藍色情懷

追尋統一場論、解釋時間與空間，是當今理論物理學家最熱中的研究之一。其中，弦論是最有可能成功描述物質基本結構與作用的理論，弦論的數學結構非常嚴謹，其中的高維空間概念，就架設在「卡拉比–丘流形」之上。
「卡拉比–丘流形」是國際知名數學大師丘成桐最著名的工作之一。丘成桐從幾何學的觀點，參與弦論與廣義相對論的數學分析與證明，均獲得了重大的成果。他在幾何學的開創性工作，也影響了近30年來，數學許多領域的發展方向。
且聽丘成桐如何解釋時空與幾何的關係！

問：您在空間與幾何上的研究，對基礎物理有非常重要的影響，現在當紅的弦論，就是以您提出的卡拉比–丘流形為基礎，而您也以數學家的身份跨入了弦論研究。能否請您談談您的幾何研究與弦論結合的過程，以及這方面的最新進展？
答：我們數學家是從幾何的方法來研究空間的內容。因為物理學家通常不太了解數學上的幾何問題，他們要問我們；可是我們也從物理上得出很多想法，例如弦論裡面的T對偶和鏡對稱等，就還有很多問題沒解決，而數學家可以從幾何的觀點來了解這些問題。
我在八年前，和斯楚明格（Andrew Strominger）、薩斯勞（Eric Zaslow）等幾個朋友提出了一個關於卡拉比–丘流形的具體幾何描述，以及構造鏡流形的猜想（即斯楚明格–丘–薩斯勞猜想）。經過這些年的發展，這個想法基本上是對的，雖然還沒有證明出來，但是從這個想法得出來的很多結果，例如在拓撲上的推論是可以證明的，所以我和同事、學生都還在繼續考慮這些問題。

這種跨領域的合作很好。有些看法，例如T對偶，如果單純從數學的角度來想，大概不會想到有這種東西，但卻可從物理的觀點來找到。這引起了很多幾何上的有趣問題，帶出來的問題不只是一兩個，而是一連串的問題。
我們只是從一個角度來看對稱的問題，可是整個卡拉比–丘空間還有很多其他的問題，在數學上都很有趣。有些是在數論方面的問題，這些都是很自然的問題，它推廣了從前數論學家一路在用的橢圓曲線空間。過去幾百年來，數論學家主要的工具就是橢圓曲線。橢圓曲線在數論裡有過很重要的貢獻，可以解決很多重要問題，像是費馬問題，就是用橢圓曲線來解決的。
在卡拉比–丘空間裡，我們也可以同樣問數論方面的問題。很多數學家對這個問題有興趣，我們希望對於這方面的工作，能夠有些進展與貢獻，這比較困難，可是也很有挑戰性。

與物理學家激出的弦論靈感

問：您是從什麼時候起、在什麼樣的機緣下，開始參與弦論這方面的研究？
答：我想這是因為我一直和物理學家有很密切的來往，我和很多物理學家也都是很好的朋友。
我的朋友維頓（Edward Witten）是個大名鼎鼎的物理學家，他就是在做弦論，對於卡拉比–丘空間很感興趣。1984年，也就是物理學家所說的第一次弦論革命的時候，當時的弦論專家認為卡拉比–丘空間只有兩、三個，他們期望從這兩、三個空間，可以推導出宇宙主要的基本常數，對此寄予厚望。那時我在加州聖地牙哥訪問，維頓就從普林斯頓飛到聖地牙哥來問我這方面的問題，我也開始對弦論產生了興趣。
以後慢慢的，他們問了一些重要的問題，我也解決了一些。其中有個問題是，他們想找一個具有很好拓撲性質的卡拉比–丘空間，這個重要空間的質子數目剛好等於三，也就是有三組的費米子。換成數學的講法，就是這個卡拉比–丘空間的歐拉數是+6或-6。他們很想找這種空間，因為這和弦論可否解釋自然現象有關。結果被我找到了一個這樣子的空間，他們便邀請我去芝加哥的阿崗國家實驗室參加第一次弦論大會，要我給一個演講。我在演講中討論了卡拉比–丘空間的情形，與會的學者大約有1000人，大家都很興奮。
後來我們發現卡拉比–丘空間很多，但其中歐拉數為+6或-6的卡拉比–丘空間，到現在也才找到一個。我回去以後繼續和學生討論，寫了一些文章，好像又找到了幾個例子，最後卻發現，和我第一次找到的都差不多。
總之從那時候開始，我就對於空間在物理上的意義，有更大的興趣。後來，我的一個博士後研究員格林恩（Brian Greene）發現一件很重要的事情，就是鏡對稱，而且他也從物理的觀點證明了這個對稱的存在性。當他告訴我這個發現時，我很驚訝，從數學的觀點我認為不見得會存在，但是他從物理的觀點覺得應該存在。結果他對了！鏡對稱真的存在。格林恩現在是哥倫比亞大學物理系與數學系教授，在他寫的《優雅的宇宙》（The Elegant Universe）一書中，也寫了這一段故事。從那時起，我就參與這個研究。
這個事情很有意思，假如我不跟物理學家來往的話，我不會去參與這些研究。其實，我有很多博士後研究員都是物理學家。1973年我開始對廣義相對論有興趣的時候，我有一個博士後叫做霍洛維茲（Gary Horowitz），現在他在廣義相對論和弦論這兩個領域也很有名氣。

