藍色情懷

直覺與哥德爾對數學概念實體存在之證明——讀《理性的生命——哥德爾思想研究》

劉曉力著，湖南教育出版社2000年9月出版。


葉闖

存在柏拉圖式的數學概念實體是哥德爾在哲學方面最重要的一個結論。《理性的生命——哥德爾思想研究》一書的作者用了整整一章來討論這個問題，書中所列哥德爾 對數學柏拉圖主義的主要論證確實是哥德爾在他的著作中最強調的那些論證。現在我就在這本書工作的基礎上，從諸多可能的觀察點中選擇一個觀察點，也來看一看 哥德爾為他的概念實在論所作的論證。我所選擇的觀察點，就是直覺或者哥德爾說的「數學直覺」對柏拉圖主義數學觀的證明作用。

哥 德爾的數學實體是柏拉圖式的，是概念世界的存在物。它既不在物理的世界中，也不在心靈的世界中。柏拉圖意義上的存在是「很強的」。它要求存在者存在於一個 概念、形式或理念等等構成的世界中，不在任何意義上為人的思想所決定。僅說數學對像是客觀的，不由我們的隨意選擇和創造所決定，還不足以表明對像是柏拉圖 實體。哥德爾講到這一點時曾說：「此點絕對不能決定這些客觀的實體是什麼——特別不能決定它們是在自然中，在人的心中，還是兩者都不在。關於數學本質的三 個觀點準確地對應於關於概念本質的三個觀點，傳統上這三個觀點分別被稱為心理主義、亞里士多德的概念主義和柏拉圖主義。」(「Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications」, 見Gödel，p.312,n.17)　這意味著它並不由於成為有限思想者的「研究對象」而具有存在性。而其他東西，諸如「飛馬」、「摩西」或者歷史上哲 學家們所言之部分的「虛存」，雖可以在相當程度上獨立於心靈，然則畢竟與人心有關聯，因此也就很難說它們是柏拉圖的。哥德爾的抽像實體的存在性質倒是與弗 雷格的意義和思想的存在性質頗為相似，不知為什麼在哥德爾表達他的數學柏拉圖主義的幾篇主要文章中，沒有對弗雷格的學說給予應有的注意。不論這其中的原因 是什麼，也不論哥德爾與弗雷格在這方面有何種類型的相似性，他的數學形而上學觀念與弗雷格的相應觀念還是有重要的區別。在數學柏拉圖式實體存在的證明上， 弗雷格倚重於數學和邏輯本身顯示出來的其真理或其陳述的真值的客觀性質，它們不依賴於你和我的思考與信念。但與真相關聯的所謂「客觀性」不是符合論意義上 的，比如不是一幅肖像畫與某人相像那種意義上的。思想的客觀性不產生於任何的符合，而僅僅依賴於思想作為柏拉圖實體存在的形而上學特徵。更進一步，真值本 身也可以是柏拉圖世界的存在物（就弗雷格對真概念的一種理解，或至少就其一個時期的理解來說）。如此真的思想與不真的思想具有完全一樣的客觀性。

弗雷格有關思想和數學柏拉圖式實體存在的證明在三個方面表現出特色。第一個特色是他利用思想的可交流性作為一個證據。可交流性顯然不是柏拉圖世界存在的根 據，但可以是證據。因此，雖則疼痛作為一種心理狀態具有第一人稱權威，可關於疼痛的思想卻能由醫生和病人共享。共享與交流反過來支持柏拉圖式的形而上學。 於是弗雷格論證的第二個特色是他要求心理的東西與邏輯的東西的嚴格區分，比如思想（thought）與思想的心理狀態（thinking）、真與認為真之 間的嚴格區分。第三個特色是他利用了日常人們對數學客觀性的直觀理解。畢達哥拉斯定理之真無時間性，不依賴於任何人是否發現和思考它。而且，沒有任何人是 這個定理的擁有者，就像擁有一件時裝或一個感覺印象。此種非私有的特徵留下了（但並非保證了）交流的可能性。弗雷格說：「一個思想並不像一個觀念屬於擁有 它的那個人一樣，特別屬於思考它的那個人：每一個掌握這個思想的人都以同樣的方式遭遇同一個思想。否則兩個人永遠不可能把同一個思想賦予同一個句子，而是 每人都有他自己的思想；……不同人的斷定之間相互矛盾則完全不可能了……」 (「Logic」,見Frege, p. 133)

