藍色情懷

今日數學家

康托 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (March 3 [O.S. February 19][1] – 1845January 6, 1918)

康托（Georg Cantor）

　　康托是數學史上最被誤解，而又最具革命性的思想家之一。

　　康托1862年就讀於蘇黎士，先後受教於 Weierstrass、 Kummer 及 Kronecker。1867年以一篇數論問題的論文，從柏林大學獲得博士學位。 他因為對一般數學的正確性產生質疑，因而受到數學界的排擠。 特別是有Kronecker 作敵人，所以只能到第二流的小學校當教授，直到退休。

由於受到 Weierstrass 在分析方面的影響，使得康托注意到實數線上點集的本質。 1874年他在《Crelle 雜誌》上發表了集合論的第一篇文章。 後來由於比較無窮集合的大小而產生了超限數的概念，使集合論變成數學的一支。 　　在他之前，所有的無窮都被視為一樣，但康托證明它們是不同的。1632年伽利略在他的對話錄中說：「數與平方數一樣多，因為每個數都有平方根。」 他問，自然數及平方數那一比較多。康托給了「一樣多」一個精確的意義，他說： 兩個集合為等價，如果它們的元素間存在一一對應。

誰也不能把我們從Cantor為我們創造的伊甸園中趕出去

康托爾（Georg Cantor公元1845年 - 1918年德國）

康托爾出生於俄國的聖彼得堡，為猶太人後裔。11歲時遷入德國，1867年獲柏林大學的博士學位，1872年升為教授。1874年開始引進他的無窮大概念，從而創立「超窮集合論」。 可惜的是，康托爾的觀點未能被當時的數學家所認同，尤其是數學家克羅內克（Leopold Kronecker，康托爾的老師），他更因而阻止柏林大學聘用康托爾。

由於康托爾受不起別人的抨擊，他終於在1884年患上精神崩潰。1918年1月6日，康托爾死於德國的一所精神病院之內。

踏入二十世紀，康托爾的理論終於為其他數學家所接受，從而成為現時抽象數學不可缺少的一環。

1845年3月3日，康托爾生於俄羅斯彼得堡。1856年移居德國，在蘇黎士和柏林大學求學，就讀柏林大學時，在Weierstrass的門下學習，徹底吸收了微積分的嚴格逼近方法，並於1867年獲得博士學位。

格奧爾格·費迪南德·路德維格·菲利普·康托爾（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor，1845年3月3日－1918年1月6日），出生於俄國的德國數學家。創立了現代集合論作為實數理論以至整個微積分理論體系的基礎。他還提出了集合的勢和序的概念。由於研究成果得不到認可，並受到以利奧波德·克羅內克為首的眾多數學家的長期攻擊，患抑鬱症，最後精神失常。1918年，在德國哈勒大學附屬精神病院去世。

當代數學家絕大多數接受康托爾的理論，並認為這是數學史上一次重要的變革。大衛·希爾伯特說：「沒有人能夠把我們從康托爾建立的樂園中趕出去。」

康托爾出生於俄國聖彼得堡，他的父親是丹麥商人，母親是俄國音樂家。1856年他們全家搬到德國，康托爾在德語學校繼續學業，1867年他於柏林大學獲得博士學位。

康托爾提出了通過一一對應的方法對無限集合的大小進行比較，並將能夠彼此建立一一對應的集合稱為等勢，即可以被認為是「一樣大」的。他引入了可數無窮的概念，用來指與自然數集合等勢的集合，並證明了有理數集合是可數無窮，而實數集合不是可數無窮，這表明無窮集合的確存在著不同的大小，他稱與實數等勢（從而不是可數無窮）的集合為不可數無窮。原始證明發表於1874年，這個證明使用了較為複雜的歸納反證法。1891年他用對角線法重新證明了這個定理。另外，他證明了代數數集合是可數集，以及n維空間與一維空間之間存在一一對應。在上述理論的基礎上，康托爾又系統地研究了序數理論，提出了良序原理，即可以給任何集合內的所有元素定義一個大小關係，使得任意兩個元素都可以比較大小，且該集合的任意子集都有最小元素。康托爾晚年致力於證明他自己提出的連續統假設，即任意實數的無窮集合或者是可數無窮或者是不可數無窮，二者必居其一，但沒有成功。

康托爾的後半生受到抑鬱症的困擾，這嚴重影響他的工作，他不得不經常入院治療。根據後來他發表的論文，他患的可能是一種兩極失常性的抑鬱症，例如他寫了一篇驗證1000以下的歌德巴赫猜想的論文，其實幾十年前已經有人驗證到了10000。他又發表了幾篇文學方面的論文，試圖證明弗蘭西斯·培根其實是莎士比亞作品的真正作者。以及神學方面的論文，企圖證明絕對無窮的概念即是上帝。第一次世界大戰期間，他陷於赤貧狀態，最後死於哈勒的精神病院。

