藍色情懷

猜數遊戲

一個教授邏輯學的教授，有三個學生，而且三 個學生均非常聰明！一天教授給他們出了一個題，教授在每個人腦門上貼了一張紙條並告訴他們，每個人的紙條上都寫了一個整數，且某兩個數的和等於第三個！ （每個人可以看見另兩個數，但看不見自己的）教授陸續問三個學生：你們能猜出自己的數嗎？前兩學生沈默了許久，搖頭。第三個學生說：我猜出來了，是 144！教授很滿意的笑了。請問您能猜出另外兩個人的數嗎？（詳述推理過程）

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algorithm ：

1. 無法判斷 → 其餘二人比值必不為1：1

2. 已知 本人：某a ≠ m：n, 且無法判斷 → 某a：某b ≠ n：m+n

        知己數為k → 某a：某b = n：m+n 且 2n+m為k的因數

重覆以上步驟

使得 (m，n，x) → … → 滿足下列條件：

(1)    (k,2k,k) or (2k,k,k) or (k,k,2k)

(2)    C→B→A,而且最後必定是(k,2k,k)(不計較次序)

(3)    需符合反推順序：C→B→A→C→ …、C→A→C→ …、C→B→C→ … etc.

I.  在兩回合之內推理完畢：（C→【B】→【A】→【C】→【B】→【A】）

II. 在一回合之內推理完畢：（C→【B】→【A】），其中【】為選擇性

則 (m,n,x)→ …→(k,2k,k) or (2k,k,k) or (k,k,2k) 即為所求。

＊其中m & n 不能同時為k的偶數倍或奇數倍，否則有可能在第一回就被猜出，或者非所求之答案（∵反推到最後必有出現0的數對發生，例如（0，x，x））

 
反推過程：

let k = 48

(k,2k,3k)→(k,2k,k)：C→B 第一回合內即猜出來

n=k,m=k；a：b=n：m+n=k：2k；2n+m=3k=144；144 恰為自己的因數

(2k,k,3k)→(2k,k,k)：C→A第一回合內即猜出來

 
let k = 36

n=k,m=2k；a：b=n：m+n=k：3k；2n+m=2k+2k=144；144 恰為自己的因數

(k,3k,4k)→(k,3k,2k)→(k,k,2k)：C→B→C符合所求

(3k,k,4k)→(3k,k,2k)→(k,k,2k)：C→A→C符合所求

∴ (108,36,144) 及 (36,108,144) 即為所求...

【解說】

　　首先說出此數的人應該是二數之和的人，因為另外兩個加數的人所獲得的資訊應該是均等的，在同等條件下，若一個推不出，另一個也應該推不出。（當然，我這裡只是說這種可能性比較大，因為畢竟還有個回答的先後次序，在一定程度上存在資訊不平衡）
　　另外，只有在第三個人看到另外兩個人的數是一樣時，才可以立刻說出自己的數。
　　以上兩點是根據題意可以推出的已知條件。
　　如果只問了一輪，第三個人就說出144，那麼根據推理，可以很容易得出另外兩個是48和96，怎樣才能讓老師問了兩輪才得出答案了？這就需要進一步考慮：
　　A：36（36/152） B：108（108/180） C：144（144/72）
　　括弧內是該同學看到另外兩個數後，猜測自己頭上可能出現的數。現推理如下：
　 　A，B先說不知道，理所當然，C在說不知道的情況下，可以假設如果自己是72的話，B在已知36和72條件下，會這樣推理——「我的數應該是36或 108，但如果是36的話，C應該可以立刻說出自己的數，而C並沒說，所以應該是108！」然而，在下一輪，B還是不知道，所以，C可以判斷出自己的假設 是假，自己的數隻能是144！

let k = 24

(k,5k,6k)→(k,5k,4k)→(k,3k,4k)→(k,3k,2k)→(k,k,2k)：C→B→C→B→C第三回合猜出，不合

(5k,k,6k)→(5k,k,4k)→(3k,k,4k)→(3k,k,2k)→(k,k,2k)：C→A→C→A→C第三回合猜出，不合

let k = 12

(5k,7k,12k)→(5k,7k,2k)→(5k,3k,2k)→(k,3k,2k)→(k,k,2k)：C→B→A→B→C反推順序不合

(7k,5k,12k)→(7k,5k,2k)→(3k,5k,2k)→(3k,k,2k)→(k,k,2k)：C→A→B→A→C反推順序不合

let k = 6

(5k,19k,24k)→(3k,23k,20k)→(3k,17k,20k)→(3k,17k,14k)→(3k,11k,14k)

→(3k,11k,8k)→(3k,5k,8k)→(3k,5k,2k)→(3k,k,2k)→(k,k,2k)：『C→B'→『C→B'→『C→B'→『C→B→A'→『C' 反推需經過第五輪C才猜出答案，故不符所求

用abc分別表示三人，同時表示三人的數值。用(a1:)表示在a(第一圈）不知道的情況下我們能知道的資訊。用*表示不相等。
則：
a1:b*c
(如 b=c則a知道自己是多少）
b1:a*c.a*2c
（如a=2b則b=c或則b=3c，由於b*c則b=3c則b知道自己多少。以下分析同理）

c1:a*b,a*2b,b*2a,b*1.5a

a2:b*2c,b*3c,c*2b,c*3b,c*1.5b,c*5/3b

b2:c*2a,c*1.5a,c*3a.c*5/2a,a*3c,a*4c,a*1.5c,a*4/3c,a*5/3c,a*8/5c

c2:a*1.5b,a*4/3b,a*3b,a*4b,a*5/2b,a*8/3b,b*3a,b*5/2a,b*4a,b*7/2a,b*4/3a,
b*5/4a,b*5/3a,b*7/4a,b*8/5a,b*13/8a