弗 雷格在第二個方面的特色表現出他最關鍵的想法，一種毫不含糊的嚴格性。他不使用任何哪怕有一點心理學嫌疑的要素來論證自己的思想世界之柏拉圖式的存在，無 論是直覺還是絕對意識。在分析哲學和歐洲大陸哲學的起點處，新哲學的開創者們在思想上曾有某些共通的東西，比如弗雷格和胡塞爾都聲稱要反對心理主義。他們 倆人之間也感到有需要交流的東西，如此才有他們之間的通信。但他們最終走上了不同的道路。現在，哥德爾似乎又在兩條道路之間搭橋，因此他走的是與弗雷格不 同的道路。哥德爾在陳述他的柏拉圖式的數學哲學觀念時，與弗雷格在陳述同一問題時差別並不明顯，而在論證他的這個哲學觀點時，差別就顯示出來了。弗雷格的 論證不需要胡塞爾的現象學。從根本上說，現象學是反柏拉圖主義的，而弗雷格的形而上學是以第三領域的實體存在為基礎的。因此，如果哥德爾要對胡塞爾的學說 感興趣，且他的理論要有前後一致性，則他對胡塞爾的興趣就只能使用於他的純粹方法論的領地，比如他可以將胡塞爾教給的方法使用於證明他的柏拉圖式的數學實 在論。而要更深入地運用胡塞爾的學說，哪怕只是為了上述的證明真正有效，他就得論證直覺或直觀與實體存在有必然性的關係。但不管哥德爾對胡塞爾學說有何種 程度的運用，他對胡塞爾在理論上的興趣和欣賞的確是十分真實的。

哥德爾對他的數學實體的存在有許多論證，最重要的是在以下三個方面（三個方面互有交叉，但側重不同）。一個方面是在批評的角度上，以批評數學的約定論之不合 理，來證明數學不是一種約定。這個批評的主要對像是卡爾納普，他把數學解釋為一種沒有內容的邏輯句法，堅持數學直覺可以被有關符號使用的約定所代替。 (「Is mathematics syntax of language?(1953/9-V)」,見Gödel,p.356）與約定觀念相聯繫的數學是我們的自由創造的觀點也是哥德爾激烈批評的對象。第二個 方面的論證部分地也是在批評的角度上，批評算法主義，同時解釋哥德爾定理與判定機器能否思維這一問題的關係。在這個工作中，1951年哥德爾在布朗大學所 作的吉布斯講演具有代表性。他在那裡提出的著名的選言判斷，其中第二個選言支若成立則是對柏拉圖主義本體論的強支持。(參見「Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications」，見Gödel，以及《理性的生命》,第4.4節)。

　 第三個方面的論證是直接說明數學直覺的不可消去性（non-eliminability）。這個論證雖然經常用作反對數學的約定主義的一個論據，但由於數 學直覺對於哥德爾理論的基本的重要性，幾乎使用於他的所有其他主要論證中，故具有獨立的意義。借助數學直覺的論證其獨特性還不僅於此，關鍵是它使哥德爾的 理論與胡塞爾的現象學有了聯繫的橋樑。

在一個數學的公理系統中，必有非定義的初始概念和對於它們成立的公理，使得定義和證明成為可能。「對這些公理，不存在其他合理的（且不只是實踐上的）基礎， 除了要麼它們（或它們所蘊涵的命題）可以直接被知覺（perceived）到是真的（基於詞項的意義或根據對詞項所涵攝之對象的直覺），要麼它們（像物理 假說一樣）以歸納論證為基礎被假設，比如以它們在使用中的成功為基礎。」（「Is mathematics syntax of language? (1953/9-III)」,見Gödel, pp. 346-347）在更早些時候，哥德爾談意義或概念實體時也用了「知覺」這個說法：「不論怎樣，錯誤在於詞項的意義（也就是說，它們所指謂的概念）被斷定 為某種人造的東西，且僅在於語義學約定。而我相信，真理在於這些概念構成了它們自己的一個客觀實在，我們不可能創造或改變，而只能知覺和描述它。」 （「Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications」,見Gödel,p.320）就是在對抽像概念或意義的把握上，對抽像事物的知覺和數學的直覺實質性地進入哥德爾的哲學論證， 胡塞爾的方法也就隨之進入哥德爾的哲學視野。哥德爾說：「……人們很明顯需要未定義的抽像概念和對它們成立的公理。否則，人們便沒有了定義或證明的出發 點。這個程序至少很大程度上在於意義的澄清，而那並不在於給出定義。……那麼，事實上今天一個科學已開始其存在，它宣稱擁有這種意義澄清的系統的方法，那 就是胡塞爾所創立的現象學。」（「The modern development of the foundations of mathematics in the light of philosophy」,見Gödel,p. 383）

