有這些有一個19世紀的聲音在說：或許有誰錯了，但對於哈帝，不要用他的話 反駁他。
他仍然大吵大鬧地嬉戲。記得在30年代的一天，我看見他正為一個小的勝利而得意。故事發生在貴族學院舉行的一場比 賽，紳士隊對公子隊。這是早上的一場比賽，太陽正照在屋頂上。有一個面對著托兒所頂端的擊球手抱怨說，不知從哪兒來的反光照花了他的雙眼。裁判員疑惑地四 處尋找反光源：汽車?不。窗戶?場地的那一端一個窗戶也沒有。最後，帶著勝利的喜悅，一個裁判終於找到了反光源——反光來自於一個高大的牧師胸前佩戴的一 個大十字架。裁判彬彬有禮地要他摘掉十字架，哈帝在一旁魔鬼般地笑彎了腰。午飯時，他顧不上吃飯，忙著給他的教士朋友寫明信片(明信片和電報是他最喜愛的 通信方式)。
在與上帝及其代理人的戰鬥中，勝利並不總是屬於哈帝。大約在同一時期，五月的一個安靜而可愛的傍晚，在菲南爾球場，6點鍾的報時樂聲穿過大地。「真不幸，」哈帝簡潔地說，「我生活中一部分最快樂的時光在羅馬天主教堂的鍾聲中度過了。」
他大學期間的第二個小煩惱是學術上的。自從牛頓以後，在整個土9世紀，劍橋就被舊的數學榮譽學位考試制度所控制。英國人在考試競爭中總是比其他國家的人 更有優勢(也許除了中國人以外)。這些考試的設立是基於傳統的評判標準，在考試形式上明顯地顯示出呆板。附帶說一句，現在這種現象依然存在。當然，數學榮 譽學位考試的榮耀是不可否認的。考試題目機械地看很難——但不幸的是，無法通過考試來發現考生的數學想像力、洞察力或作為一個有創造性的數學家所應具備的 其他素質。考試優勝者(英文為Wtanglers，數學學位考試一等榮譽學位獲得者，這一術語仍沿用至今)是基於考試成績，並嚴格按分數次序選拔的。如果 某人的成績為最優名列一等第一名的話，學院會舉行慶祝活動，一二名或第三名立即被選為研究員。
這些都遵循著英國傳統的習慣。它只有一個缺點，正如哈帝以他敏銳的洞察力所指出的。當他成為一個著名的數學家後不久，他與他堅定的夥伴利特伍德一起致力於廢除這一制度時就指出了這一缺點：它使英國嚴肅的數學一百多年來一直停滯不前。
哈帝來到三一學院的第一學期還能跟上這一體系。他被訓練為一匹賽馬，在數學題目的領域裡賽跑，還在19歲時，他就知道這是毫無意義的。他被送到一個有名 的教師那裡學習，多數有潛力成為數學學位考試最優名列一等第一名的考生都被送到他那兒。這個教師知道所有考生的障礙，知道所有考官的出題風格，而對於課程 本身並不感興趣。對於這種體系，要是換上年輕的愛因斯坦就一定會反抗：要麼離開劍橋，要麼在以後的三年里根本不做正規作業。但哈帝生在更守舊的英國環境中 (有優點，也有缺點)。在考慮更換為歷史專業時，他想到了找一個真正的數學家來教他。哈帝在《一個數學家的辯白》中對他深表稱頌：「我的眼界最初是由樂甫 (Love)教授打開的，他只教了我幾學期，卻使我對分析的嚴謹概念有了最初的瞭解。我從樂甫教授那兒獲益最大的是他建議我讀喬丹(Jordan)著名的 《分析教程》 (樂甫教授畢竟首先是一名應用數學家)，我永遠也不會忘記這部著作所給予我的震撼，不會忘記那本書對我這一代數學工作者的激勵。讀了這部著作，我第一次懂 得了數學的真諦；也是從那時起，我走上了一個真正的數學家的道路，對數學樹立了正確的目標，產生了真誠的激情。」
1898 年，他在數學學位考試中獲得第四名。他常常承認，這一結果當時使他有點惱怒.他是一個很有潛力的競爭者，儘管這種考試很荒謬，但他認為冠軍應該屬於他。 1900年，他參加了數學榮譽學位第二部分考試，這是更權威的考試，他取得了應該屬於他的好成績，並獲得獎學金。
從那時起，他的前途實際上就註定了。他很清楚他的目標是要把嚴密性引入英國的數學分析中。他沒有偏離他認為是「生活中最大的永久的快樂」的研究。不用擔心他應該做什麼，無論是他自己還是別人對他的聰明才智都深信不疑。他23歲就被選人皇家學會。
哈帝是那個時代的幸?兒：他不用思慮自己的前?，從23歲起他就擁有一個男人所需要的安逸，也有足夠花的錢。在20世紀初，三一學院的單身教師是很愜意 的，但哈帝用錢很謹慎，不得已的錢他才花(有時是特殊的目的，如50英里的的士費)；可花可不花的錢，無論世俗輿論如何，他也絕不會花。他只做他願意做的 事，放縱自己的怪僻。他生活在世界上最優秀的知識分子圈子中——G·E‧摩爾、懷特海、羅素、特裡維廉以及三一學院的高級圈子，藝術家布盧姆斯伯裡 (B1oomsbury)也很快加入了三一學術圈(實際上，哈帝很早就與布盧姆斯伯裡私交甚好，興趣相投)。在這個傑出人物的圈子中，哈帝是最卓越的青年 人之一，並且，在非正式場合，他最無拘無束。
現在我可以告訴你我後面要說的內容：哈帝一直到老都保持著一個才華橫溢的青年人的生活熱忱和精神境界，娛樂、興趣也都保持著一個劍橋年輕教師的熱情。但是，與許多直到60歲還保持青春活力的老年人一樣，他晚年的最後幾年終究失去了這種活力。
當然，哈帝大多數時候比我們大多數人都要快樂。他的朋友廣泛得令人吃驚，這些朋友都必須通過他的私人考試：他們必須具備他稱之為「螺旋」的素質(這是一 個板球術語，只可意會不可言傳：它暗喻某種婉轉或精明的處事方法。對於當今社會名流，麥克米倫和肯尼迪可以打高分，而丘吉爾和艾森豪威爾則不及格)。但他 很寬容、誠實、生氣勃勃，含蓄地溺愛著他的朋友們。有一天早上我不得已去看他。早上一直是他做數學研究的保留時間，他正坐在書桌前，用一手俊秀的字體寫著 什麼。我低聲說了一些陳腐的客套話，希望我沒有打擾他。他突然明白了我的意思，露出詭秘的笑容說：「就像你應該已注意到的，答案是你打擾了我。當然，我通 常很高興見到你，」16年來，我們彼此非常瞭解，他從未說過比這更動感情的話，除了在他臨終時他說盼望我再來看他以外。
我 相信他的大多數好朋友都與我有同感。但是在他一生中，也有過二三次另一種朋友關係，這種關係只是強烈的、吸引人的感情，是崇高的而非肉體的。我知道的一次 是為一個小夥子，這個小夥子的性格與他自己一樣脆弱。我相信其他幾次也一樣，儘管只是偶爾從他的談話中捕捉到的幾句信息。對於許多像我這一代人來說，這種 關係既不滿足也不可能實現，而且，除非認為這是想當然的，誰也不會理解哈帝這樣的人的氣質(這種人很少，但也不像犀牛那麼稀少)，即使是他那個時代的劍橋 人。他沒有得到應有的滿足，我們大多數人也無法幫助他得到這種滿足。他知道自己與眾不同，但這並沒有使他感到不快。他的精神世界是他自己的，且非常富有。 不幸的事最後發生了：除了他忠誠的妹妹以外，再也無人接近他。他在《一個數學家的辯白》(除了它所有高尚的精神以外，此書是一本令人絕望的悲哀的書)中帶 著譏諷的禁慾主義觀點說，一個創造性的人已經失去了創造的能力和慾望，「這的確很令人惋惜，但在這種情況下，他已不在乎任何事情，所以為他操心是愚蠢 的」。這就是他處理數學以外的個人生活的態度，只有數學才是他存在的理由。在與他交往時很容易忘記這些，就像在愛因斯坦的倫理感情中很容易忘掉他存在的正 當理由是尋求物理定律一樣。但他們兩人從來沒有忘記一點，這就是他們生活的核心所在，從年輕開始一直到死。
與愛因斯坦不同，哈帝沒有很快使自己聞名。他於 1900—1911年發表的早期文章很有份量，足以使他進入皇家學會，贏得國際聲望，但他並不看重這些。這不是虛偽的謙虛，而是大師的英明判斷：他知道哪些工作有價值，哪些工作無價值。
1911年他開始了與利特伍德35年的合作，1913年他發現了拉曼紐揚，又開始了另一次合作。他的主要工作都是在這兩人合作下進行的，多數是與利特伍 德合作，這是數學史上最著名的合作。據我所知，迄今為止還沒有任何一個科學，或其他領域的創造性活動像他們這麼成功。他們合作發表了近一百篇文章，很多都 是「布拉德曼級(Bradman class)」的。在哈帝的晚年，與他接觸不多、也很少打板球的數學家們堅持對哈帝的最高評價是「霍布斯級(Hobbs class)」，其實不然。這很勉強，剛好他的寵物也叫霍布斯，他不得不更改榮譽的次序。我曾經收到他一張明信片，大約是1938年的，上面寫道：「布拉 德曼級超過了古往今來所有的擊球手，如果阿基米德、牛頓和高斯仍在霍布斯級的話，我必須承認超過他們的可能性。這一等級我很難想像，最好從現在起進入布拉 德曼級。」
對於整整一代人來說，哈帝－利特伍德主宰了英國的純數學，也在很大程度上上宰了世界的純數學。數學家們告訴我，他們在多大程度上改變了數學分析的發展進程現在還很難說，也很難預料在今後的l00年中他們的上作有多大的影響，但其不朽的價值是毫無疑問的。
正如我前面所說的，他們的合作一直是最偉大的，但是沒有人知道他們是如何合作的，除非利特伍德告訴我們，否則無人會知曉。我已經提到過哈帝對利特伍德的 評價：他是兩個合作者中能力更強的一個。哈帝曾經寫道，他知道「沒有其他人能夠擁有這樣的心靈、技術和才智的合作」。利特伍德一直是一個比哈帝更平常的 人，他與哈帝一樣風趣，但似乎比哈帝社會經驗更豐富一些，他從不像哈帝那樣擅長於精妙的學術宣傳，所以很少在學術圈的中心出現。這導致歐洲數學家們開玩笑 說，哈帝創造了利特伍德，以便在他們的某一定理證明有誤時替哈帝受過。實際上，利特伍德的個性至少與哈帝一樣倔強。
從表面 上看，他們兩人都不像是容易合作的夥伴，很難想像最初是誰先提出合作建議的。當然他們當中必定有一人先提出來，但沒有人能夠看出他們是如何安排的。他們合 作的大部分時間並不在同一大學，據報導，哈拉爾德‧玻爾(Harald Bohr)(尼爾斯‧玻爾的弟弟，他本人是一個優秀的數學家)曾說他們合作的一個原則是：如果一人寫信給另一人，收信人沒有任何義務回覆，甚至可以拒不拆 信。
對此我無法作任何評論。多年來，哈帝與我的談話涉及到幾乎所有能想像得到的方面，除了合作。當然，他曾經說這是他的創 造生涯中很幸運的事情，他提起利特伍德時用詞與我前面所描述的一樣，但他從不暗示他們的合作細節。我對數學懂得不多，無法理解他們的文章，但我學會了他們 的一些語言。如果他無意中說出了任何有關他們合作的方法，我想我絕不會漏掉它們。我可以很肯定地說，秘密——對他來說並非獨特，但對大多數人來說似乎至關 重要——在於深思熟慮。
關於他發現拉曼紐揚，根本無秘密可言。他曾寫道，這是他生活中一個傳奇的小故事。無論如何，這是一 個令人欽佩的故事，一個幾乎讓所有人(只有兩個例外)信任的故事。1913年初的一個早上，在他早餐桌上的一大堆信件中，他發現了一個污皺的大信封，上面 蓋有印度郵戳。打開信封，裡面有幾頁陳舊的紙，字跡不像英國人的手筆，滿頁都是符號。他瀏覽了一下信，無動於衷。這時他36歲，已經是世界著名的數學家， 他發現著名的數學家們常常會碰到一些狂熱者，他已經習慣於收到陌生人的手稿：證明金字塔的智慧預言，猶太長老的啟示，或培根設在被認為是莎士比亞的作品中 的密碼。
所以，哈帝對此比任何事都感到厭煩。他瀏覽了一下信，信是用不通順的英語寫的，署名為一個不認識的印度人。信中要 求哈帝對這些數學發現發表自己的觀點。手稿上似乎都是定理，多數看起來雜亂無章或異想天開，有一兩個已經是眾所周知的，看上去卻像是他剛發現的，沒有任何 證明。哈帝不僅感到厭煩，而且惱怒，這看起來像一個荒謬的欺詐行為。他把信稿丟到一邊，繼續他一天的日常工作程序。他一生中一直都沒改變這一程序，所以也 許有必要重述它：早餐時他先閱讀《泰晤士報》，如果有澳大利亞板球賽事的話，他會最先看此消息，並用心揣摩。
哈帝的一位朋友梅納德‧凱恩斯(Maynard Keynes)也是數學大師，有一次曾數落哈帝：假如哈帝每天花半小時像關注板球賽事那樣研究股票市場行情，他早就輕而易舉發財了。
然而，從上午9點到下午1點，除非有課，他都傾心於數學研究。他常常說，對於一個數學家來說，每天四小時創造性的工作差不多是極限。午餐在餐廳，他吃得 很少。午飯後，他慢跑到學校網球場打一下網球(如果在夏天，他會散步到菲南爾球場看板球)，然後再溜躂回他的房間。那一天，儘管程序沒有改變，但內在進展 與預料的有差異。打完球後回來，他的腦子不斷被那份印度手稿所困擾：雜亂的定理，他以前從未見過也未想像過的定理，一個欺詐天才?這個問題盤旋在他的腦海 中。因為是哈帝的腦袋，這個問題特別簡練而清楚：寫信人作為一個欺詐天才比一個未發現的數學天才可能性更大嗎?顯然，答案是否定的。回到三一學院的房間 後，他又看了一下信稿，並帶信給利特伍德 (可能是由信使傳的信，但肯定不是打電話，因為他對電話就像對所有的機械裝置包括自來水筆一樣，十分不信任)，說吃完飯後他們必須討論一下。
吃完飯後，通常有片刻休息，哈帝喜歡來一 葡萄酒。但是，除了「阿倫‧聖‧奧賓」的狂樂曾喚起他富有青春活力的想像外，他發現自己並不是真的喜歡逗留在休息室裡吃水果、喝葡萄酒。但利特伍德喜歡 這種場合，所以他們在休息室休息了一會兒。約9點鍾時，他們準時回到了哈帝的房間，攤開信稿。
我真希望當時能在場目睹他們 的討論：哈帝，集清醒、理智、高傲於一身(他很英國化，但爭論時顯示出拉丁人獨特的性格)；利特伍德，富於想像、活力、幽默，顯然討論沒有花太長時間，午 夜12點以前，他們就肯定地認為，手稿的作者是個天才。這是那晚他們所能作的最肯定的判斷，只是在後來哈帝斷定拉曼紐揚在自然數學天才中，本可與高斯和歐 拉相提並論，但由於他受教育的欠缺，加之他在數學歷史舞台出世太晚，不可能作出像高斯和歐拉那麼重大的貢獻。
凡事說起來容易，上述判斷應該早有大數學家們得出來了，但我要提到，有兩個沒在故事中出現的人物是不值得稱讚的。出於騎士氣質，哈帝在所有關於拉曼紐揚 的談話和文章中都隱瞞了這一點。這兩個人已經死了好多年了，所以現在是說出真相的時候了：很簡單，哈帝不是第一個收到拉曼紐揚的手稿的著名數學家，在這之 前還有兩位，都是英國人，學術聲望極高，他們都把手稿退了回去，沒有任何評論。拉曼紐揚出名以後，我想歷史不會記載他們所說的任何話，如果有誰知道了這些 也會對他們暗表同情。
第二天哈帝就開始行動起來，他認為必須把拉曼紐揚帶到英國來。經費不是一個主要問題，三一學院對支持 非正統的天才有很好的政策——學院幾年後對卡皮查(Kapitsa)也做了同樣的支持——一旦哈帝做了決定，人事機構就無法阻擋拉曼紐揚，但是他們需要某 些非人事方面的支持。
後來才知道拉曼紐揚是馬德拉斯的一個窮職員，與妻子住在一起，一年只有20鎊的收入。他是一個婆羅門 教徒，通常嚴格按宗教儀式辦事，他母親則更加嚴格，他似乎不可能打破禁規越洋過海。幸好他母親最崇拜納馬卡爾(Namakkal)女神，一天早上，拉曼紐 揚的母親宣佈了一個驚人的消息：她頭天晚上做了一個夢，夢中她看見她兒子在一個大禮堂裡坐在一群歐洲人中間，納馬卡爾女神命令她不要阻擋她兒子為實現他的 人生目標所作的奮鬥。為拉曼紐揚寫傳記的印度作家說，這使所有關心他的人吃驚。
1914年拉曼紐揚到達英國。以下是哈帝對 拉曼紐揚的考察結果(儘管在這方面我不能相信他的洞察力)：雖然衝破等級禁錮非常困難，拉曼紐揚並不信奉神學教條，除了一點模糊的行善行為以外，不比哈帝 更虔誠。但他肯定相信宗教儀式，當他就職於三一學院時——他在四年內成為該學院的研究員——根本沒有「阿倫‧聖‧奧賓」的享樂，哈帝常常發現他舉行儀式般 地換上伊斯蘭教徒穿的寬鬆褲，在他自己的房間裡非常蹩腳地炒素菜。
他們的合作是一個神奇的動人故事。哈帝沒有忘記他是在面 對一個天才，但這個天才即使在數學方面也幾乎沒受到正規訓練。拉曼紐揚沒能進人馬德拉斯大學是因為他英語沒通過入學考試。按哈帝的說法，這位印度人總是和 藹可親，性情很好。但可以肯定，他對哈帝超出數學範圍的談話幾乎不懂。他聽哈帝說話時似乎總帶著耐心的微笑，面容友善、親切，但即使是談論數學，由於他們 受教育程度不同，用詞也就有差異。拉曼紐揚是自學的，他對現代學術意義上的嚴謹一無所知，在某種程度上他不知道什麼叫證明。有一次哈帝喝醉酒以後曾經寫 道，如果拉曼紐揚能受到更好的教育，將少一點拉曼紐揚的特性。當他清醒以後，他說那些話是胡說，應該說如果拉曼紐揚受到了更好的教育，他將會比現在更出 色。實際上，儘管拉曼紐揚已是溫切斯特獎學金候選人，哈帝還是不得不對他進行一些正規的數學教育。哈帝說這是拉曼紐揚生活中最獨一無二的經歷：對於一個對 數學有最深刻的洞察力、但從沒有從正規書本上接觸過大多數內容的人來說，現代數學看起來像什麼呢?