最後將c2中都變為等號（因為此時c知道了），得到c的值（分析可知c是和，否則早有人知道了），再將數值144帶入(非整數解捨去），可以得到答案。
此方法，得到c2後，無論任何數值都可以很快得到答案。
而且，從過程就可以知道是得到全部的正確的解答。

若k=165：

(99,66,165)→(99,66,33)→(33,66,33),共3個過程
(33,132,165)→(33,132,99)→(33,66,99)→(33,66,33),共4個過程
我認為這兩組答案都對,但我認為答案過程是:3≦答案過程≦7,因為C(第2輪)→B→A→C(第1輪)→B→A,而且最後必定是(k,2k,k)(不計較次序)

從以上東西令我聯想起以下的樹型圖(不計較次序):
(k,2k,k)→(k,2k,3k)→(k,4k,3k)→(k,4k,5k)→...
******************************→(7k,4k,3k)→...
*******************→(5k,2k,3k)→(5k,2k,7k)→...
*******************************→(5k,8k,3k)→...
以上是縮小的樹型圖(不計較次序),分支都有2個小分支,但3≦答案過程≦7
從樹型圖,因為第一個過程必定由最大變小,例如:(99,66,165)→(99,66,33),故第三個人必定是最大

我首先考慮整除性(即是考慮k是正整數),然後考慮次序(即是考慮頭2人的次序)
得到下列答案:
1.(99,66,165)→(99,66,33)→(33,66,33)

(3k,2k,5k)→(3k,2k,k)→(k,2k,k) ：(C)→(A)→(B)

(2k,3k,5k)→(2k,3k,k)→(2k,k,k)：(C)→(B)→(A) ← 第一回合就推理完畢；不符題意

2.(33,132,165)→(33,132,99)→(33,66,99)→(33,66,33)

(k,4k,5k)→(k,4k,3k)→(k,2k,3k)→(k,2k,k) ：(C)→(B)→(C)→(B)
*.(132,33,165)→(132,33,99)→(66,33,99)→(66,33,33)

(4k,k,5k)→(4k,k,3k)→(2k,k,3k)→(2k,k,k) ：(C)→(B)→(A)→(C)→(A)
3.(60,105,165)→(60,105,45)→(60,15,45)→(30,15,45)→(30,15,15)

(4k,7k,11k)→(4k,7k,3k)→(4k,k,3k)→(2k,k,3k)→(2k,k,k)：(C)→(B)→(A)→(C)→(A)

(105,60,165)→(105,60,45)→(15,60,45)→(15,30,45)→(15,30,15)

(7k,4k,11k)→(7k,4k,3k)→(k,4k,3k)→(k,2k,3k)→(k,2k,k)：(C)→(A)→(B)→(C)→(B) ← 推理順序不合

4.(120,45,165)→(120,45,75)→(30,45,75)→(30,45,15)→(30,15,15)

(8k,3k,11k)→(8k,3k,5k)→(2k,3k,5k)→(2k,3k,k)→(2k,k,k)：(C)→(A)→(C)→(B)→(A)

(45,120,165)→(45,120,75)→(45,30,75)→(45,30,15)→(15,30,15)：(C)→(B)→(C)→(A)→(B) ← 不合
共有4組答案(第2組答案也可以變多1組,則共有5組答案)
因為每個人要知道自已的數字,都是靠樹型圖的推論過程,只是長度有所不同
從樹型圖,故以上4組都是答案
故答案是(99,66,165),(33,132,165),(132,33,165),(60,105,165),(120,45,165)

我認為答案多過兩組
(99,66,165)→(99,66,33)→(33,66,33),共3個過程
(33,132,165)→(33,132,99)→(33,66,99)→(33,66,33),共4個過程
我認為這兩組答案都對,但我認為答案過程是:3≦答案過程≦7,因為C(第2輪)→B→A→C(第1輪)→B→A,而且最後必定是(k,2k,k)(不計較次序)
從以上東西令我聯想起以下的樹型圖(不計較次序):
(k,2k,k)→(k,2k,3k)→(k,4k,3k)→(k,4k,5k)→...→(7k,4k,3k)→... →(5k,2k,3k)→(5k,2k,7k)→... →(5k,8k,3k)→...
以上是縮小的樹型圖(不計較次序),分支都有2個小分支,但3≦答案過程≦7
從樹型圖,因為第一個過程必定由最大變小,例如:(99,66,165)→(99,66,33),故第三個人必定是最大

我首先考慮整除性(即是考慮k是正整數),然後考慮次序(即是考慮頭2人的次序) 得到下列答案:
1.(99,66,165)→(99,66,33)→(33,66,33)
2.(33,132,165)→(33,132,99)→(33,66,99)→(33,66,33)
*.(132,33,165)→(132,33,99)→(66,33,99)→(66,33,33)
3.(60,105,165)→(60,105,45)→(60,15,45)→(30,15,45)→(30,15,15)
4.(120,45,165)→(120,45,75)→(30,45,75)→(30,45,15)→(30,15,15)
共有4組答案(第2組答案也可以變多1組,則共有5組答案)
因為每個人要知道自已的數字,都是靠樹型圖的推論過程,只是長度有所不同
從樹型圖,故以上4組都是答案
故答案是(99,66,165),(33,132,165),(132,33,165),(60,105,165),(120,45,165)