於是，哥德爾與弗雷格在存在論問題上的區別在此就顯現出來。對弗雷格，人對數學實體的意識不是實體存在的核心論證。而對哥德爾，人對數學實體和數學內容的直 覺意識是他的論證的一個核心要素，他的數學柏拉圖主義的論證實質性地依賴於它。於是就有了哥德爾對胡塞爾學說的欣賞，從而使他的理論至少通過胡塞爾與康德 有了間接的聯繫。而對弗雷格，嚴格地說在他對其形而上學的論證中用不到後面這兩人的學說。不論怎樣，哥德爾確實設想某些類型數學直覺的存在能成為柏拉圖數 學實體存在的證明。但真要想通過某類直覺存在證明柏拉圖實體存在，至少有如下幾件事需要做：第一，說明有一些直覺是數學中確實存在的，它具有特殊的性質； 第二，說明這些直覺是不可消除的，即說明這些直覺不可能由一些純語法的系統表達它可以表達的全部，而沒有任何信息損失；第三，證明這些直覺是真正獨特的， 它不是非柏拉圖主義者所說的那些直覺的特殊表現形式，即它不能被解釋為非柏拉圖主義者的那些直覺；第四，證明這種既不可與其他類型直覺相同化、又不可消去 的直覺確與柏拉圖實體存在有特殊關係，以保證這種直覺的存在是柏拉圖實體存在的證明。

對第一個問題，哥德爾有一些論證，至少對自然數的直覺是較少有爭議的，而這種直覺不但是數學中確實有的，還是哥德爾進一步擴大他的數學概念實在論直到古典分析的基礎。

第二個問題，即對存在具有不可消去性的數學直覺和內容的論證。在這方面，哥德爾的論證是最強有力的。《理性的生命》的作者在細緻研究的基礎上，總結了哥德爾 的論證。（見《理性的生命》第5章）其實，哥德爾的論證在此處實質性地使用了他的不完全性定理（特別是他的第二定理），指出約定論本身的困難。比如在對卡 爾納普等人的批評中，哥德爾論證純約定推不出經驗命題，具有可用的經驗內容的系統需要一致性證明。而按哥德爾定理，對足夠複雜的形式化系統，在系統內部不 能證明自身的一致性，其一致性證明最終需要引用抽像概念和超窮方法。因此，總有一個純粹語法系統所不能捕捉到的數學直覺或內容。它們必然超出任何特殊約定 所能決定的範圍。

第三個問題，就是說明有關數學概念特別是具有超窮性質的數學概念的直覺不是部分非柏拉圖主義者也承認的那些直覺。直覺可以有多種解釋，其解釋關係到我們把什 麼想作直覺的根據或說基礎。有一種是經驗的直覺，是人類日常經驗的某種心理學結果。承認自然數是此種直覺的產物，本身可以是一種非柏拉圖主義的觀點。另一 種也可能是康德說的那種直覺或直觀。算術和幾何雖被認為有賴於此種直覺，但顯然那種直覺並不能保證柏拉圖式概念實體的存在。數學哲學中的直覺主義者所說的 直覺，與康德的學說有某種聯繫，比如布勞維爾的「the intuition of two-oneness」。布勞維爾所依靠的這種直覺被他看作構造自然數的基礎，可這種直覺也與柏拉圖實體沾不上邊。正如海丁所言： 「mathematics is a production of the human mind」（Heyting,p.52）。

如此看來，並非哲學家或做哲學時的數學家與邏輯學家們所提到的所有「直覺」都是存在柏拉圖實體的證明；或者，根本沒有任何直覺可以是柏拉圖式實體存在的證 明。因為，可能哥德爾所依賴的直覺實際上就是，或可化歸為非柏拉圖主義者所說的那些直覺。如果要證明確實有某類特殊的直覺依賴於柏拉圖實體的存在（我們簡 稱它為「P直覺」），柏拉圖主義者至少必須在兩個方面努力工作：第一，論證承認數學中直覺存在的非柏拉圖主義者們怎樣沒有正確地解釋這些直覺；第二，說明 某些直覺決不是我們心靈本身的產物。

對 第一項工作，為論證目的我們可以作一個簡化，假設可能的直覺形式只有有限種，其中包括哥德爾所說的那種直覺。哥德爾和其他柏拉圖主義者只需證明，其他直覺 實際上都不足以達到真正意義上的對數學概念的直覺，特別是對具有超窮性質的數學概念的直覺，只是相信者們以為可以達到；或者，證明其他直覺實際上就是哥德 爾所說的直覺，只是相信者沒有把握這種直覺的真實性質而誤讀了它。這樣最後剩下的就可能是哥德爾所說的那種直覺。不過這是一項很艱巨的任務，哥德爾在這方 面沒給出明確的論證。現在我們進一步假設，哥德爾已完成了他的第一項任務，即批判清理的工作，唯一剩下的為數學所不可缺少、且真正具有獨立性的直覺就是哥 德爾所說的直覺。我們現在需要證明，這種直覺就是P直覺。