無論怎樣，他們合作發表了最高檔次的五篇文章，哈帝在文章中顯示出極高的獨創性(他們合作的細節比哈帝一利特伍德合作更為人知一些)。慷慨和想像在這一次完全得到回報。
這是一個進取向上的故事，一旦有了好的開端，就會繼續取得更大的成功。值得記住的是，英國給了拉曼紐揚可能給的最高榮譽：皇家學會在他30歲時選他為院 士(對一個數學家來說，是非常年輕的)，三一學院也在同一年選他為研究員，他是一人獲得這兩個稱號的第一個印度人。對此他很感激，但不久他就病了。在戰爭 年代，要把他轉到一個氣候較好的地方是很困難的。
當拉曼紐揚病重躺在普特尼的醫院時，哈帝常常去看他。正是在哈帝探視他的 一次途中發生了出租馬車車號的小故事。哈帝到普特尼乘的是出租馬車，這是他經常選擇的交通工具。哈帝每次走進拉曼紐揚的病房時，總不善於恰當地開始談話。 這次他可能一句問候語也沒有，第一句話就是：「我想我的出租馬車車號是1729，這對我來說似乎是一個很不吉利的數字。」拉曼紐揚回答道：「不，哈帝! 不，哈帝!這是一個很有趣的數，它是能夠以兩種方式表達為兩個立方數的和的最小數。」
這件事是哈帝所記載的，一定是準確的。哈帝是最誠實的人，而且，可能還沒有人發現這個數的奧秘。
拉曼紐揚在戰後兩年回到馬德拉斯後死於肺結核。正如哈帝在《一個數學家的辯白》中所寫的，在他的數學家名單中：「伽羅瓦(Galois)21歲去世，阿 貝爾(Abel)27歲去世，拉 紐揚33歲去世，黎曼40歲……我不知道有哪一個重要的數學進展是由一個年過半百的人創始的。」
如果沒有與拉曼紐揚的合作，1914—1918年的戰爭對哈帝的創傷會更重。儘管如此，它仍然給哈帝留下了一個傷口，且這個傷口在二次大戰中又被破開 了。他一生都持激進觀點，他的激進主義似乎染上了世紀轉折期的啟蒙色彩，對我們這一代人來說，有時就像呼吸了更輕柔、純真的空氣，而我們並未察覺。
與他的愛德華七世時代的知識界朋友一樣，他對德國有強烈的感情。德國畢竟是19世紀的教育先驅，向東歐、俄國、美國等國家傳授了研究風氣。其實，哈帝很 少研究德國文學或德國哲學，他的品味太古典。但在很多方面，他認為德國文化，包括社會福利制度，比他自己的國家更發達。
與 愛因斯坦不同，哈帝對威廉統治下的德國的親身感受不多，而愛因斯坦則在政治上受到殘酷的迫害。而且，哈帝是很實在的人，如果他對德國的感激之情不勝於他自 己的國家的話，他似乎自覺沒有人性。在這一時期，有一個很令人高興的小故事：德國最偉大的數學家之一希爾伯特聽說哈帝住在三一學院一套不特別令人滿意的套 房裡(實際上他住在惠韋爾院)，再三斟酌以後便寫信提醒院長，指出哈帝不僅是三一學院也是英國最優秀的數學家，因而應住最好的房間。
所以，哈帝，像羅素和劍橋高層知識界的很多人一樣，認為戰爭不應該打起來。而且，由於他對英國政治家根深蒂固的不信任，認為錯方在英國。他對這一觀點有 很嚴密的理性推論，因而找不到否定這一觀點的充分理由。事實上，他自願要求為德比計劃服務，但由於健康原因被拒絕了。而他在三一學院越來越感到孤獨，因為 多數人都是好鬥的。
羅素在過分複雜的情況下被校方解僱了(哈帝為了使自己在另一場戰爭中好受一些，25年後才寫下了當時的 細節)，哈帝要好的朋友都遠離他去參加了戰爭，利特伍德正在皇家炮兵部隊作為陸軍少尉從事彈道學研究。由於他心甘情願保持中立，四年戰爭後他仍然是一名陸 軍少尉。哈帝與他之間的合作受到了干擾，儘管沒有完全中斷。在學院同事間的激烈的爭吵中，是拉曼紐揚的工作給哈帝帶來了安慰。
我有時想，哈帝對他的同事們不夠公平。由於在戰爭年代，有的人相當瘋狂，但有些人仍長期忍受痛苦企圖維持社交禮節。不管怎樣，他們選舉他的弟子拉曼紐揚正是學術正義佔了上風。
而哈帝那時僅僅與參加選舉的一些人簡單地交談，而不是所有的人。
他仍然很不愉快，一旦條件許可，他就離開劍橋。1919年他在牛津得到了一個職位，立刻享受到他一生中最快樂的時光。他與拉曼紐揚和利特伍德的合作已取 得了巨大成功，但現在他與利特伍德的合作更上升到最高層次，用牛頓的話說，是「處在他發明的全盛期」，這時他四十出頭．這對於一個數學家來說異常地晚了。
這種創造激情來得如此之晚使他感到永恆的青春湧動，這對他來說比大多數人都重要。他像年輕人一樣充滿活力，他網球比以前打得更 多，技藝穩步提高(網球是一項昂貴的運動,它要花費一個教授收入的相當一部分)，他多次訪問美國的大學，並愛上了這個國家；他是那個時代幾乎同樣喜愛美國 和蘇聯的少數幾個英國人之一；他無疑是惟一一個給板球委員們寫信、認真地提出其中一個比賽規則應作技術改正的英國人。20年代對他和他那一代大多數自由人 上來說是一場災難，他恨不得把戰爭的痛苦全掃進歷史。
他在新學院像在家一樣舒適、自在，而他在劍橋卻從未有過這種感覺。溫 暖的，家鄉似的牛津氣候很適合他。正是在那兒，在當時還很小但很親切的學院裡，他完善了他自己的談話風格。放學後總有人渴望聽他談話，這些人可以接受他的 佔怪，他們認為他不僅是一個偉大、善良的人，而且待人熱情。如果他想玩對話遊戲，或實地(儘管古怪)板球遊戲，他們都樂於奉陪，對他表現出異常親切，富有 人情味的關懷。儘管他以前也受到人們的讚揚和尊敬，仉沒到如此程度。
有—件事似乎很可笑：幾乎沒有人注意到哈帝的房間裡有 一幅很大的列寧照片。哈帝的激進主義不是那麼有組織的，但是真的，如前所述，他出生在一個知識分子家庭，幾乎一生都生活在資產階級階層，但實際上他的行為 更像一個貴族成員，或更確切地說像一個浪漫主義貴族。他的這種處世態度也許是受了他的朋友羅素的影響，但多數是天生固有的。在他那膽怯的性格里，他對此根 本不在乎。
沒有任何庇護，他與那些貧窮的、不幸和膽怯的、受種族歧視的人(發現拉曼紐揚是他命運的象徵性事件)相處得很 好，與那些他稱之為「大瓶底」基礎的人相比，他更喜歡前者。」大瓶底」一詞的來源更基於心理學而不是解剖學，在19世紀三一學院有一句有名的格言是亞當‧ 塞奇威克(Adam Sedgwick)說的：「在這個世界如果沒有一個『大瓶底』誰也不可能成功。」對哈帝來說，「大瓶底」意味著自信的、興旺的、帝國主義的資產階級英國 人，他們包括大多數主教、校長、法官及所有的政治家，惟獨勞合－喬治除外。
為了表示對國家的忠誠，哈帝接受了一個公益事業 職務。 l924——1926年兩年間，他是科學工作者協會的理事長，他譏諷地說這是一個奇怪的選擇，是「世界上最不實用的職業中最不實用的成員」。但對於重要的 事情，他不是形同虛設，他會審慎地站出來處理。很久以後，當我回來與弗蘭克‧卡辛(Frank Cousins)一起工作時，我只有兩個可靠的朋友，他和G·H‧哈帝，他們主持了工會運動的領導工作，我為此感到非常高興。
儘管20年代的夏季，牛津的氣候不是異常宜人，但也足夠舒適，使人不解的是他為何要回劍橋。1931年他終於回去了。我分析有兩個原因。第一個也是決定 性的，他是一個偉大的科學家，劍橋在當時仍是英國的數學中心，那裡的高級數學講座教授對一個科學家來說才是最合適的地方。第二個是古怪的原因，他考慮到年 紀越來越大，儘管牛津學院溫暖而富有人情味，但對老人是冷酷的：如果他仍在新學院，一旦到了退休年齡他就得馬上離開教授的辦公室；而如果他回到三一學院， 他可以終生在位直至去世，這也是影響他的重要因素。
當他回到劍橋時——也就是我開始認識他的時候——他正處在輝煌期的餘輝中。他仍然很快樂，富有創造性，雖不如20年代，但仍足以使他覺得創造潛力還在。他精神飽滿如在新學院一樣，所以我們有幸看到他幾乎處在最佳期。
當 我們成為好朋友以後，在冬天，每兩週我們就要分別在各自的學院裡一起共進晚餐。夏天，我們則同意在板球場聚會。除非特殊情況，早上他仍然做數學研究，中餐 以後他才到菲南爾球場。他喜歡沿著煤渣路大步、沉重地慢跑(他稍稍有些瘦，即使在五十多歲快六十歲仍身體靈活，打網球)，低著頭，頭髮、領帶、運動衫、草 稿紙隨風飄揚，引起了大家的注意。「那裡來了一位希臘詩人，他將超過我。」一次當哈帝經過記分牌時一位喝彩的農夫說。
哈帝走到他最 喜歡的地方，亭子的對面，那裡他可以得到太陽的每一束光——他是一個向日迷。為了使太陽發光，即使在晴朗的五月下午，他也帶著一個他所稱的「反上帝電池」 到那兒去。電池的組成是：三四件運動衫、他妹妹的傘、一個裝了數學手稿 (如博士論文)的文章袋、一篇他為皇家學會審查的文章，或一些榮譽學位考試答案等。他會對一個熟人解釋說，上帝相信哈帝預計到天氣會變化，為了給他一個工 作的機會，反向地安排天空仍晴朗無雲。
他在那兒坐下了。在長長的下午，他為了觀看板球取樂，希望陽光明媚， 且有一個同伴與他同樂。球藝、戰術、動作美——這對他是最大的吸引力。我不想試著解釋這些，除非懂得板球的語言，否則無法表達其意義。就像哈帝的某些經典 格言是無法解釋的一樣，除非你懂得板球術語或數學理論，最好是兩者皆通。幸好對於我們大多數朋友來說，他還具有普通人的幽默。
他可能是第一個否認他自己有特別的心理洞察力的人，但實際上他是最聰明的人，具有敏銳的觀察力，且閱讀廣泛，也具有普通人的特性——身體強健、待人寬 容、好諷刺人、絕對無虛榮心。他精神道德上的正直是少見的(我懷疑有誰能夠比他更正直)，他對自命不凡、偽善的道德極端厭惡。現在，板球這個最美麗的運動 比賽也大多穿上了偽善的外衣，球隊精神最終被假設為：應該爭取零分讓對方贏，而不應該得100分讓對方輸(一個像哈帝一樣純真公正的傑出的板球手有一次曾 婉轉地說他從沒有此念頭)。這種特殊的社會因素喚起了哈帝荒謬的想法，他總是用一個平衡系列格言來回答解釋問題。例如：
板球是惟一的一種正方10人對抗對方11人的比賽。如果你上場時神經緊張，那麼沒有任
何東西能夠鼓起你的勇氣來看著另一人下場。
如果他的聽眾們運氣好，他們還可聽到與板球無關的評論，就像他寫的文章一樣銳利。
在《一個數學家的辯白》中有更多典型的例子，下面列舉幾個：表達一個大多數人的觀點決不值得一個天才來做。根據定義，有多得很的人可以做這件事。
當我還是一個大學生時，可能會有人——如果他非常不正統——建議托爾斯泰作為一個作家來到喬治‧梅瑞狄斯(George Meredith)的身邊；但是，毫無疑問，沒有其他人可能這樣做。(這是討論關於陶醉的方式時說的，值得一提的是他生活在幾代劍橋人最輝煌的時期。)
無論為了何種嚴肅的目的，智力是很不重要的禮物。
年輕人應該驕傲自大，但決不能愚笨。［當某人企圖說服他《芬尼根的覺醒》(Finnegans Wake)是最後的文學傑作時所說。］
有時一個人不得不說他的困難，但應該說得儘量簡潔，好像別人已經知道一樣。
他看板球時通常每球必看，但偶爾興趣也會減退，隨後他會要求我們玩挑選球隊的遊戲：騙子隊、棍棒隊、偽詩人隊、惹人厭煩隊、名字以HA開頭的隊(1號和 2號是Hadrian和 Hannibal)、名字以SN開頭的隊、三一的全日製隊、基督院的全日製隊，等等。我不擅長這種遊戲：即讓人選擇一個名字以SN開頭的著名人物隊。三一 隊佔絕對優勢——克拉克‧麥克斯韋 (Clerk Maxwell)、拜倫(Byron)、薩克雷(Thackeray)、丁尼生 (Tennyson)等人的位置不確定；而基督院隊彌爾頓和達爾文打頭很強，但從第三號開始就不行了。
他還有另一個喜愛的 娛樂。「給昨晚我們遇見的男子分類」。他說，於是某人在每個分類中被記為100號。分類是哈帝很久以來發明和定義的：刻板的、蒼白的(「一個刻板的人不一 定是蒼白的人，但所有蒼白的人毫無例外地應考慮為刻板的人」)，遲鈍的、老白蘭地的螺旋的，等等。刻板的、蒼白的和遲鈍的是不解自明的(威靈頓公爵刻板和 蒼白都是100分，遲鈍為零分)。老白蘭地是從一個神話人物而來，他說他從不喝任何飲料，除了老白蘭地。因此，由此推論，老白蘭地表示一種古怪的、深奧的 但在情理之中的愛好。作為一種特性(這是哈帝的觀點，也是作為一個作者的觀點，儘管不是我的觀點)，普魯斯特得到了老白蘭地最高分，F·A‧林德曼(後來 的徹威爾勳爵)也一樣可得到高分。
夏天過去了。在一個最短的劍橋假日過後，就是大學比賽。要安排在倫敦見他總是不容易，因 為，如我前面提到的，他對機械的玩意兒有一種病態的懷疑(他從不用手錶)，特別是電話。在他的三一學院的辦公室裡或聖喬治廣場的套房裡，他常常用一種不讚 成的和稍帶一點兒凶惡的聲音說：「如果你想用電話，隔壁房間有一部。」有一次在緊急情況下他不得不撥通我的電話，憤怒的聲音傳到我耳朵裡，「我不會聽你說 一句話，所以我講完以後立刻就會把話筒掛斷。你一定得在今晚9至10點鍾之間到我這裡來，非常重要，」隨後電話就被掛斷了。