理髮師的困境

在一個小鎮裡，只有一個理髮師阿怪，阿怪很有原則，他只幫那些不替自己刮髮子的人刮鬍子。

小鎮裡所有的男人都有刮鬍子。

問題來了，那誰幫理髮師阿怪刮鬍子呢？

如果阿怪不幫自己刮鬍子的話，根據原則阿怪就得幫自己刮鬍子，因為全村男人都有刮鬍子而且阿怪是唯一的理髮師。

如果阿怪要幫自己刮鬍子的話，根據原則，他就不符合「不替自己刮鬍子」的條件，他就不能幫自己刮鬍子。

這是要阿怪如何是好呢？

於是有一個聰明的數學家發現了，「理髮師的困境」會產生，是因為那條「不替自己刮鬍子」原則不合理。因為每個男人都要刮鬍子，但是如果要完全符合原則，必定要有另一個理髮師來幫阿怪才行，但是這小鎮沒有第二個理髮師。還是…………這小鎮其實有鬧鬼…

言歸正傳，不要小看這個不合理的原則喔，事實上，這可是一個很有名的數學證明方法*。

例如，要怎麼證明自然數(就是大於等於零的整數 N: 0, 1, 2, .... ) 的數目和實數(R: 0.1, 0.3334,0.263988323, ....) 的數目是不同的呢？我們可以用反證法來證明 (proof by contradiction)。

1.首先，假設自然數和實數的數目是一樣多的，我們可以找到一個 一對一函數 f 將每一個自然數對應到一個實數，f: N →R。所以我們可以做出一張表，這張表的每一列代表一個不同的自然數對應到一個實數，而所有的自然數都被列在第一欄裡。下表是一個例子，第一列的意思是說，自然數 1 對應到 0.3333....33... 這個實數。

2. 定義一個類似「刮鬍子困境」的原則，例如，在上表中的第 i 列取一個小數點以下第 i 位的數字，集合起來，變成這個數字: 0.3026....67...，如果我們這樣組成的數字在這個表中找不到，那就表示，這個數字得由不包含在第一欄的自然數產生，但是我們不能確定這個數字是不是包含在上表中，因為有可能在 "...." 的某一列有出現這個數字了，但是在做了以下的轉換以後

        如果 第 i 位數字等於 6, 我們把它改成 5; 如果第 i 位數字不等於 6，我們把它改成 6.

0.3026....67... 變成: 0.6665....56...(由無限的5和6組成)，這個新的實數就尷尬啦，因為它保證不等於上表裡第二欄的任何一個實數，因為它和任何一個數都至少有一個位數不一樣。這就表示0.6665....56... 這個數字得由不包含在第一欄的自然數來產生，但是第一欄裡已經包含所有的自然數了，所以這個實數沒人要～（唉，連當個數字也有被發好人卡的可能啊！）

3. 以上證明了我們在 1. 做的假設不成立，進而得到實數的數目比自然數要多的結論。

註：這個證明法英文叫作 Diagnolization，中文叫作「對角線論證法」。

自然數和有理數的驚人事實

這個世界上有理數是不是也和實數一樣，比自然數還要多？
如果你忘記什麼叫做有理數的話，有理數的定義是這樣的：可以代表兩個整數之間比例的數，例如 2/3 是個有理數，因為 2 和 3 都是整數。（叉題一下，有理數的英文是 rational number,其實應該要翻成「比例數」才對，因為 rational 除了有「理性的」意思以外，也有「符合比例 (ratio) 的」這個意思，但是第一個中文翻譯的人大概數學不太好，就…）

我們先來算一算吧，自然數有 0, 1, 2, 3, 4, .....  有理數有 0, ..., 1/4, 1/3, 1/2, ...., 1, ..., 5/4, 4/3, 3/2, ....,2, .... 所以，有理數比自然數多吧！但是，這文章的標題叫做「自然數和有理數的驚人事實」，難道是自然數比有理數多？

在這裡要先賣個關子，因為要瞭解數學家怎麼去思考這個問題，必需要先瞭解什麼叫做一對一對應性（One-to-one correspondence）。讓我用下面這個簡單的例子介紹這個概念：

小明和小華在下課時打彈珠，他們有天心血來潮，想知道現在誰的彈珠比較多。小明提議說：「那我們各自算自己的彈珠有多少，然後比大小。」小華說：「這樣太麻煩了，不如你出一顆我出一顆，看誰的彈珠先出完，就知道誰多誰少啦。」小華提議的這個方法，完全不需要知道他們兩個人各自有多少顆彈珠，也能得到誰彈珠多的正確答案，他用的就是一對一對應性的概念。這個概念在我們需要比較數量是無限多的集合上（像是自然數的數目）是非常重要的。

接下來是進階級一對一對應的例子囉：

1. 偶數的數目和奇數的數目是不是一樣多呢？是的，因為每一個偶數加一都可以對應到一個奇數，例如 4 可以對到 5。
2. 正整數和正偶數的數目是不是一樣多呢？是的，因為每個正整數乘以 2 都可以相對應到一個正偶數，像是 11 對應到 22。

