今日數學家

約翰 卡斯提倫 Born: 15 Jan 1704 in Castiglione, Tuscany, Italy Died: 11 Oct 1791 in Berlin, Germany

生平簡介

原文名:Johann Castillon

出生地:Castiglione,Tuscany,Italy

事蹟:

1.Castillon的首兩篇論文稱做心形曲線，這是由他自己命名的。
2.Castillon也研究圓錐面、立方方程式和火砲射擊的問題。
3.Castillon公開了Leibniz-Johann Bernoulli的信件。且編修Euler(歐拉)著作，並對於Newton(牛頓)的 Arithmetica Universalis發表了他的評論。他也在法國翻譯了Locke 的Elements of Natural Philosophy。 

特別的故事:

Johann Castillon曾在比薩學習數學，然後才到瑞士去。 到Switzerland(瑞士)時，他改了他的名字，所以他就用他出生的城鎮來命名。Castillon曾在Lausanne和 Bern教書。 1751年時，他到了Utrecht的一所大學做有關數學和天文學的演講。1754年時，Castillon在Utrecht 這個地方獲得了博士頭銜。1755年便成為那裡的教授。三年後Castillon更成為大學校長。Castillon在1764年時去了Berlin(柏林)且在1765年成為Berlin(柏林)天文台的首席天文學家。

心臟線

n = 5的外擺線軌跡

假設有一個定圓，若有另一個半徑是剛才的圓形的倍的圓在上滾

動，則圓周上的一定點在滾動時劃出的軌跡就是一條外擺線。

不同的外擺線

外擺線 是所有形式為

的曲線，其中 n 為正實數。

軌跡定義

n = 4的外擺線軌跡

假設有一個定圓，若有另一個半徑是剛才的圓形的倍的圓在上滾動，則圓周上的一定點在滾動時劃出的軌跡就是一條外擺線。

心臟線

心臟線

心臟線是外擺線的一種，其 n 為 2。它亦可以極坐標的形式表示：

r = 1 + cos θ

這樣的心臟線的周界為 8，圍得的面積為。

心臟線亦為蚶線的一種。

在 Mandelbrot set 正中間的圖形便是一個心臟線。

心臟線的英文名稱「Cardioid」是 de Castillon 在 1741年 的《Philosophical Transactions of the Royal Society》發表的；意為「像心臟的」。

Rolling circle around another fixed circle produces cardioid (red curve)

Cardioid

The curve given by the polar equation

(1)

sometimes also written

(2)

where .

The cardioid has Cartesian equation

(3)

and the parametric equations

			(4)
			(5)

The cardioid is a degenerate case of the limaçon. It is also a 1-cusped epicycloid (with ) and is the catacaustic formed by rays originating at a point on the circumference of a circle and reflected by the circle.

The cardioid has a cusp at the origin.

The name cardioid was first used by de Castillon in Philosophical Transactions of the Royal Society in 1741. Its arc length was found by la Hire in 1708. There are exactly three parallel tangents to the cardioid with any given gradient. Also, the tangents at the ends of any chord through the cusp point are at right angles. The length of any chord through the cusp point is .

The cardioid may also be generated as follows. Draw a circle and fix a point on it. Now draw a set of circles centered on the circumference of and passing through . The envelope of these circles is then a cardioid (Pedoe 1995). Let the circle be centered at the origin and have radius 1, and let the fixed point be . Then the radius of a circle centered at an angle from (1, 0) is

			(6)
			(7)
			(8)

If the fixed point is not on the circle, then the resulting envelope is a limaçon instead of a cardioid.

The arc length, curvature, and tangential angle are

			(9)
			(10)
			(11)

The perimeter and area of the curve are

			(12)
			(13)

REFERENCES:

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 214, 1987.

Gray, A. "Cardioids." §3.3 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 54-55, 1997.

Kabai, S. Mathematical Graphics I: Lessons in Computer Graphics Using Mathematica. Püspökladány, Hungary: Uniconstant, p. 123, 2002.

Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 118-121, 1972.

Lockwood, E. H. "The Cardioid." Ch. 4 in A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 34-43, 1967.

MacTutor History of Mathematics Archive. "Cardioid." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Cardioid.html.

Pedoe, D. Circles: A Mathematical View, rev. ed. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. xxvi-xxvii, 1995.

Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 24-25, 1991.

Yates, R. C. "The Cardioid." Math. Teacher 52, 10-14, 1959.

Yates, R. C. "Cardioid." A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 4-7, 1952.

CITE THIS AS:

Weisstein, Eric W. "Cardioid." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Cardioid.html

Heart Curve

There are a number of mathematical curves that produced heart shapes, three of which are illustrated above. The curve at left is obtained by taking the cross section of the heart surface and relabeling the -coordinates as , giving the implicit equation

(1)

The second curve is a rotated cardioid (whose name means "heart-shaped") given by the polar equation

(2)

The third curve is given by the parametric equations

			(3)
			(4)

where (H. Dascanio, pers. comm., June 21, 2003). The fourth curve is given by

(5)

(P. Kuriscak, pers. comm., Feb. 12, 2006).

The areas of these hearts are

			(6)
			(7)
			(8)
			(9)

The Bonne projection is a map projection that maps the surface of a sphere onto a heart-shaped region as illustrated above.

Équation polaire :  Équation cartésienne :. Quartique bicirculaire rationnelle. Paramétrisation cartésienne rationnelle :  Paramétrisation complexe : (où ). Angle tangentiel polaire : . Abscisse curviligne :  Rayon de courbure :  Équation intrinsèque 1 :  Équation intrinsèque 2 : (ici, cte= -) Équation podaire :  Longueur : 8 a ; aire : 3pa2/2.

La cardioïde dispute à la lemniscate de Bernoulli le record du nombre d'appartenances aux diverses familles de courbes remarquables.

La cardioïde est en effet :

1) une conchoïde de cercle relativement à un point situé sur le cercle, avec une raison égale au diamètre du cercle. Pour obtenir l'équation indiquée en en-tête, prendre la conchoïde du cercle (C) de centre W (a/2, 0) passant par O, relativement à O, de raison a (la cardioïde est donc un cas particulier de limaçon de Pascal).

2. a)  une épicycloïde à un rebroussement : lieu d'un point d'un cercle roulant sans glisser, extérieurement, autour d'un cercle de même rayon (ici, cercle de rayon a/2 roulant sans glisser autour du cercle (C) ).

C'est donc aussi :
    b) la courbe orthotomique d'un cercle par rapport à l'un de ses points.
    c) une arachnée.
    d) une péricycloïde ((cercle roulant sans glisser autour d'un cercle de rayon moitié en le contenant ; ici, cercle de rayon a roulant autour de (C)).

    d) l'enveloppe d'un diamètre d'un cercle de rayon a roulant sans glisser sur et extérieurement à (C₀).
    e) l'enveloppe d'une corde (PQ) du cercle de centre W et de rayon (cercle circonscrit à la cardioïde), P et Q parcourant ce cercle dans le même sens, l'un ayant une vitesse double de l'autre (génération dite "de Cremona").

Ci-dessus, le point n est relié au point 2n modulo 30.

3) comme toute quartique bicirculaire rationnelle :
    3. a) une podaire de cercle par rapport à l'un de ses points ; ici, la podaire du cercle (C') de centre (a, 0) passant par O, par rapport à O ((C') est le cercle inscrit dans la cardioïde).

    3 b) la cardioïde est donc aussi l'enveloppe des cercles dont un diamètre joint un point fixe (ici O) d'un cercle (ici le cercle (C'), en rouge ci-dessous) à un autre point de ce cercle.

Le cercle bleu ci-dessus est le cercle des centres de la famille des cercles, c'est en fait la déférente de cette génération cyclique.