他仍然準時到達了大學比賽地點，每年這時是他才智最煥發的時候。他被朋友們包圍在中間，這些朋友有先生也有女士。他非常放鬆，沒有羞怯感。他成為所有人注意的中心，但他並不討厭這一點。有時從四分之一英里外還可聽到這裡的笑聲。
在那些快樂的晚年時光裡，他做的每一件事都是情願的、有序的，這是他的一種風格。板球是一種優美、有序的遊戲，這正是他發現它形式美的原因，我聽說，他 的數學，包括他最後的創造性工作也具備這同樣的審美要求。我已經得出了這樣的印象：我相信他在非公開場合非常健談，在一定程度上這無疑是正確的。但是，在 他稱為「不平常」的場合(指對每一個參加者都很重要的場合)，他也是一個嚴肅、專注的聽眾。我在同一時期通過各種機會認識的其他著名人物中，威爾斯總的來 說是一個比人們預料的還要差的聽眾；拉瑟福德要好得多；勞合－喬治一直是最好的聽眾之一。哈帝不像勞合－喬治那樣，從他人的言談中獲得印象和知識，但他的 頭腦受他人支配。在我準備寫《教士》的前幾年，他聽到了這一消息，就盤問我，使我對他談了很多。他提出了一些好的建議。我希望他讀過這本書，我想他會喜歡 它的。不管怎樣，這本書我是獻給他的。
在《一個數學家的辯白》的結尾他討論了其他一些問題。有一個問題是長期爭論的，有時 爭論的雙方都很氣憤。在第二次世界大戰期間我們都很暴躁，但是如我稍後要說的，各人有不同的觀點。對於他的觀點我沒有半點曲解。儘管我們隔著感情的鴻溝， 無論如何，在理智上他能夠理解我所說的，我與他的任何爭論都是如此。
在30年代他仍以他自己的方式過著年輕人似的生活，但 這種生活突然破碎了。1939年他患了冠狀動脈血栓，痊癒後，網球、壁球這些他喜愛的體育活動對他不再適宜。戰爭使他更覺壓抑，就像第一次世界大戰一樣。 對他來說這些是連成一串的精神炮彈，我們都不知所措。當事態明了、國家可以得到挽救時，他仍不能為戰爭服務，哪怕比在1914年他所做的更多一點。他的一 個最好的朋友悲慘地死去了，而且——我認為毫無疑問這些不幸是有內在聯繫的——在他六十多歲時，他那作為數學家的創造力終於離開了他。
這就是為什麼《一個數學家的辯白》一書，如果逐字認真閱讀的話可以發現，是一本捕獵悲哀的書。是的，它措辭巧妙、銳利，充溢著高超的智力精神；是的，水 晶般的清晰和正直仍在那兒；是的，它是一個創造性藝術家的實證。但是，此書以不充分的淡泊的方式，表達了他對以前屬於他而再也不會回來的創造力的深切的痛 惜。我不知道有什麼作品能與這本書相比，部分原因是大多數人只知道文學作品對痛惜的表達，無法體驗哈帝的語言。幾乎沒有一個作者認為自己的作品其結局是絕 對完美的。
在那些年裡，我無法估計他為他的年輕人式的生活所付出的代價。這就像看見一個傑出的運動員，多年以其年輕和技藝 而驕傲，比我們大家都要年輕和快樂得多，突然必須接受失去這一禮物的事實。碰見曾經傑出的——用他們的話說——已經下了山的運動員是很普通的事：很快他們 的腳步就變得沉重起來 (通常目光更呆板)，比賽再也不能實現。溫布利大球場是一個可怕的地方，人群擁向那裡是為了看其他人，那是很多運動員的觀點。哈帝不這樣認為，他的想法有 些絕望。他的身體已經復原得可以在網上擊球10分鍾，或打三一滾木球(用一套複雜的精製球具)。但通常很難喚起他的興趣——三四年前他對每件事的興趣都如 此高漲?以至有時我們都疲倦了。「誰也不能厭煩」一直是他的一句格言。「你可以感到恐怖或憎惡，但不能厭煩。」當然，現在他經常就是那樣，純屬厭煩。
正是由於那個原因，他的一些朋友，包括我，鼓勵他寫羅素和三一學院在1914－1918年戰爭期間的故事。不瞭解哈帝有多麼消沉的人認為，整個事件早已 過去，沒有必要再現。事實上，這使他快活得於什麼都可以。這本書只在私下傳閱，從來沒有公開發表。這是一個遺憾，因為它是對科學歷史的一個小補充。
我這樣說服他是因為我想要他寫另一本書，他在情緒好轉一些後答應了我。這本書叫做《橢圓形球場上的一天》，內容是他花了一整天時間看板球，闡述他對球賽、人性、往事、一般生活的觀點和緬懷，這將是一本由古怪人寫的小小的經典作，但它沒有寫成。
在那些最後的年月裡，我無法給他很大的幫助。戰爭年代我被捲入白廳(英國政府)，我全神貫注地工作，經常很疲倦，到劍橋去必須努力才能實現。但我不得不 悔恨地承認應該比我實際做的作更大的努力，在我們之間，雖然感情上確實沒有冷淡，但有了一些間隙。在整個戰爭期間，他把帕克(Parker)的套間租給了 我——黑暗、破爛的套間，外面是聖喬治廣場花園。但他不喜歡我對戰爭如此全身心地投入，他認為人們不應該全身心地投入到軍事行動中，他從不問我的工作，他 不想談論戰爭；而我，在我這一方，表現得太急躁，沒有足夠成熟的考慮。不管怎樣，我認為，我做這件工作不是兒戲。由於我必須做這件工作，我就應該有最大的 興趣，這不是藉口。
戰爭結束時我沒有回到劍橋。1946年我去看了他幾次，他的身體仍然很差，機能已經衰退，走幾碼路以後 就氣喘，演出結束後長時間快樂的散步已經永遠不可能了：我不得不叫的士送他回三一學院的家。他很高興我已經回去寫書：對一個認真的人來說創造才是惟一的生 活目的。至於他自己，他渴望能夠重新過一次創造性的生活，那種以前曾經有過的生活。但他自己的生活已經結束了。
我沒布確切地引用他的語言，這種做法與他人不相同，我想忘記他的話，也曾試圖用一種善意的反話曲解他的意思。所以我從沒有確切地記住他的話，總想把它用作我自己修飾的詞藻。
1947年的初夏，我正坐在早餐桌前，電話響了，是哈帝的妹妹打來的：他病得很重，問我能否立刻到劍橋去，我能否先打電話給三一學院?我沒有時間領會第 二句話的意義，但我照辦了。那天早上在三一學院門房裡找到一張她的便條：要我到唐納德‧羅們遜(Donald Robertson)的房間去，他將在那裡等我。
唐納德‧羅伯遜是希臘文教授，哈帝的親密朋友。他是愛德華七世時代劍橋的又一位高層次、自由、優秀的成員。附帶地說，他是稱呼哈帝基督教名的幾個人之一，他靜靜靜地迎接我。窗外是風和日麗的早晨。他說：
「你應該知道哈囉德企圖自殺。」
是的，他脫離了危險，現在他還好，如果這是恰當的用詞。但唐納德以不太直率的方式像哈帝似的直接說，可惜這個企圖失敗了。哈帝的健康狀況越來越差：他在 任何悄況下都不會活很長，即使足從他的房間走到廳裡也成了他的負擔。他作了一個完全深思熟慮的選擇，這樣活著他無法忍受，這種生命毫無意義，他收集了足夠 的巴比土鹽酸，試圖做一件徹底的工作，於是服了太多。
我很喜歡唐納德‧羅伯遜，但我只在晚會上以及三一學院的高桌晚餐』： 見過他，這是第一次我們有機會親切地交淡。他說，憑著紳士風度，我應該儘可能經常來看哈帝，這是很難的，但卻是應盡的義務，這種狀況可能不會維持很久。我 們都感到痛苦，我跟他說了聲再見，以後再也沒有見過他。
在伊大林療養所，哈帝躺在床亡。由於藥物引起嘔吐，他將頭撞在廁所 的洗臉盆上。他喜歡自嘲：他把事悄搞得一團糟，有人搞得更糟嗎?我不得不進人嘲笑人的遊戲。我第一次感覺到自己不太喜歡嘲笑人，但我得演戲。我談了一些著 名的自殺失敗故事：第二次世界大戰中的德國將軍們怎麼樣?貝克(Beck)、斯塔普納蓋(Stulpnagel)，他們這方面都是有名的不合格者。聽我自 己講這些事情真是稀奇古怪，非常難以理解的是，這似乎使他振奮起來。
從那以後，我每星期至少要去劍橋一次，我懼怕每一次訪 問，但他很早就說過盼望著看見我。他說話很少，幾於每次我聽見他談的都是關於死：他要得到它，他不懼怕它，哪有懼怕不存在之理?他的理智的禁慾主義又回來 了，他不會再做自殺的傻事，他不擅長幹這事。我準備好了等待，帶著可能使他痛苦的不一致性——像他圈子的大多數人一樣，他在某種程度上相信理智，這是我認 為的不理智—— 他顯示出對他的症狀的好奇的懷疑。他一直研究他的踝關節水腫：今天是胖得大一些還是小一些?
當然，多數情 況下我不得不談論板球，這是他惟一的安慰。我不得不裝出對這一遊戲非常熱心的樣子，而實際上我再也沒這種感覺，在30年代這種感覺就已經冷淡下來，除非為 了使他高興。現在我不得不像我上中學時一樣認真研究板球賽事。他自己不能閱讀，但如果我欺騙他的話他總能識破。有時，他的高興勁兒會持續幾分鍾，但如果我 不能想出另一個問題或新聞，他就會躺在那兒，顯示出人將快死時的那種可怕的孤寂。
有一兩次我曾試圖使他振奮：即使是一次冒 險，是否值得我們一起再去看一次板球比賽?我的境況比過去要好些，我說。我準備把他送上的士，這是他過去熟悉的交通工具，到任何一個他喜歡的網球場去，他 聽到後快活起來。他說我照看的是一個死人，我說我已作好了準備。他知道，我也知道，他的死就是幾個月內的事，我看到他有一個下午非常高興。但第二次我去看 他時他喪氣而惱怒地搖搖頭。不，他不能試，沒有試的意義。
不得不談論板球，我感到非常艱難。他的妹妹更難，這位聰明、美麗的婦人一生沒有嫁人，很多時間都在照看他。用與他不同的幽默技巧，她收集了每一條她能找到的板球新聞片斷，儘管她從來不懂有關板球的知識。
有一兩次鬧出了諷刺性的仁愛喜劇性事件。他死之前兩三個星期，聽說皇家學會要給他最高的榮譽：科普利勳章。他露出了惡魔般的笑容，這是我在那幾個月裡第 一次看見他完全露出神采。「現在我知道我馬上就要結束一生了，當人們給你最高榮譽的時候，就是確切下結論的時候。」
從那以後，我想我又去看了他兩次，最後一次是在他逝世前四五天。有一個印度的板球隊在澳大利亞表演，我們談論了他們的事情。
在那個星期他對妹妹說：「如果我知道我會在今天死去，我想我仍然要聽板球賽事。」
他每天都有類似的事情。那個星期每天晚上她離開他之前，都要讀一章劍橋大學板球歷史給他聽。他一生中聽到的最後一句話就在這本書某一章裡面，因為他是在清早突然逝世的。
C·P‧斯諾博士
註：①在英國的教會學院宿舍，通常每週舉行一次高桌晚餐，晚餐邀請一些著名人物做客，
舍監(通常是牧師等)、客人們坐在台上的桌子上，所以稱高桌晚餐。——譯者
②高桌晚餐時坐在高桌上的人通常都要穿教會的黑袍。——譯者
§1
如果一個數學家發現自己在寫關於數學的東西，他會感到很憂傷的。因為數學家的工作是做實事，比如證明新定理，使數學有所發展，而不是談論自己或別的數學家幹了些什麼。
政治家蔑視時事評論家；畫家蔑視藝術評論家；生理學家、物理學家或數學家一般都有類似的感覺。做事者對評論者的蔑視是最深刻的，總的來看也是最合理的。解釋、評論、鑑賞是次等工作。
我曾與豪斯曼(Housman)有過幾次認真的交談，我能記得其中有一次我們爭論過上述看法。豪斯曼在他所作的題為《詩歌的名與實》的報告中，曾非常堅決地否定他是個批評家。而在我看來，他的這種否定方式是異常偏執的。在報告中，他還表達了對文學批評的讚賞態度。這些都令我大惑不解。
在此報告的開頭，他引用了22年前在一次演講中的一段話：
我不能說文學批評是否為上帝從他的珍寶庫中拿出來賜予我們的最好禮物，但是，好像上帝是這樣認為的。因為在贈送這一禮物時，上帝的態度肯定是極為審慎、鄭重的。與遍地叢生的草莓相比，演說家和詩人……是稀罕的；但與哈雷彗星的回歸相比，他們就平常得多。而文學評論家可就不那麼平常了。
接著他寫道：在這22年中，我在一些方面取得了進步，而在另一些方面退步了。但是，我的進步還沒使我達到成為一名文學評論家的程度，而我的退步也沒有使我幻想自己已經成了一名文學評論家。
我曾認為，一位偉大學者和高雅詩人寫出這些話來未免可悲。過了幾個星期，我在餐廳見他就在我身旁時，便大膽地跟他說了自己的想法。我問他，他的意思是否真的希望人們非常認真地對待他說的話。我還問他，在他看來評論家與學者及詩人的生活是否可以相提並論。整個晚餐時間我們都在爭論這些問題。我認為最終他還是贊成了我的看法。看來對這樣一個不再反駁我的人，我沒必要宣揚我所獲得的勝辯。但是最後，他對第一個問題的回答是「也許不完全是」，而對第二個問題的回答則是「大概不是」。
對豪斯曼的感覺或許尚有令人懷疑之處，而且我也並不希望宣稱他是站在我這邊了。然而作為科學家的感覺是毋庸置疑的，我有著完全一致的感覺。假如那時我發現自己正在寫的不是數學，而是「有關」數學的什麼東西，那就是在聲明弱點，為此我理所當然地會受到更年輕、更富有朝氣的數學家的蔑視。現在我寫書來談論「關於」數學的問題，是因為我也和其他的年過六十歲的數學家一樣，不再有新思想，也不再有精力和耐心來繼續有效地進行自己的專業工作。
§2
我建議對數學進行辯解。也許有人會跟我說這根本沒必要，因為，不論原因如何，目前還沒有哪一種學科被公認為比數學更有用、更值得稱頌的。這或許是真實的。實際上，由於有了愛因斯坦的驚人成就，星體天文學與原子物理學可能已成為普遍高度評價的科學。數學家現在不必認為自己在自衛，因為他不會遭到像布拉德雷(Bradley)在他的值得欽佩的形而?