正質量，穩固廣義相對論
問：廣義相對論裡的「正質量」定理也是您的重要工作之一，您這兩年還持續發表一些相關的論文。能否請您談一談這方面的工作？
答：這是我20多年來一路都在研究的方向。一開始，是和我的學生孫理察（Richard Schoen）一起做的，這個問題在物理上很重要，因為質量假如有負的，引力場會不穩定，整個廣義相對論在理論上會出現問題。
當時研究廣義相對論的物理學家每兩年開一次大會，其中一個專題就是討論這個問題。在1973年微分幾何的一個會議裡，有位物理學家就提出，希望我們幾何學家去考慮。但那時我們沒有辦法解決，沒人曉得怎麼做。
1978年時，我到柏克萊訪問，孫理察那個時候在柏克萊當講師。我跟他本來就很熟，因為他在史丹佛當我的研究生的時候，我們天天在一起花很多時間討論。有一天在柏克萊校園，我們走著走著，就突然想到可以用極小曲面理論來解決這個問題。基本的想法那時候就找到了，以後當然還要花很多時間慢慢把細節完成。我們將第一步做好後，就給了幾個演講，那只是第一部份。當時有一些物理學家很挑剔，寫了文章講為什麼我們還沒有做到全部，但後來，我們在很短時間內也把全部完成了。這是個不容易的工作，後來我在史丹佛，和孫理察用了一整個暑假，才完成那篇證明正質量定理的文章。
剛開始，一些物理學家對我們數學家做的東西不太願意接受，不過後來還是慢慢接受了。以後，我們又推廣這個做法，得到一些黑洞上的研究結果。當時做這個問題時，必須假定整個引力場是一個孤立的系統。但很多物理系統是不能孤立地討論的，我們就問，不是孤立系統時怎麼辦？我一路對這個問題都有很大的興趣。
問：關於正質量的研究，接下來還有什麼進展呢？
答：自從孫理察去了史丹佛，我到哈佛後，我們就比較少見面，所以也比較少合作。不過我對這個問題仍舊很有興趣，想繼續做下去。在四、五年前，我寫了兩篇這方面的文章。我向香港中文大學數學系的譚聯輝提了這個問題，他做了一些成果，所以我就重新再看他做的工作。我和我的學生劉秋菊一同討論，寫了篇關於局部質量的文章。我們還在做第二個工作，結果還不夠完美，還在繼續摸索。
問：您這些後續的研究工作，是否就是要克服引力場孤立的限制？其中基本的困難是什麼？
答：是的，在廣義相對論裡邊，這是一個很重要的問題。我們討論一個非孤立的物體，例如黑洞和黑洞相互作用的時候，它的所謂結合能量（binding energy）等種種問題，都要用到新的觀念。我們從這邊得出一些結果，我覺得這個結果，就算在幾何上來講，也是很有意思的。
這個方向再發展下去應該是沒問題的。問題是，整個古典的廣義相對論裡，還有很多數學上的問題。我們希望整個場論、場方程能夠有解，但要怎麼樣去解它？怎麼樣去控制它？質量、能量都跟這些有關。整個場方程很複雜，必須引進新的量來控制它，才能了解它。我們距離目標還相當遠。很重要的一部份是數學的問題，是幾何和分析的問題，一般人很難涉入。

