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舒爾 Issai Schur (January 10, 1875 in Mogilyov – January 10, 1941 in Tel Aviv)

Issai Schur（1875-1941）是一位偉大的數學家，在表示理論領域上有著傑出的貢獻，至今該領域有許多重要的理論以Schur命名。

舒爾引理

在數學中，舒爾引理（Schur's lemma）是群與代數的表示論中一個初等但非常有用的命題。在群的情形是說，如果 M 與 N 是群 G 的兩個有限維不可約表示，φ 是從 M 到 N 的與群作用可交換的線性映射，那麼 φ 可逆或 φ = 0。一個重要的特例是 M = N 而 φ 是一個到自身的映射。這個引理以伊賽·舒爾（Issai Schur）命名，他使用這個引理證明了舒爾正交關係，奠定了有限群的表示論的基石。舒爾引理可以推廣到李群與李代數，其最通常的形式屬於雅克·迪斯米埃（Jacques Dixmier）。

用模的語言表述

如果 M 與 N 是環 R 上兩個單模，則任何 R-模同構 f: M → N 可逆或者為零。特別地，一個單環的自同態環是除環。

條件 f 是一個模的同構意味著：

f(rm) = rf(m) 對所有 m 屬於 M 與 r 屬於 R 成立。

舒爾引理之群的版本是模版本的特例，因為群 G 的任何表示可等價地視為 G 的群環上的一個模。

舒爾引理經常用於下面這個特例。假設 R 是複數域 C 上的代數以及 M = N 是 R 上有限維模。那麼舒爾引理說模 M 的任何自同態要麼是由一個非零數量相乘給出，要麼是零。這便是說模 M 的自同態環是 C，即「儘可能小」。更一般地，這個結論對任何代數封閉域上的代數以及至少是可數維單模也成立。如果域不是代數封閉的，自同態環儘可能小的情形是特別感興趣的：一個 k-代數上的單模稱為絕對單如果其自同態環同構於 k。這個條件一般強於是域 k 上的不可約模，意味著模甚至在 k 的代數閉包上也是不可約的。

矩陣形式

設 G 是一個復矩陣群，這意味著 G 是給定階數 n 的一個方塊矩陣集合，矩陣元素為複數，G 在矩陣乘法與取逆運算下封閉。另外，假設 G 是不可約的：沒有 V 非平凡的子空間（即不為 {0} 或整個空間）在 G 的作用下不變。換句話說，

如果對所有 g 屬於 G 有 ，則 V = {0} 或

在只有一個表示的特例時，舒爾引理斷言：如果 A 是與 G 中所有矩陣交換一個 n 階復矩陣，那麼 A 是一個數量矩陣。這個命題一個簡單的推論是阿貝爾群的任何不可約復表示都是一維的。

推廣到非單模

一個模版本的舒爾引理有所涉及模 M 不必單的推廣，他們描述了 M 的模理論性質與 M 的同態環之間的關係。

一個模稱為絕對不可分解如果其同態環是一個局部環。對最重要的一類有限長模，下列性質是等價的 (Lam 2001, §19)：

• 模 M 不可分解；
• M 強不可分解；
• M 的任何自同態要麼是冪零的要麼可逆。

一般來說，舒爾引理的逆命題不成立：存在非單模，它們的自同態代數是除環。這樣的模必然是不可分解的，從而不能在半單環（比如有限群的復群環）上存在。但是，即使在整數環上，有理數模的自同構模是一個除環，即有理數域。甚至對群環，存在例子使得域的特徵整除群的階數：五個點的交錯群在三個元素的域上的一維表示的射影覆蓋的雅克布森根的同態環是三個元素的域。

參考文獻

• David S. Dummit, Richard M. Foote. Abstract Algebra. 2nd ed., pg. 337.
• Lam, Tsit-Yuen（林節玄） (2001), A First Course in Noncommutative Rings, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95325-0