學辯護詞中所描繪的那種對抗的處境，那次卓有成效的捍衛使一部介紹形而上學的書《現象與實在》(Appearence Reality)得以完成。
布拉德雷說，有人會對一個形而上學家說，形而上學知識整體而言是不可能的；即使在某種程度上是可能的，實際上它也決不是名副其實的知識。形而上學家還會聽人說：「同樣的問題，同樣的爭論，同樣的徹底失敗。為什麼還不放棄這種知識？難道再也沒有別的事值得你付出勞動丁嗎？」沒有人會愚蠢到用同樣語言討論數學問題。數學的大部分真理都是顯而易見的；數學的實際運用，如在橋樑、蒸汽機和發電機等正衝擊著人們遲鈍的想像。沒有必要說服公眾讓他們相信數學是有用的。
這一切都以其獨特的方式讓數學家感到欣慰，而真正的數學家幾乎不可能對此感到滿足。任何一個真正的數學家一定會體會到，數學的真正美名並不是基於這些粗略的成就，數學之所以享有普遍的美名很大程度上是基於無知與混亂，因此，仍有必要對它進行更合理的辯解。不管如何，我有意來試試。我想這種辯解比起布拉德雷的艱難的辯白來，任務該會簡單些。
接著我要問：「數學為什麼值得人們進行認真的研究？一個數學家用一生的時間從事這些工作的充足理由是什麼？」像人們希望一個數學家所回答的那樣，在多數情況下，我會這麼回答：我認為數學研究值得做，而且以數學家為職業的理由是充分的。但是同時我也要說：我對數學的辯護也是為我自己辯護。我的辯解在一定程度上是利己的。因為假如我真的把自己看作是一名失敗的數學家，我就不認為對自己所研究的學科進行辯解是件值得做的事了。
在辯護中帶著某種程度的利己主義的態度是難免的，我想，對這一點是用不著辯解的。我認為「謙卑」的人做不出優秀的工作。比方說，在任何一個學科裡，教授的首要職責之一就是對自己這一學科的重要性以及自己本人在這一學科的重要性進行一點誇大。假如一個人總在問自己：「我所做的事是值得做的嗎？」以及「我做這個合適嗎？」這都會使自己永遠無能而且也讓別人洩氣。這種人該把眼睛閉上一會兒，更多地考慮自己的學科和自己本人的情況，而不是更多地考慮學科與自己所應得的報酬。這不太困難，因為更加困難的是依靠緊閉眼睛來使自己的學科與自己本人不受他人所嘲笑。
§3
一個人在開始為自己的生活和活動的合理性進行辯解時，必須要認清兩個問題。第一是他所做的工作是否值得做；第二則是他為什麼要做這一工作，而並不在乎其價值。第一個問題常常很難且答案讓人失望。而大多數人會覺得回答第二個問題卻是十分容易的。如果這些人是誠實的話，他們通常會採取兩種形式中的一種。第二種形式僅僅是第一種形式的更簡略的變形。而第一種形式是我們需要考慮的惟一形式。
我之所以做我的事，因為這事是，而且是惟一的一件我完全可以做好的事。我是個律師，或者是一個股票經紀人，或者是一個職業板球手，這都是因為我對這一特別的工作有些真正的才能。我做律師，是因為我伶牙俐齒，而且對法律之微妙感興趣；我做股票經紀人，是因為我對股市行情的判斷迅速而準確；我做職業板球手，是因為我揮拍非同一般地好。有人說，我做個詩人或數學家也許更好，但不幸的是，我並沒有才能做這樣的工作。
我並不認為大多數人能夠做出上述那樣的辯解，因為多數人什麼工作也做不好。可是只要這種辯解說得振振有詞，它就很難反駁，事實上只有少數人能進行這樣的辯解：也許只有5％或 10％的人可做得不錯。而只有極少數人可做得真正好。而能做好兩件事的人只有寥寥無幾的了。假如一個人有真正的才能，他就應該樂於犧牲幾乎所有的一切，以充分發揮自己的才能。
約翰遜(Johnson)博士贊成這一觀點，他說：當我告訴他，我看過約翰遜(與他同名的人)騎在三匹馬上，他說：「先生，這樣的人應得到鼓勵，因為他的表演顯示了人類的能力限度……」
同樣地，他會讚揚登山者，海泅渡者，閉目下棋者。至於我的?法，我也是將這些能力統統視為非常不一般的成績。我甚至還稱道魔術家和口技者；當阿廖欣(Alekhine)和布拉德曼 (Bradman)在決定破記錄時，假如他們失敗了，我會極為失望的。在這種情況下，約翰遜博士同我與公眾的感覺是一樣的。正像W‧J‧特納 (Turner)曾說過的一句實話那樣：只有那些自以為「博學」的人(令人產生不悅之感之稱謂)，才不去讚揚「真正的名家」。
當然我們不能不考慮到以上兩種工作之間價值上的不同。我寧願做一個小說家或畫家，而不願成為政治家或諸如此類的人物。事實上，儘管有很多成名之路，但我們大部分人會因其甚為有害而寧可拒絕走這樣的路。但是這種價值的不同，很少會改變一個人的擇業範圍，因為這種職業的選擇是受著人們生就的能力限度的制約的。詩集比板球更有價值，但假如布拉德曼放棄板球去寫二流小詩(我想，他不大可能會寫得更好)的話，他一定是個傻瓜。假如他的板球打得並不那麼超眾，而詩歌卻還寫得好些，那麼對他來說選擇就更加困難了。我不知道自己是成為特朗普爾(Trumper)①還是布魯克(Brooke)②。值得慶幸的是像這種左右為難的情況很少出現。
我還想補充說一點，他們特別不可能指望自己成為數學家。人們常常過分誇大數學家與其他人的思維過程的不同。但不容否認的是，對一個數學家來說，他的天賦是他諸多特殊才能中的一方面。數學家們作為一個階層，並不因一般的能力和多才多藝而格外超群出眾。假如一個人成為任何意義上的真正的數學家，那麼，可以說他的數學百分之九十九會比他能做的任何其他事都好得多。而假如他為了做其他領域的普通工作，而放棄了任何一次發揮自己才能的適宜的機會，那麼他就是愚蠢的。這樣的犧牲，只有在經濟需要或年齡條件變化的情況下才是情有可原的。
§4
在這裡，我最好還是談談年齡問題，這是因為對數學家來說，年齡問題格外重要。數學家們都不應該忘記這一點：比起其他技藝或科學，數學更是年輕人的工作。舉一個相對低微階層的例子來作個淺顯的說明：皇家學會的人選者的平均年齡以數學家為最小。
當然，我們還會找到比這更有力的實例。比如，我們可以考察作為世界最著名的三大數學家之一的牛頓的經歷。牛頓是在 50歲時放棄數學的。其實，在這之前很久他就已經對數學失去了熱情。40歲時，他已毫不懷疑地認識到他的富有創新精神的時期已經過去了。他所有的最偉大的思想，包括流數術和萬有引力原理是他在1666年建立的學說，而當時他只有24歲。正如他曾敘述的：「在那些日子裡，我處於富有創造力的最初期，那時比以後的任何時期都更加一心一意地把數學和哲學掛在心上。」在 40歲以前他有過不少重大發現(「橢圓形天體運行軌道」就是他在37歲時發現的)。而其後，他再沒有作出過什麼發現，而只是對原有的論文做些潤色工作，使之完美化而已。
伽羅瓦21歲去世，阿貝爾27歲去世，拉曼紐揚33歲去世，黎曼40歲去世。也有些人確實是在較晚時取得偉大成就的，高斯就是在55歲時才發表了他的微分幾何學的重要論文(但在十年前他就已經形成了他的基本思想)。我還不知道有哪一個重要的數學進展是由一個年過半百的人創始的。假如一個年長的人對數學不感興趣而放棄了它，這種損失不論對數學本身還是他本人來說，都不十分嚴重。
另一方面，如果這樣的人不放棄數學，那麼所獲得的利益也並不可能更富有實質性的意義。有關一些數學家放棄數學以後的情況記錄都不特別令人欣慰。牛頓成了一個能幹的造幣廠主 (這時他沒與任何人吵架)。班樂衛(Painleve)是個不成功的法國總理。拉普拉斯(Laplace)的政治生涯卻是極不光彩的，他的情況幾乎算不上是一個合適的實例，因為他在政治生涯中的壞名聲不是他的無能，而是因為他不誠實所造成的，而且他也向來沒真正地「放棄」數學。的確很難找到一例事實來說明一個放棄了數學研究的一流的數學家卻又在別的什麼學科領域裡取得了一流成就──帕斯加(Pascal)看來是最好的一例。也許會有這樣一些年輕人，放棄了數學研究之後又東山再起成為一流數學家了，可惜我還從未聽說過這樣的真正可信的實例。而上述一切，全都產生於我的十分有限的經歷。我所認識的每個有真才實學的年輕數學家都是潛心於數學研究的，他們忠誠於數學研究，也不乏雄心壯志，只是缺少充實的數學知識；他們已全部認識到：假如有什麼通往能帶來任何殊榮的人生之路的話，這條路就是數學研究之路。
§5
另外還有一種形式的回答，即我所稱之為標準辯解的「低調變辭」。我可能會只用幾句話來簡略表述它。
「沒什麼事我可以做得格外地好。我之所以做我的事，是因為它進入了我的生活之路，我的確從來未有機會做別的什麼事」。我也把這一辯解看作是重要的辯解而接受。確實，大多數人什麼事也做不好。因此，他們選擇什麼職業也無關緊要。這確實沒什麼更多好說的。這是個最終的明確回答，但這幾乎不可能是一個具有自尊心的人所作的回答；我想像得出我們沒有一個人會對這樣的回答感到滿意。
§6
現在應該考慮在§3我所談到的問題了。這個問題比第二個問題難得多。數學，即我和其他的數學家所認為的數學這一學科，是否值得研究？假如值得，理由是什麼？
我一直在回顧著我的一篇講稿的頭幾頁(那是我於1920年在牛津大學就職時的首次演講)。在那幾頁中我寫到了有關對數學進行辯解的要點。這種辯解是不夠的(只寫了不足兩頁紙)，而且其文體風格現在看來並不使我感到特別自豪(我想，這可能是我用當時想像為「牛津」風格寫成的第一篇論文)。但是我仍然覺得，不論它需要怎樣改進，它還是包含了問題的實質。這裡我願重新把原來說過的話拿來作為全面討論的前言。
(1)首先我要強調數學的「無害性」。也就是說，「即使數學研究無利可圖，但它也絕對是無害而清白的職業」。我堅持這一點，當然它需要大量的擴展和解釋。
數學真的是無利可圖嗎？顯然，在某種意義上並非如此。比如，它為不少的人帶來了很大的快樂。然而我是從更狹隘的意義上來考慮所謂「利益」的。數學是否有用，是否像化學和生理學等其他科學那樣有直截了當的用途？這並不是一個容易回答或無可爭議的問題。儘管有一些數學家和大多數外行會毫無疑問地作出肯定的回答，但我最終的回答還會是否定的。那麼數學是「無害」的嗎？對此，回答也是不確定的。在某種意義上我寧可迴避這個問題。其理由是它提出了科學對戰爭的影響問題。例如，化學在這方面顯然是有害的，那麼是否可以說數學在同樣的意義上是「無害」的？以後我一定回頭再來談這兩個問題。
(2) 當時我還接著說「宇宙的範圍很大，所以，如果我們在浪費著自己的時間，那麼浪費大學裡幾位名家、教授的生命決不會帶來了不起的大災大難」。這裡我或許像是要採取或故意裝出虛偽的謙卑態度，而這種態度是我剛剛所反對的。我確信，這種態度並不是我真正意願中的態度，我是企圖用一句話把我在§3里所談的冗長的內容概括出來。我在想，我們這些名家、教授確實沒有多少才能，而我們應儘可能地充分發揮運用這些才能才是。
(3)最後(以一些對我來說如今讀起來仍感誇張的修辭)，我強調了數學成就的持久性─即使 我們所做的工作也許很少，但都有著某種持久性的特點；我們所完成的任何事情，無論是一本詩集還是一條幾何定理，只要能引起哪怕是最微小的但卻是永久的興趣，也就意味著已經做出了完全超出大部分人的能力的事情。
我還寫道──在古代與現代研究有衝突的今天，對於某一門研究來說，一定存在某些值得一談的東西，而這種研究並非始於畢達哥拉斯，也不會止於愛因斯坦，但它卻是所有研究學科中最古老的，也是最早輕的。
所有這一切都是「言過其實」的，但在我看來，其實質仍包含著真理，對此，我可以馬上進行擴展，同時又不致過早涉及我所留下的其他沒有回答的問題。
§7
我會設想我是在為那些現在和過去都滿懷雄心壯志的人寫這本書的。一個人的首要任務，進一步說，一個年輕人的首要任務是能顯示雄心壯志。雄心是一種可以合情合理地以許多形式表現出的一種宏大高尚的志向。阿提拉(Attila)和拿破崙的野心中就有某種高尚的志向，但最高尚的雄心壯志是在自己身後留下某種永存的價值──
這平坦的沙灘上，
海洋與大地間，
我該建起或寫些什麼，
來阻止夜幕的降臨？
告訴我神秘的字符，
去喝退那洶湧的波濤，
告訴我時間黨 潛ぃ?
去規劃那更久的白晝。
雄心是世上幾乎所有最佳工作成果的驅動力。特別要指出的是：實際上，一切為人類謀幸福的重大貢獻都是由具有雄心壯志的人所作出的。舉兩個著名的例子吧，利斯特(Lister)和巴斯德(Pasteur)不就是這樣的有雄心壯志的人嗎？還有，不像以上兩位那麼顯赫的另外幾位，吉勒特(Gillette)和威利特 (Willett)，近期有誰比得上他倆對人類所作的貢獻呢？
生理學為我們提供的實例特別適宜，原因就在於這門學科對於人類所具有的益處是如此顯然。我們必須提防一種在科學辯解者中所常見的謬論，那就是認為從事著對人類有益的工作的人，在做這項工作時一直想著自己的工作對人類有益。比方說，生理學家有著特別高尚的精神。事實上，一個生理學家可能確實樂意記得他的工作是為人類造福的，但是使之產生力量，受到鼓舞去做這項工作的動機與那些一流學者與數學家進行研究工作時的動機是沒什麼區別的。
有很多高尚的動機驅使人們進行某項研究。在這些動機中，最為重要的有三種。首先(因此必一事無成)是理智的好奇心，也就是對瞭解真理的渴望。其次是對自己專業工作的自豪?