20世紀最偉大的數學難題

問：數學上著名的龐卡赫猜想，在前一陣子有了重大的突破。聽說前後兩位數學家漢米爾頓（Richard S. Hamilton）與帕瑞爾曼（Grigory Perelman）所提出的證明，都源自於您前瞻性的看法，能不能請您談一談？
答：1979年左右，我在普林斯頓，應邀去康乃爾給演講，在那裡遇到漢米爾頓，他告訴我他在考慮瑞奇流（Ricci flow），跟我講了一大套看法。我說瑞奇流很自然要去考慮，可是並不容易做，因為太複雜了。1980年，漢米爾頓跑來找我，說他做到了，至少在瑞奇曲率正的時候如此，這讓我印象深刻。他的方法很雅潔，而且跟我從前做的一些微分方程，有一定的相似，我感覺到這是一個很重要的結果。我說他這個瑞奇流的做法，應該可以拿來做龐卡赫猜想，但困難不少。沒想到他真的去做，他真是個很有創造力的數學家，我很佩服他。
1984年，我搬到聖地牙哥，第一件事就是邀請他到聖地牙哥任教。後來他的辦公室就在我隔壁，我們有相當多的時間交談。在1982~83年時，我與李偉光做了些關於熱傳導方程的梯度估計，是一種哈納克不等式（Harnack inequality），我跟漢米爾頓講，我想把我與李偉光的工作，放在他的方程裡去了解、同時推廣，因為我跟李偉光的工作，對他的方程絕對可以產生很重要的影響。

我們合作了一陣子，可是不久後我就到哈佛，而他留在聖地牙哥，他還繼續做這個問題。我覺得這個問題很不簡單，雖然當時已經發展出一些新的數學工具，但還是不夠。過了兩年，漢米爾頓又來找我，說他找到我和李偉光做的工作相似的不等式，他將梯度估計推廣到張量場中。我很驚訝，對我來講，這是個很不簡單的推廣。我想過，可是我想不出來，而他看對了整個方法。這是一個很重要的結果，可是距離解開整個龐卡赫猜想，還是相當遠，因為還得要分析流形是怎麼變化，這是很困難的問題。
問：關於龐卡赫猜想的這整個工作，後來的進展如何？
答：1995年，漢米爾頓發表了一篇文章，討論在瑞奇流中如何控制奇點的形成，處理如何做流形的分解。在他的文章發表前，他又跑來找我說，假如所有估計差不多都對的話，他真的看出流形怎樣分開。我當時覺得他這個工作很了不起。在此之後，我就跟他一同做這個問題。我們想將我和李偉光的工作，用他這個方法推進。做得還不錯，可是遇到很多困難，但是這個方法應該還是有前途的。
到了三年前，帕瑞爾曼發表了他的工作。帕瑞爾曼的方法跟我們的不同，卻相當深入。我們的方法稍微遠了一點，用我們的做，應該還是很有前途。不過，帕瑞爾曼的工作發表了後，我們就暫時不看我們本來的構想。
帕瑞爾曼的證明現在還是有很多不完整的地方，也不曉得是不是完全正確。現在很多人在檢驗他的證明，漢米爾頓也在看。最近，廣東的朱熹平訪問哈佛，他認為有辦法可以將它完成，朱熹平現在在哈佛數學系一星期講兩次課，談這個證明，期望到2006年初，可以全盤看出帕瑞爾曼是對是錯。對的話，當然是很偉大的工作，而且漢米爾頓應該是對這個問題有最重要貢獻的數學家。