    3. c) une inverse de parabole par rapport à son foyer (ici, de la parabole d'équation  , qui a O pour foyer) .

    3. d) une cissoïdalede deux cercles tangents, le deuxième de rayon double de l'autre, par rapport au centre du grand cercle (ici cissoïdale par rapport à O du cercle de centre (-a/2, 0) passant par O et du cercle de centre O et de rayon a - cette définition est en fait équivalente à la définition conchoïdale).

4) une caustique de cercle par réflexion avec source lumineuse sur le cercle (ici le cercle de centre (3a/2, 0) passant par O).
 

C'est cette propriété qui fait apparaître une cardioïde dans ce récipient conique rempli de lait (voir à surface caustique) :

5)  une orthocaustique de limaçon trisecteur par rapport au sommet de la boucle.

6)  une orthocaustique de sextique de Cayley par rapport au sommet de la boucle.

7) une podaire de cissoïde droite par rapport au point de rebroussement.

8) un cas particulier de spirale sinusoïdale.

9) une glissette : la cardioïde est le lieu du sommet d'une parabole variable de foyer fixé et passant par un point fixé :

10) Les lignes de champ du champ complexe défini par  sont des cardioïdes.

Comme pour toute courbe cycloïdale, la développée de la cardioïde est une cardioïde semblable, image par l'homothétie de centre W , de rapport -1/3.

L'une des développantes est donc une cardioïde ; les autres sont auto-parallèles :

La roulette de la pointe de la cardioïde roulant sur une cycloïde de même longueur est rectiligne :

L'orthoptique de la cardioïde est formée d'un cercle et d'un limaçon de Pascal.

On retrouve aussi la cardioïde dans certaines cycloïdes sphériques et dans les multicardioïdes.

On trouve enfin une belle cardioïde au centre de l'ensemble de Mandelbrot :

Les cardioïdes r = a (1 + cos q ) pour a > 0 et leurs symétriques par rappport à Oy forment un réseau orthogonal.

 

Cardioid

Cardioid formed by its tangents.

Mathematica Notebook for This Page cardioid_gallery.nb.zip

History

Studied by Ole Roemer↗ (1674) in a investigation for the best form of gear teeth. The name cardioid (heart-shaped; from Greek root cardi, meaning heart) was first used by de Castillon↗ in the Philosophical Transactions of the Royal Society of 1741. Its length is found by Phillipe de la Hire↗ in 1708. Cardioid is a special case of limacon of Pascal: a family of curves studied and named after Étienne Pascal↗ (1588-1640), father of Blaise Pascal↗ (1623-1662).

Description

Cardioid is a special case of epicycloid and limacon of Pascal. (see Curve Family Index)

Cardioid can be defined as the trace of a point on a circle that rolls around a fixed circle of the same size without slipping. Or, the trace of a point on a circle of radius 2 r that rolls inside a fixed circle of radius r. The latter is known as double generation. The figure on the right shows the coordination of both generations.

Tracing Cardioid Cardioid as Epicycloid 2 Cardioid as Epicycloid Cardioid Tracing

Let A be the center of the fixed circle with radius r. Let B be the center of the rolling circle with radius r. Let P be a arbitrary fixed point on circle B. Suppose P is the tracing point. Let the point of contact of the two circles be D. Let N be a point on the rolling circle that is colinear with ADB. Let K be a point on circle A and colinear with DP. Theorems: PDK is the normal of P. PN is the tangent at P. A circle passing P and K and centered at a point (C) that lies on the fixed circle A will trace out the same cardioid with the tracing point P, by rolling it on the fixed circle with center A. This circle will have radius 2*r.

We define the vertex of a cardioid to be the cusp's opposite point, and the diameter to be the segment from cusp to vertex.

Formulas

The following formulas describe a cardioid with cusp at origin and vertex at {4,0}. The a variable is a scaling factor.