，只有工作才能使自己得以滿足的那種渴望。任何自尊的數學家，當他的工作與其才能不相稱時，恥辱感會壓倒一切。最後一個就是雄心壯志，期望得到名聲、地位甚至隨之而來的權力和金錢。當你的工作為他人造了福，又解脫了別人的痛苦時，你可能會自我感覺良好，但這不會是你為什麼做那個工作的原因。所以，假如一個數學家，或者一個化學家，或者甚至是一個生理學家真的對我說他的工作的動力是緣於要為人類造福的願望，我不會相信他 (假使我真的相信他也並不會認為他真的有什麼了不起)。在他的動機中居支配地位的就是我已敘述過的。而且可以肯定，任何一個體面的人都沒有必要為有這些動機而感到恥辱。
§8
假如理智的好奇心、對專業工作的自豪感和雄心壯志是在研究工作中佔支配地位的動機的話，那麼，毫無疑問，沒有哪個人比一個數學家有更好的機會來滿足這些條件了。數學家的研究學科是所有學科中最令人好奇的。沒有哪門學科中的真理會像數學那樣奇異。數學是最精細與最富有魅力的技藝，而且數學研究提供了展示真正的專業技能的機會。最後我還要說的是，正如歷史所充分證明的那樣，不論數學內在的本質價值何在，其成就是一切成就中最持久的。
我們可以從半古文明中看到這一點。巴比倫和亞述的文明已毀滅，漢謨拉比 (Hammurabi)、薩爾貢(Sargon)和尼布甲尼撒 (Nebuchadnezzar)也都空有其名了，但巴比倫數學依然令人感興趣。巴比倫的60進制仍用於天文學中。當然希臘的情況是更有說服力的例證。
對我們來說希臘人是最早而且至今仍是「真正的」數學家。東方的數學可能是滿足興趣和好奇，而古希臘的數學則是實實在在的。希臘人率先使用了能被現代數學家所理解的數學語言。正如利特伍德曾對我說過的，希臘數學家們在校時並不是聰明的乖學生，也不是「獎學金的候選人」，而是「另一所學院的研究員」。因而希臘數學是「不朽的」，甚至比希臘的文學還要持久。當愛斯奇裡斯(Aeschylus)被遺忘時，阿基米德仍將為人們銘記，因為語言文字會消亡，而數學的思想卻永不會死亡。「不朽」這個詞可能不太高明，不過也許數學家與它的含義最投緣了。
數學家不必因將來會對其不公而煞有介事地憂心仲忡。不朽通常很荒唐，也很殘酷：我們中很少有人願意選擇做奧格 (Og)③、安厄尼厄斯(Ananias)④、加利奧(Gallio)⑤。甚至於在數學界，歷史有時也會開奇怪的玩笑：羅爾(Rolle)在初等微積分學教科書中很有名氣.倒好像羅爾是位與牛頓齊名的數學家；法裡(Farey)弄不懂14年前由哈囉斯(Haros)論證得天衣無縫的定理，然而他卻永垂不朽；五位可敬的挪威人的名字至今仍長存於阿貝爾的《生活》一書中，僅僅是因為一種對他們國家最偉大的人物造成了傷害的愚蠢的盡職行為。不過，就總體而言，科學史還是公平的，數學史尤其如此。沒有任何其他學科像數學那樣形成了清楚而一致的評判標準。為人們所銘記的數學家中絕大多數足名剮其實的。如果能用現鈔評估的話，數學的名譽將是最穩定義最可靠的投資。
§9
所有這些都使大學教師們深感寬慰，對數學教授們來說更足如此。律師、政客、商人們有時聲稱，學術生涯大多為那些謹小慎微、胸無大志的人所從事，這些人在乎的主要是舒適和穩定，這種責備毫無道理。大學教師們捨棄了許多東西，特別是捨棄了賺大錢的機會──
一個教授一年很難掙上2000英鎊；工作的穩定性自然是決定捨棄賺大錢機會的因素之一，但這並不是豪斯曼不願成為西蒙(Simon)爵士或比布冉克(Beaverbrook)貴族的原因。豪斯曼拒絕些職業是因為他理想遠大，是因為他不屑於成為一個20年後就被人遺忘的人。
然而，犧牲所有這些利益，一個人會感到多麼痛苦。我仍記得伯特蘭‧羅素(Bertrand Russell)曾對我講述過一個駭人的夢；他正在大學圖書館的最高一層，一個圖書管理員正在書架間走來走去，提著一個巨大無比的桶，把書一本又一本地拿下，掃一眼，然後重新放回書架，或是丟進桶裡。最後他發現了三卷書，辨認出是《數學原理》最後殘存的複印本。他拿下其中一卷，翻了幾頁，似乎被那些怪異的符號迷惑了片刻，然後合上書，在自己手上掂掂，遲疑不決……
§ 10
數學家，就像畫家、詩人一樣，都是模式的創製者。要說數學家的模式比畫家、詩人的模式更長久，那是因為數學家的模式由思想組成，而畫家以形狀和色彩創製模式，詩人則以言語和文字造型。一幅畫或許蘊含著某種「意境」，但通常是平凡而無關緊要的；比較之下，詩意要重要得多，不過，像豪斯曼堅持認為的那樣，人們習以為常地誇大了詩意的重要性。他說：「我難以確信存在詩意之類的東西……詩歌並不在於表述了什麼，而在於怎樣表述。」
傾江海之水，
洗不淨帝王身上的膏香御氣。
還能有比這更好的詩句嗎？但就詩意而言，還能有比這更平庸、荒唐的嗎？意境的貧乏似乎並不影響言辭這種模式的優美，另一方面，數學家除了思想之外別無他物，因而數學家的模式更能持久，因為思想不會像語言那樣快地變成陳詞濫調。
正像畫家和詩人的模式一樣，數學家的模式也必須是優美的；正像色彩和文字一樣，數學家的思想也必須和諧一致。優美是第一關：醜陋的數學在世上無永存之地。此處我不得不提到一個錯誤的概念，一個至今仍廣泛傳播的概念(儘管比 20年前情況要好些)，這就是懷特海德所稱的「書呆子」，即熱愛數學，並欣賞數學美，這是「每代人中只侷限於幾個怪人的偏執狂」。
如今很難找到一個對數學的美學魅力無動於衷的知識分子了。可能很難定義數學的美，但任何一種美都是如此──我們也許不甚明了所謂一首詩歌的優美，但這並不妨礙我們在閱讀中鑑賞。霍格本(Hogben)教授極力貶低數學美，但即便是他也不敢冒然否認數學美這一事實。「毫無疑問，數學對於某些人有一種淡然的非自然的吸引力……這種數學中的美學魅力對於這些寥寥無幾的人來說，很可能是真實的。」不過，他同樣指出，這些人是「寥寥無幾」的，而且他們感到「淡然」(他們的確相當可笑，在小小的所謂大學城裡住著，避開廣闊的部空間的清新的微風)，在這些話中，霍格本此話只不過在附和懷特海所稱的「書呆子」了。
然而事實卻是：沒有比數學更為普及的學科了。所有的人都有一些數學鑑賞力，正如所有的人都能欣賞一首悅耳的曲調；對數學真正感興趣的人很可能比對音樂感興趣的要多。表面看來可能與此相反，但解釋起來毫不費勁。音樂可以刺激大眾的感情，而數學無能為力；不懂音樂只是有些掉面子，而所有的人都如此害怕數學這個名稱，以至於每個人都由衷地強調自己沒有數學細胞。
一個小小的反駁就足以揭示「書呆子」的荒謬。每一個文明國度都有成千上萬的棋手(俄國，這部分人是受教育群體的全部)；每個棋手都能品味、欣賞一場棋賽或一個棋類佈局.然而，一個佈局問題簡而言之就是一次純數學的練習(整場比賽可能不是，因為心理也會起作)，每一個讚嘆棋類佈局的人，實際上是在為數學的美而喝彩，儘管這種優美相比而言是較低檔次的。棋類佈局問題是數學的讚美曲。
再降低一點，不過面向更廣泛的大眾，我們可以從橋牌，或更低一些，從通俗報刊上的智力遊戲中學到同樣的內容，幾乎所有這類遊戲的空前流行，都歸功於基礎數學的吸引力。
優秀的智力遊戲創製者，像杜德尼(Dudeney)和卡里班(Caliban)所用的技巧除此之外別無其他。他們清楚自己的業務，公眾需要的無非是小小的智力「刺激」，別的任何東西都沒有數學那樣的刺激性。
還要補充一點，世上沒有什麼事情比發現或再發現一條真正的數學定理更能使知名人士(和那些輕視數學的人)快樂得多。H‧斯潘塞在他的自傳中重新發表了一條他 20歲時證明了有關圓方面的定理(他卻不知道柏拉圖在2000多年前就已論證了該定理)，索迪(Soddy)教授是新近更驚人的例子(不過他的定理倒真正是他自己的)。⑥
①特朗普爾；澳大利亞板球運動員。
②布魯克：英國詩人。
③奧格：《聖經》中的Bashan之子，在位六十餘年。
④安厄尼厄斯：《聖經》中人物。
⑤加利奧：羅馬官員，政治家，哲學家，作家塞內加的長兄。
⑥見他關於六球鏈(Hexlet)的通信，《自然》，137~139卷，(1936~1937年)。
§ 11
儘管棋類佈局問題是真正的數學，但一定程度上它僅是「瑣碎」的數學，儘管棋類佈局充滿機智，複雜誘人，儘管棋的走步富有創意，又出人意料，但它還是缺少了某些必要的東西。棋類佈局問題無足輕重，最好的數學不僅僅優美，而且嚴肅──或者說「重要」，不過這個詞有些模棱兩可，而「嚴肅」恰巧更好地表達了我想指明的東西。
我並未考慮到數學的「實用」效果，稍後我將回到這一論題。目前，我只想說，從粗俗的意味上講，棋類佈局問題「毫無用處」，同樣地，大多數最好的數學也是如此；數學極少有實用價值，而這實用的極少數，相對來講還較乏味。數學定理的嚴肅性不在於其通常微不足道的實用效果，而在於它涉及的數學概念的意義。可以粗略地說，如果一數學概念同大量形形色色的其他數學概念有一種自然而鮮明的聯繫，那麼這種數學概念便是有意義的，這樣，一條嚴肅的數學定理，即一條與有意義的概念相聯繫的定理，很可能引發數學本身甚至其他學科的大步前進。沒有一個棋類佈局問題能影響科學思想的普遍發展；畢達哥拉斯、牛頓、愛因斯坦都改變了各自所處時代的整個科學的前進方向。
當然，一個定理的嚴肅性並不在於其後果，後果不過是其「嚴肅性」的證據。莎士比亞對英語語言的發展產生了巨大的影響，而奧特維(Otway)的影響幾近於無，但這並不能說明?什麼莎士比亞是比奧特維更好的詩人。莎士比亞更好，是因為他寫下了更多更好的詩篇。就像奧特維的詩劣於莎士比亞的詩一樣，棋類佈局問題地位較數學低，不是因為其後果，而在於其內容。
還有一點我稍後將闡明。倒不是因為這點沒有趣味，而是因為它較難，也因為討論美學的嚴肅性我還不夠格。數學定理的美很大程度上依賴於其嚴肅性，而詩句的優美在某種程度上還依賴於詩歌所含思想的重要性。上文中我曾摘引了莎翁的兩行詩來例證詞語格律的純粹的優美；不過下面這一行可能更優美：
After life's fitful fever, he sleeps well.
人生在斷斷續續地激烈狂熱之後，他安然的入睡。
(生命在持續的澎湃、熱烈地激情之後，他安然地進入夢鄉。)
格調完美，主題明確，音調鏗鏘，因而我們的情感被更深地激盪了。既然在詩歌中，意境對造型的確至關重要。自然地，數學更是如此，這個問題不再詳究。
§12
行文至此，要想再有所進展，我就必須提供為每個數學家公認為第一流的「真正的」數學定理的例證，然而此處，我卻因我寫的東西產生的種種約束被縛住了手腳。一方面，例子必須非常簡單，沒有專門數學知識的讀者也能讀懂，無需預先解釋，讀者就能跟得上清楚的闡述，跟上例子。這些限制就排除了數學中許多最優美的定理，像費馬(Fermat)的「二平方」定理或二次互反律。另一方面，我的例證必須來源於「純正」的數學，也就是專職數學家所從事的數學，這一限制又排除了大量的相對易於理解的定理，因為這些易於理解的定理雖易懂，卻與邏輯和數學哲學相涉。
別無選擇，我只得又回到希臘數學，這裡我將闡述並證明兩條著名的希臘數學定理。這兩條定理從思想到運算都很簡單，同時，毫無疑問，又是最高層次的。每一條定理都如同剛發現之日一樣清新，一樣舉足輕重──2000年來它們一直保持著青春。再次，稍有理解力的讀者可以在一小時之內掌握全部的論述和證明。
1．其中第一個是歐幾里得(Euclid)⑦關於存在無限多個素數的證明。素數，或稱質數是指下列數字：
2，3，5，7，l1，13，17，19，23，29… (A)
這些數字不能再分解為更小因子的整數，如37和317是素數。所有整數都由素數相乘而得，
666＝2×3×3×37
任何一個本身不是素數的數(非質數)至少可以被一個素數 (通常可被分解為幾個素數) 整除。要證明素數無窮盡，也就是要證明數列(A)無窮。
先假設(A)是有限的，且
2，3，5…P
是全部素數的序列(P是最大的素數)；在這一假設下，讓我們來考察數Q，Q定義為
Q＝(2×3×5×…×P)+l
顯然Q不能被2，3，5，…P中的任何數整除，因為相除時餘數為 1。由於不是素數的數總能被某一素數整除，而Q不能被任一素數整除，所以Q是素數。因而，總有一個素數(可能就是Q)任一素數大，這與P是最大的素數的假設相矛盾，因此原假設不成立，即沒有比P更大的素數的假設不成立。
這種證明方法稱為歸謬法，這一為歐幾里得甚愛的歸謬法⑧，是數學家們最好的武器之一。這一著比象棋中開局舍子的任何一種著數高明得多：棋手或許會犧牲一卒或一個棋子，
而數學家舍掉的是整局。
§13
2. 第二個例子是畢達哥拉斯⑨關於 根2 (√2) 的「無理性」的證明。
「有理數」是一個分數a/b，其中a、b均為整數。我們假定a和b沒有公因子，如果有的話，我們可以把它消掉。根2 是「無理數」，也可以表述為「2不能以(a/b)平方的形式表示」，也就是說，方程
a2 = 2b2 (B)
不能被兩個沒有公因子的整數a、b所滿足。這是一個純算術運算定理，無需任何「無理數」方面的知識，也不依賴於有關無理數性質的任何理論。