幾何分析的誕生與應用
問：您在很年輕的時候，就將偏微分方程引進了幾何學，開創了幾何分析這個領域，也讓幾何分析成為科學上一個很重要的工具。您當初怎麼會開始這樣的嘗試？
答：那時我還在柏克萊念書，受到一個老師莫理（Charles B. Morrey）很大的影響。莫理做的是非線性方程式，工作很深刻，我對他很仰慕，對非線性方程也有一些興趣，可是真正對非線性方程深入去了解並加以發展，是我到史丹佛以後。一方面我自己做了一些成果，一方面是在那裡遇到了幾個重要的朋友，一位是西蒙（Leon Simon），一位就是孫理察，那時他還是學生，另外還有柏克萊的鄭紹遠。我們幾個人很親近，覺得可以發展一些東西。西蒙是做微分方程的，我是做幾何的，我覺得可以用非線性方程的方法來解決微分幾何的很多問題。所以我們幾個人就花很多工夫想這些問題，一路做下去也有不錯的成果。
問：把分析這個工具引入幾何，為什麼會有這麼大的威力？它會不會有什麼局限性？
答：分析是這樣子的，就好像漢米爾頓的工作，或者我做的工作，如果你要從空間裡找個結構，必須證明存在性，你幾乎沒有其他方法，只能用微分方程來證明。除非這個空間是從代數來的，如果空間是從代數來的，它是由多項式來代表，就可以用代數的方法。可是往往我們所討論的空間，除了知道它的拓撲結構外，完全沒有任何的基本知識。所以要構造幾何結構的話，非用非線性方程不可。
為什麼是非線性方程呢？因為我們所討論的這些空間，一般來講都是彎曲的，彎曲的空間弄出來的方程自然是非線性的。引入非線性方程，就可以發揮很大的作用；反過來講，由於微分幾何研究的都是彎曲空間，所以我們得出來的各種想法，對非線性方程本身也有很大的幫助。
問：微分幾何這個領域，將來可能朝什麼樣的方向演進？
答：科學不斷進步的時候，微分幾何本身也會改進。例如物理學家對時空的觀念在改變，就會有新的觀念進來，因此時空的改變也會影響我們對微分幾何的觀念。這是觀念性的改變，怎麼改變，我們現在不曉得。就好像當年從平面幾何變成黎曼幾何，我們也完全不曉得它會有這樣的改變方式。我們無法預想它會怎麼改變，不過這和對時空的了解，有很密切的關係。就是時空量子化的問題。
問：您把幾何與時空結合起來，為幾何學開創了很多重要的發展方向。除了時空之外，還有什麼力量可能推動幾何學的前進？
答：古典物理與古典科學，當然對幾何都有很大的影響，從力學、電磁學，就產生了幾何裡很多重要的改進；數論及代數幾何，也推進幾何在觀念上的改變。這都是重要的改變，但我想最基本的重要改變，可能還是時空量子化，還有與其他學科，例如代數幾何和算術幾何的結合。

數學的直覺需要經驗累積

問：剛剛聽您這樣談下來，您在醞釀或判斷一個想法時，似乎很憑感覺。
答：這就是「直覺」。在每一個領域裡頭都會有直覺。以國畫來講，畫家一看就曉得這幅畫好不好，因為他懂得畫的意境。為什麼他懂？因為他考慮過很多不同的可能情景。而我看只覺得畫得不錯，我沒有考慮過畫山畫馬有多少種不同的手法？要怎麼表現？以及裡面不同的陰陽、光線種種因素。如果你畫熟、畫慣了，就會有直覺，一看畫就很有感覺，其實這都是因為你經驗夠了。很多直覺是需要培養的，有時會受到文化的影響。你讀唐詩宋詞，也可以感覺到山水畫中煙雨濛濛的意境，它們都是要表現相同的東西，這都和文化有關。
不同領域的直覺，有不同方面的培養方法。對數學下的工夫深，當然就會有數學的直覺。很多數學家投稿給我，我一看就知道好不好，這是直覺和經驗的累積。像是漢米爾頓的工作，一開始很多有名的微分幾何學家看了就說沒什麼；但我始終覺得很有意思，所以一路支持他。
問：現在的物理學家都在追求一個所謂的統一，您覺得在數學上是否也存在有這樣的統一性？
答：有的。弦論就提供了統一數學一個很好的途徑，因為弦論要用到很多不同的數學，數學上的很多分支在弦論的基礎上，慢慢會有很多互通的地方。我覺得，數學眾多分支將會慢慢融合在一起，這是沒有問題的。