於 是開始了對第四個問題的回答。我們已經知道，P直覺作為一種能證明柏拉圖實體存在的直覺，它的核心性質就是它不來自於我們心靈本身，而來自於不依賴於我們 心靈的東西。不能化歸為已分析的那些直覺，只證明了剩下的這種直覺的獨立性，但並不等於它就是不依賴於我們心靈的直覺，除非我們先已假定依賴於心靈的直覺 都是可以相互化歸的。這意味著哥德爾還必須提供一個直接的證明，來說明剩下的確是不依賴於心靈的直覺（這裡我們忽略有關自然界的直覺可能也不依賴於心靈這 一事實）。

無 疑，哥德爾定理本身並不能證明有不由心靈自身產生的直覺，除非你規定心靈自身產生的就等價於圖靈可計算的。哥德爾的證明主要表現在對「數學不僅僅是我們的 創造」這個論題的直接論證中，而這個論證中他使用了不完全性的結果。根據《理性的生命》的總結，我們看到，經過一系列論證，哥德爾為此提供的最後辯護主要 是以下三點：（1）如果數學是我們的創造，我們就應當瞭解創造之物的所有特性，而顯然目前我們對數學還相當無知。（2）如果數學是我們的創造，我們將基於 某種材料創造，原始材料對創造者將是客觀的東西，這迫使我們接受實在論。（3）數學中有一些必然的性質和關係，限制了我們的數學結果。( 參見《理性的生命》，第146頁)

第 一條頗有點含糊，我沒有搞清「瞭解創造之物的所有特性」是什麼意思，它的要求到底有多強。但至少一般地講，創造者必對創造之物有完全的知識這一結論，本身 需要論證；這並非是一個自明的命題。哥德爾為此所作的辯護與第二條有關。(「Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications」,見Gödel,p.312)而第二條也不是自明的，需要有形而上學假定，而非直接可以使用的論證前提。第三條受到勒文海姆- 司寇倫定理的某種解釋的挑戰，以及科恩對康托爾連續統假設獨立性證明的挑戰。（《理性的生命》一書中有細緻的討論）如何應對這些挑戰還是個可以討論的問 題。

假定上述三個問題都得到很好的回答，且哥德爾式直覺的存在性和必要性得到確認，則剩下的直覺就是P直覺，於是可證明柏拉圖實體存在。因P直覺與柏拉圖概念實體的關係如下：P直覺存在，僅當柏拉圖式實體存在。

看 來，如果已提到的問題能有一個合適的解決，哥德爾便能在一定程度上達到對柏拉圖數學實體存在的證明。但證明還不是最終的，循哥德爾足跡前行的數學柏拉圖主 義者確實還有很長的路要走。我們說「一定程度上」，是因為我們在論證時還作了一些很重要的簡化，比如我們未考慮在純粹方法論意義上承認類、甚至承認更「抽 像」實體的那些觀點。像卡爾納普等人可以假設性質等抽像實體，而不承認自己引入了相應的形而上學（自然也不需要可支持形而上學的直覺，雖然這裡的不需要與 弗雷格的不需要根據不同）。由此明顯看出，既承認抽像實體，又承認對抽像實體的直覺這個立場，具有重要的區別作用（本文點出但沒有討論）。就哥德爾已完成 的論證來說，我基本上贊同《理性的生命》的作者的結論：哥德爾的幾點證據對於批判語言約定論和唯名論所主張的「數學僅僅是我們的創造」等觀點是強有力的， 但他對柏拉圖式的概念實在論本身並未給出令人信服的證明。

 

參考文獻

Frege,1979,Posthumous Writings,edited by H.Hermes,F.Kambartel and F.Kaulbach,translated by p.Long and R.White,Basil Blackwell .

Gödel,1995,Collected Works III,edited by Solomon Feferman et al,Oxford University Press .

Heyting, Arend,1983,「The intuitionist foundations of mathematics」,in Philosophy of Mathematics(second edition),edited by p.Benacerraf and H.Putnam,Cambridge University Press .

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（作者單位：北京大學外國哲學研究所）

責任編輯：蘇曉離（《哲學研究》2003年第7期）