再用歸謬法來證明。先假設上式(B)成立，a和b是沒有公因子的整數。根據(B)式，a方應是偶數(因為2b方能被2整除)，因此a也是偶數(因為奇數的平方是奇數)。如果a是偶數，那麼
a = 2c (C)
其中c為整數，因此有
2b2 = a2 = (2c)2 = 4c2
即
b2 = 2c2
因此b方是偶數，b也是偶數(理由同上)。這就是說，a和b都是偶數，因此有公因子2，這與假設矛盾，所以假設不成立。
從畢達哥拉斯的定理可推出正方形的對角線與邊長不可通約(也就是說對角線與邊之比不是有理數，或者說，沒有一個公共的單位，使對角線和邊長可同為其整數倍)。若以邊長作為長度單位，對角線的長度沒為d，則由畢達哥拉斯的勾股定理⑩
d2 = 12 + 12 = 2
故d不是有理數。
還可以從任何人都能理解其含義的數學理論中引用許多精彩的定理。例如一個所謂「算術基本定理」：任一整數都可以惟一方式分解為素數的乘積，名副其實。如 666＝2×3×3×37，此外沒有別的分解方式了：666不可能等於2×11×29，或者等於 l3×89，或等於17×73(不用相乘其結果也顯而易見)。這一定理是高等算術的基礎，證明過程雖不困難，卻需要一定的功底，而且非職業數學家讀起來可能會感到乏味。
另一著名的優美的定理是費馬的「二平方」定理。素數(特殊素數2除外)可以歸為兩組數.一組為
5，13，17，29，37，41…
這些數被4相除時餘數為1；另一組為
3，7，11，19，23，31…
這些數被4相除時餘數為3。
任一屬於第一組的素數都可表示成兩個整數的平方和。如
5 = 12 + 22 13 = 22 + 32
17 = 12 + 2 29 = 22 + 52
而3，7，11，19都不能表示成如上形式(讀者可自己檢驗)，這就是費馬定理，非常公正地被視為最完美的定理之一。可惜，沒有相當專業數學知識的人難以理解其論證過程。
「集合論」中也有許多優美的定理，像康托(Cantor)的連續的「不可數」定理。這裡的困難是相反的，只要掌握了所使用的語言，證明並不困難，但必須進行適當的解釋，才能把這條定理的意思弄明白。不必再贅述更多的例子了，上文給出的例子是些測試，對上述例子不能理解的讀者很可能難以欣賞任何數學的東西。
我認為數學家是概念的造型者，美和嚴肅是評價其造型的標準。難以相信，能理解上述兩個定理的人會否認它們符合美與嚴肅的標準。拿上述例子與杜德尼最機智的智力遊戲或與象棋大師們編排出的最妙的棋類佈局問題相比，本文例子在美與嚴肅兩方面的優勢是一目瞭然的：毋庸只置疑，其間有層次的差別──它們更加嚴肅，也更加美麗。我們能否更準確地說明它們的優勢所在嗎？
§ 14
首先，這兩個數學定理在嚴肅性方面的優勢是顯而易見、絕對的。象棋佈局問題是把一些想法巧妙但很有限度地交織而成的結果，它們在根本上差別不大，而且對外幾乎沒有任何影響：即使象棋沒有發明，我們也會產生同樣的思想方法。而歐幾里德和畢達哥拉斯的定理影響很大，甚至在數學之外，也對人們的思想產生了深刻的影響。
歐幾里德定理對算術的整個結構都至關重要。素數是算術組成的原料；歐氏定理確保了這種原料的充足性，但畢氏定理有更廣泛的運用，它也提供了更好的課題。
首先，我們應看到畢達哥拉斯的論證有深遠的擴展性，可以在不作原則性改變的基礎上適用於「無理數」的範疇。我們可以用類似泰特托斯(Theaetetus) 的方法證明 根3，根5，根7，根11，根13，根17是無理數，或者超過他的方法證明 4根3 和 4根7是無理數㈠。
歐氏定理告訴我們，有足夠多的材料對整數構造一個條理分明的算術體系。畢氏定理及其擴展則告訴我們，即使我們構造出這種算術體系，也不能滿足我們的需要，還會有許許多多的量要我們考慮，而這些量是整數的算術無法度量的，最明顯的例子就是正方形的對角線
。這個發現的極端重要性立刻被希臘數學家注意到了，他們起初假設(我猜想是按慣例)同種類的量都是可以公度的，例如任何兩個長度都是某一共同單位的倍數。他們由此建立了一個基於此種假設基礎上的比例理論。畢氏的發現暴露這個理論基礎的薄弱性，從而使歐多克斯(Eudoxus)建立了更深刻的理論。這個理論在《原本》的第五章中有詳細敘述，被許多現代數學家譽為希臘數學的最優秀成就。這個理論在數學思維上是很前沿的，可以稱作無理數理論的先河，它導致了數學分析的革命，對近代哲學也有很大影響。
兩個定理的「嚴肅性」是毫無疑問的。所以值得一提的是二者都不具實用性。在實際運用中我們只會用到相對小的數，只有天文學和量子物理涉及到大數。它們即使與最抽象的純粹數學相比，實用性也大不了多少。我不知道工程師通常要求的最高精度是多少，10位數恐怕會太高。那麼
3．14159265(π值保留8位小數)是兩數之比，即
(314 159 265) / (100 000 000)
也才9位數。小於1 000 000 000的素數有50 847 478個，這對工程師來說也太多了，即使不要其他素數，他也滿足了。歐氏定理先談到這裡。而就畢氏的理論來說，我們都知道，顯然工程師們對無理數不感興趣，因為他們工作中只涉及近似值，而所有的近似值都是有理數。
§15
一個「嚴肅」的定理是一個包含著「有意義的」概念的定理，因此我有必要進一步分析一下數學概念有意義的特性。這項工作有些難度，而且很難說我作的分析有價值。當目睹一個「有意義的」概念時，我們是一眼能識別的，就像看我的那兩個標準定理中的「有意義的」概念一樣。但具備這種識別能力需高深的數學知識和長期從事數學研究工作的經驗。因此我必須嘗試一些數學分析，也應該有可能發掘一些具有說服力的成果。至少有兩個特性是至關重要的，即一定的「普遍性」和一定的「深刻性」。但何為「普遍」、何為「深刻」還不能明確給出解釋。
一個有意義的數學概念，一條嚴肅的數學定理從下述意義上被認為是「普遍的」。數學概念應該是許多數學構造的要素，應能應用於許多不同種定理的證明。這種定理即使一開始是以相當特殊的形式提出(如畢氏定理)，它也應能被廣泛地擴展，成為與其同類型定理的典型。證明中所揭示的關係本來應該聯繫著許多不同的數學概念。所有這一切都還比較模糊，存在許多疑點。但顯而易見的是，如果一個定理明顯缺乏這些特徵，這個定理就不可能是嚴肅的。為說明我的觀點，我只需從浩瀚的代數海洋中抽取幾例。下面是從勞斯‧鮑爾的《數學遊戲》 (Mathematical Recreations)㈡摘取的兩例。
(a)只有8712和9801是能表示成它們的「反置數」的整數倍的四位數。
8712＝4×2178， 9801＝9×l089
小於10000的其他數不具有這個性質。
(b)大於1的數中只有四個數等於它們組成數字的立方和，這四個數是153、370、37l、4
07。
153 = 13 + 53 + 33 370 = 33 + 73 + 03
371 = 33 + 73 + 13 407 = 43 + 03 + 73
這些實例看來多少有點奇怪，也只有外行或業餘愛好者對此有興趣。對一個數學家來說，它毫無價值，它的證明既不難懂，也不有趣，只是需要花許多時間去嘗試。這些定理是不嚴肅的，其原因之一(也許不是重要原因)是因為其表達和證據都太侷限，不具有明顯的普遍性。
§16
「普遍性」是一個模糊而又危險的詞，我們得留心不要讓其佔據太多的篇幅。它廣泛應用於數學及有關數學的著作中。其中有一種特別的情形，它雖與我們今天的論題無關，但邏輯學家對它推崇備至。從這個意義上說，所有的數學理論都同等地和完全地是「普遍的」。
懷特海曾說：「數學的確定性取決於它完全抽象的普遍性。」㈢當我們假設2+3＝5時，就假設了一種存在於三種事物間的關係。這些事物並不是蘋果或便土，或者任何一種特定的東西，而只是「事物」，任何事物都行。這種表達式的意義完全獨立於具體事物的個別性。在完全抽象意義的基礎上，所有的數學「對象」、「實在」、「關係」，如「2」，「3」，「5」，「+」，「＝」或所有包含它們的數學命題，在完全抽象的意義下都是普遍的。實際上懷特海的話未免多餘，因為在此意義上講，普遍性就是抽象性。
普遍性的意義舉足輕重，邏輯學家強調它不無道理。因為它傳達的是一個真理，很多本該清楚瞭解它意義的人卻常常忘記。如經常有天文學家或者物理學家宣稱他發現了證明物理世界必須以一種特殊方式運行的「數學證據」。所有這些言論，只從字面理解，絕對是無稽之談。就像不可能用數學去證明明天會發生日食一樣。因為日食以及其他的物理現象並不是數學世界的組成部分。我想所有的天文學家該不會否認這一點吧？但是另一方面他們也確實可能正確預測日食的發生。
很明顯，這種「普遍性」與我們的討論無關。我們要尋找的是存在於各種數學定理之間的普遍性上的差別。在懷特海看來，普遍性是相同的。所以本書§15中的(a)和(b)這種小定理也和歐幾里德、畢氏定理一樣「抽象」和「普遍」，所以也等同於象棋佈局。對象棋來說，不管棋子什麼顏色、什麼形狀，棋手們都不會認為有什麼不同，只有外行才會考慮到與棋盤的搭配問題。棋盤和棋子只是用來刺激我們思維的工具，與真正的下棋對奕相比，就好比黑板、粉筆之於數學課中的定理關係。
我們現在要尋找的並不是這種存在於所有數學定理中的「普遍性」，而是在§15中提及的更晦澀難懂的那種普遍性。對此種「普遍性」也不宜強調過分(像懷特海一樣的邏輯學家們傾向於這樣做)。現代數學的卓越成就並不僅僅是「普遍性的微妙的堆砌」㈣，雖然這種堆砌是現代數學的巨大成就。在任何一種高水平的定理中，都存在一定的普遍性。但如果普遍性太泛也就會導致枯燥乏味，那就成了「每個事物都是它而不是別的」。其實事物間的區別與其共性一樣使人著迷。我們選擇朋友並不是因為他們具備人類的所有優點，而是因為他們有其本身的特點。在數學中道理亦然。因此我可以毫不誇張地引用懷特海的話來證明我的觀點：「被適當的特殊性所制約的廣泛的普遍性，才是富有成果的概念。」㈤
§17
一個有意義的定理必須具備的第二個特性就是「深刻性」。其概念也不易定義，它與「難度」有關，深刻的思想往往難以掌握，但二者也並不完全一樣。畢氏定理及推廣所蘊含的概念有一定的深度，但現代數學家絕不會認為它難懂。相反，一個定理可能極為膚淺，但卻難以證明──如丟番圖(Diophantus)的有關求方程整數解的定理。
數學理論好像分層分佈，每一層的內部以及與上下層之間由錯綜複雜的關係網連接起來。層越往下，理論就越深，也就越難懂。因此「無理數」概念比「有理數」深，同樣，畢氏定理比歐氏定理深刻。
如果注意整數之間或者任何一特定層次上的其他一些對象集合之間的關係，就會發覺有些關係一目瞭然，如，不需下一層次概念的任何知識，我們就可以識別並證明整數的性質。因此證明歐氏定理只用整數就行了。但整數有些定理是不能一眼看清的，還得通過挖掘和考慮深一層次的知識才能證明。
我們在素數理論中容易發現這種例子。歐氏定理重要但不深刻，我們不需用任何比「可除性」更深刻的概念證明素數無限。
當取得了答案後，心中又不免萌生新的問題。素數無窮，但這種無窮的素數究竟如何分佈？假定有一個很大的數N，如10的80次方 或 10的10次方的10次方㈥，其中有多少個小於N的素數㈦。當我們問這些問題時，就發現自己的思維處在不同的層次了。我們可以用超出想像的精確性來回答這問題，只是要深入一步，不用整數，而用現代函數理論的最有力武器來解決。所以回答我們這個問題的定理比歐氏定理深刻得多。
例子是不勝枚舉的。但「深刻性」甚至對一個能識別它的數學家來說也是不易說清的，因此我也不妄想還有什麼妙語能解開讀者的迷惑。
§18
在§ 11節中我對比了象棋和「真正的數」問題，其中有一點尚未涉及。如今我們想當然認為真正的數學定理就實質內容、嚴肅性與重要性而言，是無與倫比的。對訓練有素的天才來說，事物的「美」中也無不蘊含數學的奧妙，只是這種奧妙更難於言傳。由於棋類佈局問題的主要缺點就是「微不足道」，而這方面的對比交織著一些美學上的評價，同時也使這種評價受到妨礙，在歐幾里得和畢達哥拉斯的定理中我們能如何區分出「純美學」特徵呢？我不敢妄加評論，只略述一下我的觀點。
在兩個定理中(當然也包括證明)，有一種高度的意外性、必然性和有機性。證明形式頗為奇怪，使用的工具與之達到的結果相比顯然過於簡單。但結論中沒有任何疏漏，證明中的細節也不繁瑣，一行一個個步驟。許多只有專職數學家。才能理解的更難的定理，其證明也一樣簡明。在證明數學定理時不需要很多「情況」，因為「列舉情況」實際是數學論據的較為呆板的形式。數學證明應當如星座般清晰、明了，而不應像銀河裡的星束分散而模糊。
棋類佈局問題也有意外性和一定的有機性。當然至關重要的是走棋要出奇制勝，每一顆棋都應盡其用。美學的效應是累積的，出了關鍵一著，下一著應變化多樣，且每個變化都應有相應的反應(除非問題很簡單，不是真正引人人勝)。「如果P－B5（5下標），那麼Kt（t下標）－R6（6下標）；如果……那麼……；如果……那麼……」，如果沒有多種不同的答案?