• Polar: r==(1 + Cos[θ])*2.
• Polar (flipped along y-axis): r==(1 - Cos[θ])*2*a. θ*3/2==ϕ, and 1/2*θ==ψ. ϕ is the angle of inclination of tangent. ψ is the angle of the radius vector and tangent. Angle Inclination Property
• Cartesian: (-2*x + x^2 + y^2)^2 == (x^2 + y^2)*4. plot

Properties

Evolute

The evolute of a cardioid equals to itself. (true for all epi/hypocycloid) The left figure connects point on the cardioid to their center of tangent circles (green). In the right figure, normals of cardioid are drawn. (the secants shown have no math significance.)

Constructing Evolute

Caustic and Envelope of Circles

Cardioid is the catacaustic of a circle with light source on the circle. The cardioid so generated is inside the circle with vertex on the point of light source, and has diameter 2/3 of the circle. Cardioid is also the envelope of circles with centers on a fixed base circle C and each circle passing through a fixed point P on the base circle C. The generated cardioid has diameter twice that of C and its cusp is at P.

Left: Cardioid as a circle's caustics. Cardioid As Circle's Caustics Cardioid as Caustic Cardioid as Caustic Right: Cardioid as envelope of circles. Cardioid by Envelope of Circles Cardioid by Envelope of Circles

The catacaustic of a cardioid with lightsource on the cusp is a nephroid.

Pedal and Conchoid of a Circle

Cardioid is the pedal of a circle with respect to a fixed point on the circle. The fixed point forms the cusp of the cardioid, and the circle's diameter is the cardioid's diameter. Cardioid is also the conchoid of a circle of radius r with respect to a fixed point on the circle, and offset 2 r. In others words, any chord of cardioid passing its cusp has constant length 1/2 of the cardioid's diameter, and the locus of midpoints of such chords is a circle. Furthermore, The tangents at the end points of chords passing through the cusp intersects at right angles, and the locus of such intersections is a circle with diameter 3/2 of the cardioid's. Therefore, the orthoptic of a cardioid is a circle. Cardioid's Orthoptic.

Pedal of a Circle Pedal of a Circle

Conchoid of a circle Conchoid of a circle

Reconcile Properties

Here we try to combine most of the properties in a single setting. Try to interpret the figures as a exercise.

Cardioid Properties Cardioid Properties

Parallel Tangents

Given any line, there are exactly three tangents parallel to it. If we connect the points of tangency to the cusp, the three segments meet at equal angles of 2*π/3.

Parallel Tangents

For any line that cuts a cardioid in 4 points, the sum of distances from the cusp to the intersections is equal to the diameter of the cardioid.

Inverse of Parabola

Cardioid is the inverse of parabola with respect to its focus.

Inversion of Parabola Inversion of Parabola Detailed Construction

Pedal, Radial, and Rose

The pedal of a cardioid with respect to its center is the a one-petalled rose r==Cos[1/3*θ]. The radial of a cardioid is the same rose. (The pedal and radial of epi/hypocycloids are roses. See each page for the general theorem.)

Cardioid (blue) and its pedal curve (red).

Modular Arithmetic

Let there be 36 points labeled 0 to 35 equally spaced on a circle. Connect nth point to Mod[2 n,36] th point. These lines are tangents to a cardioid. it seems that all epicycloids have similar connections to modular arithmetic. Need proof.

Cardioid Graphics Gallery

Limacon of Pascal Graphics Gallery

Related Web Sites

See: Websites on Plane Curves, Printed References On Plane Curves.

Robert Yates: Curves and Their Properties.

The MacTutor History of Mathematics archive↗.

Wikipedia: cardioid↗.

Algebraic Hearts, Science News, Feb. 9, 2002; Vol. 161, No. 6, Ivars Peterson http://www.sciencenews.org/20020209/mathtrek.asp.

「The reflection of light rays in a cup of coffee or the curves obtained with bˆn mod p」, 1974-1979, by Simon Plouffe↗. LightsRaysReflections.pdf. (mirrored with permission)

腎臟線

腎臟線亦是外擺線的一種，其 n 為 3。