看到第二個例子是不是有點困惑啊，正偶數的數目不是應該是正整數的一半嗎？當然，如果我們是算從 1 到 1000000000000000的話，偶數的數目的確是整數的一半，但是當要延伸到無限大的時候，無限的魔法就出現啦，因為無論是多麼大的正整數，我們都可以將它乘以 2得到它相對應的偶數。而根據一對一對應性，既然我們總是可以找到相對應的偶數（就像小明出一顆彈珠，小華也出一顆彈珠），就證明了正整數和正偶數的數目是一樣多的。

經過了進階級的考驗，超級賽亞人終於要變身啦！

一對一對應性的概念是由康特爾 (Georg Cantor) 這個數學家在西元1874年提出的，他在1878年的文章裡又證明了自然數( N )到二維自然數組 (N²)是一對一對應的。什麼是二維自然數組呢？就是二維座標上兩個自然數所標出的位置，如下圖的(1, 1) 、(2, 3) 這些點。，康特爾巧妙地安排了一個一對一對應方法，從0 開始，0 對應到二維的 (0,0)， 1 對應到 (1,0),  2 對應到(0,1), 3 ↔ (2,0), 4 ↔ (1,1), 5 ↔ (0,2), 6 ↔ (3,0),.....以此類推，將這些點依序連起來，會呈現45度斜角的鋸齒擴大，下圖是更清楚的圖示，可以看到 0 到 24的自然數怎麼被一對一的排列到二維的(X, Y) 值上，例如 24 對應到(3,3)。這樣，每一個自然數就有一個相對應的二維自然數組，因此，（一維的）自然數和二維的自然數組的數目是一樣多的。

既然自然數和二維的自然數組的數目是一樣多的，接下來就容易了，只要把二維數組裡的第一個數當成分子，第二個數當成分母，很容易就達成了 (X, Y) 到有理數 X/Y 的一對一對應，因此，「有理數是不是比自然數還要多？」答案就是：有理數的數目和自然數的數目是一樣多的！


picture from：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6f/Pairing_natural.svg

這個答案是不是和你一開始想的完全不一樣呢？事實上，證明了這個答案的數學家康特爾也對自己的這項發現感到十分驚訝，他在給好友Dedekind的信上這樣寫著：「我看見了，但是我不相信！」(I see it, but I don'tbelieve it!)當先知者果然並不容易啊。康特爾發表這些文章的時候，同時期的數學家對他的研究成果一直心存抗拒，那時柏林大學數學系系主任也曾是康特爾的老師的Kronecker甚至公開地指責康特爾的想法會「污染了年輕的一代」，康對此事一直梗梗於懷。在1885年，當時康特爾友好的一個數學期刊總編建議他不要發表一篇論文，因為他認為康特爾的文章「超前了時代100年」"… about one hundred years too soon." 但是康特爾暴怒地將這視為故意的侮辱，這時候他的精神狀態有異已現端倪，並且終於其一生，都受到躁鬰症（bipolardisorder）的糾纏。所幸，他的研究成果在十多年後開始漸漸受到全世界的重視，1911年還受邀為蘇格蘭的聖安卓大學 500 年校慶的傑出外國學者。（註：聖安卓大學是英語系世界裡第三老的大學）

康特爾的數學裡最讓我著迷的，是他對於「無限」這個概念的想像和研究。以前我只知道 ∞ 是無限大，從來不知道無限大也是有等級之分的，例如原來「實數數目的無限大比自然數數目的無限大更大」。康特爾的研究讓「無限」從哲學的領域進入數學的領域，從形而上的談論變成可以用數學式來描述的理論，為後代的人開創了在無限大的範疇裡思考的邏輯與方法。

用C語言證明Georg Cantor

現代數學的著名證明之一是Georg   Cantor證明了有理數是可枚舉的。他是用下面一張表來證明這一名題的：

1/1→1/2     1/3→1/4     1/5   ……
      ↙       ↗         ↙       ↗
2/1     2/2     2/3     2/4……
↓   ↗       ↙       ↗
3/1     3/2     3/3……
        ↙     ↗
4/1     4/2……
↓   ↗
5/1……
……

我們以Z字形方法給上表的每項編號。第一項是1/1，然後是1/2、2/1、3/1、2/2、1/3、1/4、2/3……。編程輸入項號N（1 <=N <=1000000），輸出表中第N項。
例：輸入：N=7
輸出：1/4  

#include  <stdio.h>
#include  <math.h>

typedef   unsigned   long   ul;
void slove(ul N)
{
        ul   a   =   (ul)(sqrt(8*N+1)-1)/2   ,
        b   =   N   -   a   *   (a+1)   /   2;
        printf("%lu : %lu/%lun ", N,
                !b?(a&1?1:a):(a&1?b:a+2-b),
                !b?(a&1?a:1):(a&1?a+2-b:b));
}
int main()
{
        ul N   ;
        while(1 == (scanf("%lu", &N)) && N >= 1)
                slove(N);
        return 0;

}

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