其美中效果將會是單調、乏味的。這些都是地地道道的數學，有其自身的優點，但它僅僅是「列舉證明」(而且這些情況之間並沒有根本的不同)㈧，真正的數學家對此往往不屑一顧。
我想用棋子自身的感受來加強我的論證。必庸置疑，一個象棋大師，一個重大遊戲、比賽的參與者，從心理上是很鄙視用純粹的數學知識去下棋的，他們積累了不少經驗，在緊要關頭總能顯露身手，「不管他怎麼走，我頭腦裡已儲存了對付的方法」。象棋首先是心理上的較量，而不僅僅是一些數學小定理的積累。
§19
我現在必須回到我的小津講演上，對在§6小尚未談及的問題作一些說明。從以上論述中者可以看到，我只對把數學當作一種創造性藝術感興趣，但有很多問題還值得考慮，尤其是數學的「實用性」，它曾引起許多爭議。此外還有必要檢查一下數學是否真如我在牛津演講中提到的那樣「百利而無一害」，如果科學或藝術的發展能增加資源、方便人類，或增加人們情感上的愉悅，那麼我們就可以認為它們是「有用」的。醫學和生理學能減輕病痛，所以是有用的；工程設計能建築高樓、橋樑，從而提高生活水平(當然工程設計也會帶來害處，但此處暫不涉及)，所以也是有用的。依此來看，數學也必然是有用的，工程師如沒有數學基礎是無法進行工程設計的，數學也正開始運用於生理學中。因此我們有為數學作辯護的依據，雖說並不完備，但值得去鑽研。數學應用的更高層次，即運用於各種創造性藝術中，將與我們的研究無關。數學如同詩歌、音樂一樣，能訓練並陶冶人的性情，所以對數學家或數學愛好者來說，沉迷於其中，其樂也融融。不過，如從這方面去論證數學的用處，只不過是更為詳盡地重複我的老話，而現在要考慮的應是數學的原始的應用。
§20
這一切似乎是不言而喻的，但就這樣也有不少爭議，因為大多數「有用」的學科對我們中的多數人來說往往是學而無用的。生理學家和工程師對社會功用不小，但對常人來說，生理學和工程學並無多大用處(儘管他們的學習也許會基於其他原因)，就我自己來說，我從未發現我擁有的純數學之外的科學知識給我帶來過些微的益處。
事實上我們不得不詫異，科學知識給普通人帶來的實用價值是如此之小，如此乏味，而且毫無特色，其價值似乎與其在外的功用名聲成反比。如果在簡單的算術上反應快，是會很有用的；懂一點法語、德語，懂一點歷史、地理或經濟學知識也會是有用的；但僅懂一點化學、物理或生理學，在日常生活中卻毫無用處。不用知道氣體的組成我們便可以知道它會燃燒；汽車壞了我們自然送到修車廠去；胃不舒服會去看醫生或去藥店買藥。我們的生活要麼自有其規律操縱，要麼需要各行各業人的幫助。
然而，這只是枝節問題，一個教育的問題，只有教師們對它感興趣，因為他們必須說服那些為自己孩子的「有用的」教育而喋喋不休的父母們。當然，我們說生理學有用，並非鼓吹大多數人去學習生理學，但如有一定數量的專家致力於生理學的發展、研究，將會使絕大多數人受益。重要的問題是，數學的有用性究竟能延及多遠？哪些數學領域有用性最強？怎樣才能僅僅以這種「有用性」為理由，來為認真的數學研究，即數學家們所理解的數學研究進行辯護？
⑦見《原本》第九章第二十節。很多定理的真正作者在《原本》中未註明，但似乎沒有特別的理由否認這是歐幾里得自己發現的定理。
⑧證明也可以不用歸謬法，一些學校的邏輯學家則更鍾愛歸謬法。
⑨傳統上這一證明歸功於畢達哥拉斯，但可以肯定這是他的學派的一個成果。歐幾里得提出這個定理時，其形式更一般(《原本》第十章第九節)。
⑩歐幾里得，《原本》，第一章第四十七節。
㈠見哈帝和賴特的《數的理論導引》(Introduction to Theory of Numbers)第四章，那裡討論了畢達哥拉斯定理的不同的推廣形式，以及有關泰特托斯的歷史懸案。
㈡第11版，1939(H‧S‧M‧柯斯特修訂)。
㈢《科學與現代世界》，33頁。
㈣《科學與現代世界》，44頁。
㈤《科學與現代世界》，46頁。
㈥據推論宇宙的質子數大約為 10的80次方 。如果將 10的10次方的10次方 寫出來，將佔據50 000本一般篇幅的書。
㈦我在§14中已提到過，小於1 000 000 000的素數數量是50 847 478個，但這只是我們確實所知的範圍。
㈧我相信，如果所考慮的問題中，一個類型有形形色色的變化，那麼列舉證明現在也認為有其價值。
§21
我將作出的結論到這裡似乎是顯而易見的了，所以我先武斷地將它表述出來，再對之詳述。不可否認，初等數學中的很大一部分──我用的「初等」一詞是職業數學家使用的那種意思，它包括諸如有關微積分等應用知識──是具有一定使用價值的。數學中的這些部分整體來說是比較枯燥的，它們是最乏美學價值的部分。「真正」的數學家所研究的「真正」的數學，如費馬、歐拉、高斯和阿貝爾所研究的數學，幾乎是完全「無用」的。(這一點對「實用」數學和「純」數學來說都是如此。) 以「實用性」為標尺來衡量一個天才數學家的工作是不可能的。
但是這裡我要糾正一個錯誤概念。有人認為純數學家以其工作的無用性為榮㈨，並宣稱他們的工作沒有實際應用價值。這種念頭是基於高斯的一句不謹慎的話，其大意是：如果數學是科學中的皇后，那麼數論由於其極端無用性而成為數學中的皇后──我從沒能找到這話的確切引用。我敢肯定高斯的原話(如果真的是他說的)被很粗魯地曲解了。如果數論能夠被應用於任何實用的、顯赫的目的，如果它能像物理甚至化學那樣直接增加人類的歡樂和減少人類的痛苦，那麼高斯或其他數學家決不會愚蠢到為這種應用哀嘆或後悔。但是科學可為善服務，也可為惡助紂(特別是在戰爭時期)，這樣高斯和另一些數學家就應該慶幸有一種科學，就是他們的科學，由於其遠離人類日常的活動而保留了其純潔性。
§22
還有一個錯誤概念需要反駁。人們很自然地認為「純數學」和「應用數學」的實用性有很大差別，這是一個假象：這兩種數學之間有很大的差別(這一點我將在下面詳述)，但並沒對它們的實用性有很大影響。
純數學和應用數學的區別在哪裡？對於這個問題數學界有統一而明確的答案，在我的答案中絲毫沒有有悖於正規的說法，但有一些需要事先闡明。
下面的兩節可能帶有一些哲學味，但不會很深，且對我的論點也不是必不可少的。但我在敘述中將常用到一些詞，這些詞有明顯的哲學含義，如果我不解釋為什麼及怎麼用這些詞的話，讀者也許會感到困惑的。
我經常用到「真正的」這個形容詞，就像日常生活中用到它一樣。我說到過「真正的數學」、「真正的數學家」，就像我會說「真正的詩」和「真正的詩人」一樣，而且會繼續這麼用它。但我將會用到另一個詞「實在」(reality)，它卻有兩個含義。
首先，我將談到「物理實在」，這裡我用的是一般意義上的詞義。對於物理實在我指的是物質世界，晝與夜，地震和日食，也就是物理科學所描繪的世界。
我敢說直到現在，沒有讀者會對我的語言感到困難，但我馬上要進入困難的領域了。有另一種實在性，我把它叫做「數學實在」，對於它的本質在數學界和哲學界都沒有統一的認識。一些人認為它是「精神」的，某種意義上我們構造了它；另一些人則認為它是外在的，獨立於我們。一個人如果能對數學實在給出一個令人信服的解釋，他將可以解決形而上學中大多數難題。如果他的解釋中也包括了物理實在，這些難題就都解決了。
即使我有這個能力，我也不願在這裡討論這個問題。但為了避免小誤解，我還是要申明一下我的立場。我相信數學實在存在於我們之外，我們的任務是去發現或觀察它，並且，我們所證明的定理，我們誇耀稱之為「創造物」的，只不過是我們觀察記錄而已。自柏拉圖以來很多享有盛譽的哲學家都持有此觀點，雖然形式各異。我採用的語言對持有這種看法的人來說是很自然的，讀者若不喜歡這種哲學概念可改變這種語言，這對我的結論影響甚微。
§23
純數學和應用數學間最大的差異也許表現在幾何學方面。純幾何學㈩包括很多分支，如射影幾何、歐幾里得幾何、非歐幾何，等等。每一種幾何都是一種模型，即概念構成的造型，應該按照各個獨特造型的意義和美加以鑑別。幾何是一幅圖像，是很多方面的合成品，也是數學實在的一部分，並且是一個不完全的複本(然而，在其範圍內又是準確的複本)。但是現在對我們最重要的一點是：純幾何學無論如何也不能描寫物理世界的時空實體，因為地震和日食不是數學概念。
這些話對於外行來說可能有點矛盾，但對於一個幾何學家來說則是真理，我可以舉一個形象的例子來加以說明。假如我作一個有關幾何學的講座，例如普通的歐幾里得幾何，我會在黑板上畫一些圖形，一些直線、圓或橢圓的草圖來激發聽眾的想像。顯然，我畫圖的質量不會對我所證明的定理有什麼影響，圖形的作用只是將我的意思明白地傳達給聽眾，如果我已做到這一點，那麼讓技巧高超的畫師來重畫一遍是毫無必要的，它們只是輔助教學的工具，不是講座的實質內容。
讓我們再進一步。我講課的教室是物理世界的一部分，有其固定的形狀。對於這種形狀以及對於物理世界的一般形狀的研究本身就是科學，可稱之為「物理幾何」。假設現在有一個高功率的發電機，或一個巨大的引力體搬進教室，物理學家就會告訴我們教室的幾何結構已改變，它的整個物理造型已經輕微但確實被改變了。那麼我所證明的定理是否也變得錯誤了？我的求證當然是沒受影響的，這就像莎翁的劇作不會由於讀者不小心將茶潑在某一頁上而改變一樣。劇本是獨立於所印刷的紙張的，「純幾何」也是獨立於教室或物理世界的其他部分的。
這是純數學家的觀點。應用數學家、數學物理學家自然是另一種看法，因為物理世界(含有其結構和形狀)已經在他腦中先人為主了，對於這種形狀我們不能像描述純幾何學那樣確且描繪，但是我們能說出幾點名堂來。我們可以精確或粗略地描繪出它的組成部分之間的關係，並把這種關係與某些純幾何體系的組成間精確的關係作一個比較，這樣我們也許可以找出兩種關係間的相似之處，那麼我們面前就會有一幅「符合物理世界的事實」的圖來。幾何學家給物理學家提供了一整套可供選擇的圖形，這當中可能某一幅圖比其他的更符合事實，於是提供這幅圖的幾何學就成了應用數學家最重要的幾何學。我可以補充一句，即使是純數學家也會對這種幾何學更加欣賞，因為還沒有哪個數學家純到對物理世界毫無興趣的地步。但是，一旦他屈服於這種誘惑，他就放棄了他純數學的立場。
§24
這裡自然會使人想起我的另一番議論，物理學家會覺得它是自相矛盾的，儘管這種自相矛盾比起18年前已輕微得多。我將用我在1922年於英國科學促進協會A組講演中幾乎一樣的語言來描述它，那時我的聽眾絕大多數是物理學家，為此我的話可能帶有一點挑釁的意味，但我還是堅持了我的立場。
我一開始就說數學家和物理學家之間見解的差異也許並不如一般人認為的那麼大。我認為最重要的一點是，數學家與實在的聯繫更直接一些。這似乎是自相矛盾的，因為正是物理學家們在研究所謂「實在」的那些客體，但人們稍加思索就能說明：物理實在，不管它是什麼，很少或沒有一般意義上被本能地賦予實在的屬性。一把椅子也許是一堆旋轉電子的集合體，也許是上帝腦海中的一個想法，這兩種描述都有可取之處，但沒有一種是與通常意義下的實在完全相符。
我接著說道，無論物理學家還是哲學家都未曾對「物質實在」作出有說服力的解釋，也沒有解釋物理學家如何從大量混亂的事實或感覺開始來建造他所稱的「實在」的物體結構的。我們並不能說我們知道物理的研究題材是什麼，但這並不妨礙我們大致理解一個物理學家想幹什麼：他想用一些確定的、有序的抽象關係系統，來將他面臨的原始的、無條理的事實現象重新聯繫起來，而這種系統他只能從數學家那裡獲得。
另一方面，數學家也在研究他自己的數學實在，對這種「實在」，正如我在§22節中所說，我持「實在論」而非「唯心論」觀點。在任何情況下(這是我主要的觀點)這種數學的實在論觀點比物理實在似乎更合理一些，因為數學的客體更接近他們所被看到的。一把椅子或一顆星星一點都不像它們看起來的那樣，我們對之想得越多，感覺的迷霧就越會使它的輪廓模糊不清。但是「2」和「317」與感覺無關，我們觀察得越仔細，它們的性質就越清晰。也許現代物理學最適合於唯心主義哲學框架──我不相信這一點，但有些著名的物理學家是這麼說的。純數學在我看來倒是唯心主義的絆腳石：317是個素數，並不因為我們是這樣認為，或是我們的思想是以某種特定的方式形成，而是因為它原本如此（「原本如此」有著重號），因為數學實在就是這樣建立的。
§25
純數學和應用數學的這些差異對它們本身很重要，但與我們關於數學「實用性」的討論毫無關係。我§21中曾談到過費馬和其他一些偉大的數學家的「真正的」數學，具有永恆美學價值的數學，如最好的希臘數學。它們之所以永恆，是因為其中的精華就像文學中的精英部分，在幾千年後還能引起千萬人強烈的滿足感。這些數學家基本上都是純數學家(當然那時候兩者的差異要比現在小得多)，但我考慮的不僅是純數學方面。我把麥克斯韋、愛因斯坦,《Eddington》和迪拉克都算在「真正的」數學家之列。現在應用數學最偉大的成就就是相對論和量子力學，而這些領域現在無論在哪方面都幾乎像數論一樣是「無用」的，在應用數學中像在純數學中一樣，或多或少地有用的恰恰是其中最令人乏味的和最基本的部分。時間會改變這一切。無人預見到矩陣、集合論和其他純數學理論在現代物理學中的應用，也許一些「高雅」的應用數學會以「想不到」的方式變得「有用」，但是迄今為止，無論在哪一學科，實際生命是由平凡和枯燥組成的。
我 還記得 ６頓舉的一個有關「有用」的科學不吸引人的有趣例子。英國科學促進協會在利茲舉辦過一個會議，舉辦者以為會員們可能會想聽一些科學在「厚毛紡」工業方面的應用，但出於這個目的的講座和展示都徹底失敗了。看起來與會者(無論是否利茲居民)都想得到娛樂，但「厚毛紡」完全不是一個有趣的話題。這些講座參加者寥寥無幾，而有關相對論或素數的理論卻受到了聽眾的歡迎。
§26
數學中的哪些部分是有用的？
首先，中小學裡大部分數學是有用的，如算術、初等代數、初等歐氏幾何、初等微積分計算。但「專家」所學的一部分數學應排除在外，如投影幾何。在應用數學中，力學基礎是有用的(中學所教的電學應歸於物理學)。
其次，大學數學中相當一部分是有用的，它大部分實際上是中學數學更完備的發展，一部分物理化的學科如電學和流體力學也是有用的。同時我們必須認識到知識的儲備總是好事情，最實際的數學家的知識如果僅限於對他有用的那一點點的話，可能會遇到嚴重障礙，因此我們各方面都應懂一些。但我們總的結論是，這種數學只是當一個高級工程師或一個現代物理學家需要時才會有用，也就是說，這些數學沒有特別的美學價值。歐幾里得幾何中那些死板乏味的部分是有用的──我們並不想要平行公理，或比例理論，或正五邊形的構造。
於是我們得到一個很有趣的結論，就是純數學整體上明顯比應用數學有用。純數學家似乎在實用方面和美學方面都佔優勢。最有用的是技術。而數學技術主要是通過純數學來傳播的。
我希望我不需要表白我不是在貶低數學物理，它是一門輝煌的、也有許多問題的學科，充滿了最棒的想像。但一個普通的應用數學家的處境不是有點可憐嗎？如果他想「有用」些，他就不得不單調乏味地工作，也不能夠給他的想像力以充裕的空間。「想像」的宇宙比這個構造拙劣的現實世界美麗得多，而且一個應用數學家的想像力創造出的最精美的產品往往一出來就被否定了，理由粗魯而充分：它們不符合事實。
總結論已經明白無誤了。如果我們暫時同意說，有用的知識就是現在或不遠的將來對人類的物質享受有貢獻的知識，而與純粹的智力滿足無關，那麼高等數學的大部分就都是無用的了。現代幾何、現代代數、數論、集合論、函數論、相對論、量子力學──沒有一樣能達到這個標準，也沒有一個數學家的價值可以以此標準衡量。如果以此為標準，那麼阿貝爾、黎曼、龐加萊都虛度此生，他們對人類享樂毫無建樹，沒有他們地球依然是個樂園。
§27