數學名詞解釋
卡拉比–丘空間（Calabi-Yau space）瑞奇曲率等於零的緊緻凱勒流形，稱為卡拉比–丘空間。弦論所需要的額外六維空間，就是卡拉比–丘空間。
拓撲學（topology）拓撲學研究在不撕裂或黏合的連續變換下，仍維持不變的空間性質。例如一個實心輪胎與一個帶把手的咖啡杯，從拓撲學來說是一樣的，但一條線和一個圓圈是不同的。
非線性微分幾何（nonlinear differential geometry）將非線性偏微分方程之技巧，引入微分幾何研究的學門。
流形（manifold）局部像一維歐氏空間（直線）的空間，稱為一維流形。直線本身當然是一維流形，常見的曲線也是。但是「8」字形雖然類似曲線，卻不是一維流形，因為中間交點附近並不像直線，而是交叉的「X」字形。同樣的，局部像二維歐氏空間（平面）的空間，稱為二維流形，平面、曲面都是二維流形。以此類推，局部像n維歐氏空間的空間，稱為n維流形。
瑞奇流（Ricci flow）一種以類似於熱傳導方程的方式，研究黎曼度量變化的方法。以瑞奇曲率決定變化方式的稱為瑞奇流。以均曲率決定變化方式的稱為均曲率流。以此類推。
歐拉數（Euler number）是一種拓撲不變量。例如一個正立方體，將頂點數8加上面數6，再減去線數12得到2，就是正立方體表面的歐拉數。四面體、八面體等多面體表面的歐拉數都是2。因為從拓撲來說，它們和球面一樣。
黎曼流形（Riemannian manifold）一個流形上如果有能夠測量長度的度量，就稱為黎曼流形（或黎曼空間）。有了黎曼度量，就可以談角度、長度、面積、體積等常用的幾何量。
龐卡赫猜想（Poincare conjecture）如果一個緊緻三維流形的基本群最簡，則此流形一定是三維球。
（整理撰文：台大數學系副教授翁秉仁）


物理名詞解釋
T對偶（T-duality）弦論中相當重要的對稱性質。根據T對偶，可以將某個維度的拓撲結構半徑為R的圓，轉換成半徑為1/R，而描述這兩個系統的數學形式完全相等。
孤立系統（isolated system）一個不與周圍環境作用的物理系統。它會遵循一些守恆律，例如動量跟能量守恆。
弦論（string theory）是一種量子重力論，描述物質的基本結構與作用，認為整個宇宙，大至星系，小至夸克等基本粒子，都是由一段段、一圈圈的開弦或閉弦所組成，這些弦非常小，只有10-33公分。弦論可以避開基本粒子物理模型無法解釋的一些問題，能夠兼顧微觀量子概念與重力現象。
時空量子化（quantization of spacetime）在量子重力論中，時間跟空間分別具有一個測量的最小單位，被稱為空間子（spason），可以用來描述四維時空中的位置。以長度及時間單位來表示的話，長度及時間單位分別對應為1.27×10-23 公尺及4.25×10-32秒。
場方程式（field equation）場方程式是用來描述自然界基本作用力與物質作用的方程式。自然界的基本作用力有重力、電磁力、弱作用力及強作用力。
場論（field theory）在物理中，場是一個物理量在空間中各個點的分佈。場論是用來了解場的動力學性質，研究場對時間的變化，及跟其他物理場之間的相互作用。
費米子（fermion）是自旋數為半整數的基本粒子。遵循費米–狄拉克統計，及包立不相容原理，因此沒有兩個相同的費米子可以同時存在於同一量子態中。
廣義相對論（general theory of relativity）愛因斯坦在1915年所提出的重力的幾何理論。他把重力看做是四維時空中受到質量所影響的曲率。
鏡對稱（mirror symmetry）在物理以及數學中，鏡對稱可以在兩種卡拉比–丘流形中存在。一般是發生在兩個六維的流形，儘管二者的外觀並不相同，但是如果把其他弦論中隱藏的維度也考慮進去，便會發現二者間的對稱性。

（整理撰文：陳勁豪／審訂：台大物理系教授高涌泉）


延伸閱讀
1. 關於幾何學的進展及時空觀念的改變，可參考丘成桐2005年11月15日在台灣大學的演講〈時空的幾何歷史〉，全文刊載於台大數學系網站：http://www.math.ntu.edu.tw/library/math_general/article_06_01_06.htm。
2. 丘成桐演講〈現代幾何的發展〉，數學知識網站http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_16_4_09/index.html
3. 丘成桐演講〈我的數學之路〉，台大數學系網站http://www.math.ntu.edu.tw/home_c.htm
4. 〈弦論是什麼？〉、〈SA專訪弦論學者格林恩：弦論往哪裡去？〉，《科學人》2003年12月號。
5. 〈空間形狀知多少？〉，《科學人》2004年8月號。
6. 〈一統宇宙的弦論〉，《科學人》2004年10月號。