也許有人反對說我關於「用處」的概念太狹窄，我只將其定義為「快樂」和「舒適」，而忽略其「社會」效應，而後者是近年來一些作者抱著各不相同的觀感都非常強調的問題。如懷特海說到「數學知識在人們生活中，在日常工作中，在社會組織中的巨大作用」，霍格本(他對我和其他數學家所說的數學是無動於衷的，不像懷特海那樣心領神會) 說：「如果沒有數學這種大小和次序的規則，我們就不可能建造一個充滿快樂、無人受窮挨餓的合理社會。」
我買在不能相信這種辮辭會給數學家們帶來多大的安慰。這兩位作者的語言都過於誇大其詞了，而且，他們倆也都忽視了非常明顯的區別。由於霍格本被公認不是一名數學家，所以上述情況對他是很自然的。他指的「數學」，實質上是他所理解的數學，我們將這種數學稱之為「中學」數學。這種數學有許多用處，我承認這些用處，而且，如果我們高興的話，也可以稱之為數學的「社會性」。霍格本將許多令人感興趣的魅力用於數學發現的歷史。正是這一點使這本書獲得聲望。因為正是這本書才使霍格本幫助了許多從來不是，而且將來也不會成為數學家的人。讀者搞明白了數學中還有他們未曾料到的東西。但是，霍格本對於「真正」的數學幾乎一竅不通(這一點凡是閱讀過霍格本對畢達哥拉斯的定理，或歐幾里德以及因斯坦的有關論述的任何人也能馬上這麼說)，更不用說什麼心領神會了(這一點他不辭勞苦地要表現)。「真正的」數學對他來說僅僅是一個讓人瞧不起的科目。
數學家懷特海的問題倒不是他不瞭解或不讚同這一有關數學的概念，但是在他對數學的狂熱中卻忽略了他所十分瞭解的那些特徵。那種對「人們的日常愛好」和「社會體制」有巨大影響的不是懷特海的數學，而是霍格本的數學。而由一般人用於平常事物的數學是微不足道的，經濟學家或社會學家們所利用的數學根本夠不上「學術水準」。懷特海的數學也許深深影響了天文學和物理學，而且對哲學的影響也是相當可觀的(一種有價值的思想總會影響另一種有價值的思想)。然而對於別的東西幾乎沒什麼影響了。這種巨大影響一般並不是對普通人而言，而是對像懷特海本人那樣的人而言的。
§28
有兩類數學，即真正數學家的數學和我將稱之為「不重要的」數學。我之所以這樣稱謂，是沒有比這更合適的詞了。這種不重要的數學由推崇它的霍格本及其學派中的其他作者提出許多論據加以辯護。而真正的數學卻得不到這樣的辯護，而且，對這樣的數學要是能夠給予辯護的話，也是被當作一門藝術來加以辯護的。這種觀點絲毫沒什麼荒謬或不尋常，因為它是數學家們所普遍認同的。
但是我們仍有另外一個問題要考慮。我們已得出結論，那就是，大體說來，不重要的數學是有用的，而真正的數學基本上不是有用的；從某種意義上來說，不重要的數學的確「有益」，而真正的數學卻不然。但是，我們仍需問：是否兩種數學中有一種有害？如果認為任何一種數學在和平時期有許多危害，這也許是令人感到不合情理，所以我們不得不考慮數學對戰爭的影響，現在，辯論這些問題很難不帶偏見，所以我本不想談的，然而，有些討論看來是在所難免的，幸而這種討論沒必要搞很長時間。
有一個令人欣慰的結論讓一個真正的數學家坦然，那就是，真正的數學對戰爭沒有影響。迄今尚未有人發現數論或相對論用於任何戰爭目的，而且看來今後許多年也不大可能有這種情況。確實，應用數學有許多分支。例如彈道學和空氣動力學。這類學科是因為戰爭而特發展起來的，它們需要相當精密的技術，也許這樣一來，就很難將它們視為「不重要的」數學，但它們全都不可能擁有「真正的」數學那樣的頭銜。它們令人厭惡，而且極其枯燥，即使是利特伍德也不可能使彈道學成為讓人崇敬的學科，別人就更無能為力了。因此，一個真正的數學家是問心無愧的；他的工作的價值是無可非議的。正如我在牛津大學曾講述的那樣，數學研究是一個「無害而清白的」職業。
在另一方面，不重要的數學在現代戰爭中有許多應用。例如：槍支專家和飛機設計師在工作中是離不開數學的。而這些應用所產生的一般影響是清清楚楚的。數學(假如不像物理和化學那樣明顯)對現代化、科學化的戰爭起了推波助瀾的作用。
由於對現代化、科學化戰爭存在著兩種截然相反的觀點，數學的作用並不像人們想像的那麼簡單。首要的也是最明顯的觀點是，科學對戰爭的影響是：它加劇了戰爭的恐怖性。從前只有少數參戰的人會領略到戰爭所帶來的痛苦，而現在這種痛苦殃及其他的群體。而霍爾丹卻在他的著作《化學戰爭的防禦》⑴中闡述了另外一種截然相反而又無懈可擊的觀點。他認為現代戰爭不像科學發展以前時代的戰爭那樣恐怖。他認為原子彈可能比刺刀更仁慈，催淚瓦斯和芥子氣也許是軍事科學所設計出的最人道的武器。他還認為：傳統的看法只是缺乏深思熟慮的「感情用事」⑵而已。還應強調，由科學所帶來的風險的平等性可能體現在長遠的利益中，也就是說一個文官的生命與一名土兵的生命是等價的，女人與男人的生命也是等價的。什麼都比將凶殘行為集中到一個特殊群體要好。總之，戰爭全面展開得越快越好。
我並不清楚以上的觀點中哪一個更接近於真理，這是一個急需解決而又令人興奮的問題。但我沒有必要在這裡來闡明，這一問題只與「不重要的」數學有聯繫，捍衛它是霍格本的事，而不是我的事。這個問題對霍格本的數學也可能是點麻煩，而對我的情況卻毫無影響。
實際上，不管怎麼說，因為真正的數學在戰爭中總有用武之地，所以還有更多情況要闡述。當世界瘋狂時，一個數學家可以在數學中發現一種無與倫比的鎮定劑。在所有的藝術和科學之中，數學是最嚴肅而且也是最細微的。同時，數學家在所有的人裡應該是最容易超脫於人世的。正如羅素曾說過的那樣：「至少一種衝動與不安可以從沉悶而乏味的現實中得以解脫。」很遺憾，這裡必須提出一個非常嚴格的限制條件──這樣一位數學家一定不能太老了。因為數學是一種創造性學科而不是默想的學科。沒有任何人在他失去能力或者不再有創造願望時還可以從數學這一學科中獲得慰藉。而這種失去能力與創造願望的情況可能會很快地在一個數學家身上發生。這是很可悲的，但在這種情況下，他也就不是什麼重要的角色了，也用不著為他操心了。
§29
在這裡我願意用更具個性的方式來概括我的結論。開始我就說過，任何一個為自己的主張辯護的人都會發現他是在為自己辯護。因此作為一名職業數學家，我自然也是在為自己作某種辯護，而這一結論部分可稱為我的自傳的一部分。
我從不記得除了曾經想成為一名數學家以外，還想做什麼。很顯然，我的才能是在這一方面的。而且我的父母也從不懷疑我在這方面的天賦。我不記得在孩提時代對數學有過強烈的愛好，這種數學家的素質我也許具備，但我並不覺得十分驚人。我對數學的興趣是基於應付考試和爭取獎學金的需要，我必須戰勝其他同學!這似乎成了我決策的動力。
我的思想抱負發生急劇變化是在15歲的時候(這種變化方式很特別)。有一本名叫《三一學院成員》的書，作者是「阿倫‧聖‧奧賓」⑶，是一套有關劍橋生活叢書中的一本。這本書寫得並不好。我認為這本書寫得比瑪麗‧科雷利(Marie Corelli)所寫的大部分書都差。但由於它是一本能激起一個聰明男孩想像力的書，所以也算不得一本完全壞的書。書中有兩名主人公。第一主人公名叫費勞爾斯，他幾乎是完美的化身。第二主人公佈朗，很有些女人氣質。費勞爾斯和布朗在大學生活中遇到很多妨礙學習的危險情況，其中最糟糕的是貝倫敦 (Bellenden)姐妹在切斯特頓⑷開設的一家賭場。這對姐妹年輕迷人且又極端邪惡。費勞爾擺脫了所有這些麻煩，成為數學學位考試的第二名和年級第一名，自然得到了一個獎學金(假如我當時所假設的那樣)；而布朗則失敗了，辜負了父母的期望，開始酗酒。有一次，在暴雨中他處於醉酒後的狂亂狀態，被牧師的祈禱文拯救出來。他連普通學位都難以拿到，最後成為一名傳教士。這些不愉快的事情並沒有影響他們間的友誼，當布朗第一次在高級職員休息室喝著葡萄酒、吃著核桃仁的時候，費勞爾斯對他的行為大惑不解，但卻充滿著愛憐之情。
現在弗勞爾斯是一個非常正直的研究員(迄今為止「阿倫‧聖‧ 奧賓」所能找到的一個)。然而，就連我這個思想單純的人也不認為他是聰明人。如果他能作出這些成績，我為什麼不能？給我印象最深的是休息室的最後一幕，它使我著了迷，從那時起，直到我得到三一學院成員資格為止，對我來說，數學就等同於三一學院成員資格。
進入劍橋大學以後，我立刻發覺，學位獎學金意味著「創造性的工作」，而我每形成一種確定的研究思想都要花很長時間。像每一個未來數學家一樣，我在讀中學時，就覺得自己常常可以比老師做得更好；甚至在劍橋大學時，我也覺得有時能比老師做得更好一些，當然不像在中學叫那麼經常罷了。但是，儘管當時我獲得了劍橋的榮譽學位，對於我花費很大精力所研究的學科，我確實是無知的；而且我仍認為從根本上來講，數學是一門「競爭」的學科。我的眼界最初是由樂甫教授打開的，他只教了我幾個學期的課，卻使我對分析的嚴醛概念有了最初的瞭解。我從樂甫教授處獲益最大的是他建議我讀喬丹的著名的《分析教程》 (Cours d'analyse）。我永遠也不會忘記這部著作所給予我的震撼，不會忘記那本書對我這一代數學家的激勵。讀了這部著作我才第一次懂得了數學的真諦；也是從那時起我走上了一個真正的數學家的道路，對數學樹立了正確的目標，對數學有了真正的熱情。
在這以後的十年裡，我寫了大量論文，但都無足輕重。在我的記憶中，我所滿意的只不過四五篇。我的真止的職業危機是在後來的10年或12年出現的。在1911年我與利特伍德開始進行長期的合作。再是在1913年，我認識了拉曼紐揚。從那時起，我的所有成就便註定與他們不可分割，而且很明顯，我與他們的合作是我一牛中有決定意義的事件。當我失望地卻又不得不聽那些浮誇而令人厭倦的談話時，我就會對自己說：「我做了件你們從未曾做過的事．那就是與利特伍德和拉曼紐揚在某種平等條件下的合作。」與他們相比我顯得尤其不成熟。當我成為牛津大學教授時，我處於四十剛出頭的最佳時期。但就是從那時起，我的命運每況愈下，這種情況在老年人尤其是老年數學家當中是常見的。一個數學家也許可以在60歲時依然勝任上作，但不能指望他們產生創造性的思想。
坦率地說，我的有價值的生活已經結束，而且我小再可能做出什麼事來有意識地增加我的生活價值。要沉住氣是很困難的，但我認為這是一種「成功」。我已獲得了與我的能力相匹配的人所應得到的獎勵。我擁有了一系列令人欣慰而高貴的職位。對於大學裡的較為單調乏味的生活，我並不感到煩惱，雖然我討厭「教書」，但還是從事少量的教學工作，這種工作幾乎完全是在指導我的研究工作。我喜歡演講，而且曾經為一些出類拔萃的班級做了很多講座。我始終都有閒暇來進行研究工作，這些研究已成為我一生中永恆的享受。我感到自己很容易與他人合作，而且已與兩個很特殊的數學家進行了多方面的合作，這使我為數學作出的貢獻大大超出了我本來的期望。像其他數學家一樣，我也曾遭到許多次失敗，但沒有哪一次失敗是過分嚴重而令我感到特別沮喪的。假如在我只有20歲時，讓我過這種淡泊的生活，我也會毫不猶豫地接受它的。
聽起來也許很可笑，我認為自己可以「做得更好」。我沒有語言和藝術方面的才能，而且對於科學實驗也不太感興趣。也許我本來可以成為一個說得過去的哲學家，但絕不會是那種具有創新頭腦的哲學家。我自認為我或許可以成為一名好律師；可新聞業只是一種職業，它不屬於哪種學術領域，而我對自己在學術領域的機會是充滿著信心的。所以，如果以人們一般所說的成功來作為評判適合什麼職業的標準的話，那麼我正適合做一名數學家。
如果我想要的是一種相當舒適和快樂的生活，那麼我的選擇就是正確的。但是那些律師、證券經紀人和出版商們常常也過著舒適而愉快的生活。要搞明白更富的人們生存的世界是怎樣的，這是很困難的。那麼是否可以說我的生活比他們的生活更有意義呢？對我來說，可能答案是惟一的，那就是：是的。如果答案是惟一的，那麼答案的理由也是惟一的。
我從未做過任何一件「有用的事」。我的新發現未曾，且將來也不大可能為世界增加哪怕是最小限度的舒適感，不論是直接的還是間接的，也不管是善意的還足惡意的，都做不到這一點。我也曾培訓過其他數學家，但這些人與我是同樣類型的數學家，他們所做的工作也同我做的工作一樣沒有用處。若是以實用的標準來作評判的話，我的數學生命的價值是零；從數學之外看來，我的價值無論如何也是微不足道的。我只有一種機會免被判斷為完全微不足道，那就是人們可能判定我已做出了一些有創造價值的工作．我不否認，我已做了一些創造性的工作，問題是它們的價值怎樣。
對於我的一生，或者說任何一個與我類似的數學家的情況是：我所做的工作擴充了知識，並且幫助他人在這座知識的大廈上添磚加瓦；而這些添加部分與偉大的數學家們的創新，或任何其他大大小小藝術家們的作品的價值的不同僅僅在於程度而不在於種類。這些數學家和藝術家都在死後留下了某種紀念物。
㈨我曾經因有這種觀點而被指責。我有一次曾說「一種科學只有當它強調社會財富的不均衡性，或直接促使人類生活的毀滅，才是有用的」，這句話寫於1915年，幾次被別人引用(或由於反對我)。這句話顯然是有意識的誇大其詞，儘管當時就可能言之成理的。
㈩為了討論的目的，我們必須把數學家所謂的「解析」幾何稱做純幾何。
⑴J‧B‧C霍爾丹，Callinicus：化學戰爭的防禦(1924)。
⑵我並不想通過這個濫用的詞來揭示這個問題；這個詞在描述感情不平衡的特定狀態也許會
很有用。當然，許多人都把「感情用事」當作罵人話來錯誤地指責寬宏大量的情感。而把「
實事求是」當作藉口，用來掩飾自己的蠻不講理。
⑶阿倫‧聖‧奧賓就是弗朗西絲‧馬歇爾夫人，馬修‧馬歇爾的妻子。
⑷實際上切斯特頓缺少形象生動的特徵。
後 記
布勞德教授和斯諾博士都曾對我說過，假如我能在科學所引發的益處和邪惡之間找到平衡的話，我就不再會為科學對戰爭的影響而苦惱。這樣一來，當我想到數學 影響時，除了想到那些純粹是毀滅性的影響外，我還必須記住科學還有著許多重要的有益影響。所以(為了寫後邊這一點)我必須記住：
(a)只有通過科學方法，全人類的戰爭組織才可能形成；
(b)科學大大加強了戰爭的宣傳威力，這一威力全是用於邪惡的。
(c)科學使「中立」成為不可能或失去意義，因此戰爭爆發後，不再可能存在充滿安寧的「世外桃源」。
當然，所有這些觀點都是傾向於反對科學的，另外一方面，即使我們把這種觀點最大限度地壓縮，也幾乎難以支持以下的觀點：由科學帶來的惡肯定不重於善。比方說，假如每場戰爭中有一千萬人喪生的話，那麼科學的作用仍然是：它可以使人的平均壽命延長。總而言之，我寫的§28節，是過於「多愁善感」了。
我並不想反駁這些批評的公正性。但是因為我在序言中所陳述過的那些理由，在我的書中不會再遇到這些批評了，對此我感到滿意。
斯諾博士也對§8所談的內容作了有趣的論證。即使我們承認下述觀點：「阿基米德將被人們記得，而埃斯庫羅斯卻被人們遺忘。」難道我們不覺得數學的聲譽是否仍然太微不足道了?我們僅僅從埃斯庫羅斯(當然還有莎士比亞或托爾斯泰)的著作中，可以對作家本人的情況有所瞭解，然而阿基米德和歐多克斯留給後人的只是他們的名字而已。
當我們在特拉法爾加廣場路過爾遜將軍紀念碑時，J‧M‧洛馬斯(Lomas)先生更加形像地闡述了這一觀點，假如真的能把我的雕像塑在倫敦紀念碑上的話，我是希望這座碑高聳入雲，以至於人們見不到雕像了呢，還是希望紀念碑矮得可以使人們對雕像一目瞭然呢?我會選擇前一種，而斯諾博士可能會選擇後一種。
英國數學家(G‧H‧哈帝(1877─1947)是本世紀最偉大的「數學思想家」，素數理論的絕對權威。作為數學知識和思想的傳授者，哈帝也是劍橋大學最受聽眾歡迎的數學教授。
《一個數學家的辯白》成書於哈帝自稱「才思枯竭之下只好向旁人講述數學發明的魅力和樂趣」之際。然而評論家公認該文是「用最優雅的語言對數學真諦最完美的揭示」。
為該文作序者C‧P‧斯諾博士以《兩種文化與科學革命》享譽學術界。他認為科學與文化是相通的，不同的知識領域是完全可以交流的，斯諾筆下的哈帝就是一位舉止古怪，但在不同領域均有不凡建樹的天才。
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