藍色情懷

今日數學家

托姆 René Thom(September 2, 1923 – October 25, 2002)

泛函突變理論研究

都興富

(四川社會科學院，經濟研究所，成都 610072)

Study on Catastrophe Theory of Functional

Du Xingfu
(Economic Institute of Chinese Sichuan Academy of Social Sciences, Chengdu 610072)

關鍵詞 托姆分裂引理 泛函突變引理 突變歐拉方程

Abstract It extend Rene Thom's elementary catastrophe theory into functional analysis and variational calculus, established cactastrophe theory of functional. The system of equations of catastrophe of functional was developed. They lay mathematical foundation of constructing catastrophe equations of physical and economic analytical dynamics, researching into catastrophe and structural stability of this fields.
Key words Thom's splitting lemma for families lemma of catastrophe of functional catastrophe Eule's equations

0 引言

法國數學家雷內^.托姆(Rene Thom)於1972年創立了研究初等函數突變現像的初等突變論^[1]。 二十多年來它在自然科學和社會科學某些方面有不少應用，但進一步向更廣闊領域應用卻很困難。因為這裡使用的是大量的微積分方程等高等函數，而不是初等函 數。本文將托姆初等突變論拓廣引入泛函變分領域，導出了一繫列泛函突變方程，初步建立了泛函突變理論(一種高等突變論)。這就為本項研究建立物理分析力學 和經濟分析力學中的突變微分動力方程，從而為研究這些領域的突變現像和結構穩定性奠定了數學基礎。

1 托姆分裂引理^[2]

設：Rⁿ→R是一光滑函數，它在0有一退化臨界點(即Df∣₀=0，且det(Hf∣₀)=0)，其Hesse矩陣的秩為r(餘秩為n-r,n為變量個數)，則在0附近，f等價於以下形式的函數

±x²₁±x²₂± ±x²_r±(x_r+1, ,x_n)

其中：：R^n-r→R是光滑的。
當f(0)=Df∣₀= =D^k-1f∣₀=0，且
det(Hf∣₀)=0,D^kf∣₀≠0,(k≧3)
則函數f有極值且結構發生突變。(f為函數，D為求導符號，H為Hesse矩陣。)

2 泛函突變引理^[3]

設函數y(x)= C³[x₀,x₁]給出最簡泛函

J[y]=(2)

在邊界條件y(x₀)=y₀,y(x₁)=y₁下，並且必須對任意函數δy(x) C³[x₀,x₁],δy(x₀)=δy(x₁)=0，求J(y)的極值或J(y)發生k-1階變分突變，其必要條件為

δJ∣₀=δ²J∣₀= =δ^k-1J∣₀=0，
且det(HF∣₀)=0，但δ^kJ∣₀≠0(3)

簡證：利用傳統的變分基本引理與邊界條件得到

DF∣₀=D²F∣₀= =D^k-1F∣₀=0，
且det(HF∣₀)=0，但D^kF∣₀(k≧3)(4)

(4)式正符合托姆分裂引理所要求的突變條件，則泛函J[y]有極值且突變。泛函突變引理是托姆分裂引理在泛函變分中的推廣。

3 二階變分的突變歐拉方程

仍設(2)式最簡泛函，它的傳統一階變分歐拉方程是

(5)

這是一駐值方程，它不滿足J[y]極值突變條件，J[y]不發生突變，(5)式一般不能研究突變現像。
根據泛函突變引理和使用連續分步積分，可求出最簡的二階變分突變歐拉方程

(6)

J[y]的二階變分突變條件是(5)式與(6)式的聯立。
類似地求出三階、四階變分突變方程

(這裡用簡記號：F_y=，F_y =等等)直至求出n階變分突變方程。

4 小結

 本 研究項目還導出了含高階導數的泛函突變方程，以及變動邊界、固定邊界的重積分、泛函條件極值等的泛函突變方程。這就初步建立了泛函突變理論。它為本項研究 建立物理分析力學與經濟分析力學的突變微分動力方程，為研究物理和社會經濟繫統運行穩定、突變和混沌提供了重要的數學工具和理論根據。它的應用將在後續的 研究報告中陸續說明。

混沌理論與蝴蝶效應(Butterfly Effect)

混沌是指動態系統之一種行為，該系具有1、巨額的(可能是無限)吸子(Attractors，類似交通號誌中的遵循方向)2、對初始狀態的敏感性；當然混沌是描述由規則掌握的不可測行為。混沌學家研究複雜動態系統之行為模式；複雜是指該系統常包含多重相互影響之因子；動態則是正常流動量一直改變中；混沌是稱為非線性動態現象中之次集合、混沌是複雜系的次集合，混沌現象似乎俯拾皆是：裊繞上昇的香菸煙束爆裂成狂亂的煙窩、風中來回擺動的旗幟、水龍頭由穩定的滴漏變成零亂、上下波動不斷之股價走勢；綜合而言，混沌理論中心概念雖然是我們不能準確預測系統之現有狀態(State of System)，但應能架構出系統的行為模式，因此混沌理論不是強調系統的不規律性或無秩序，反而是重視系統中的秩序性，特別是類似系統的普遍行為 (Universal Behavior)，這可由其中的各式吸子或碎形(Fractal)表達，為我們處理更符合自然界現象的非線性動態系統(Nonlinear Dynamic System)，此時已跨出一大步，同時混沌理論對大多數不穩定性系統有強大預測能力。

1961年氣象學家勞倫斯(Edward Lorenz)正研究天氣預測問題，主要運用包含12個程式的計算模型，某天他欲重新檢查一個序列，為節省時間，他由序列的中間開始運算，然而卻出現與原始型態大不相同的結果，最後發現原因出在小數點上，原先電腦記憶初始值為0.506127，但勞倫斯為節省紙張，在報表紙上僅印出小數點下三位數，即 0.506，他後來輸入的數值較初始值少0.000127，結果卻大異其趣，直是所謂『失之毫釐，差之千里』，而整體系統對初始值敏感的現象就是有名的《蝴蝶效應》：「秘魯一隻蝴蝶鼓翼可能經過一連串複雜不可測事件連接，加劇空氣騷動，最後引發侵襲德州的颶風」。
 

混沌現象(Chaos)

混沌為一種看似隨機的非線性確定過程。其為非線性，因為混沌乃非線性動力系統的一種；其為確定，因為我們可以寫出混沌軌跡的支配方程式。

雖然混沌系統可以寫出支配方程式，但系統在長期上仍不可預測，其原因可歸為兩點：

１、此動態系統是一個反饋(feedback)的系統

　　若起始值產生微小的誤差，經由非線性函數的疊代作用(iteration)而迅速放　　大，使預期陷於混亂狀態，因此在混沌系統在短期預測上是可以的，但長期預測則不可能。

２、臨界點的概念

　　關於此點，可用一個古老的寓言來說明：『稻草弄斷了駱駝的背』(a straw broke the camel's back)，駱駝突然的倒地是一個非線性的反應。因為它的倒地是與某根特殊的稻草並無任何直接的關係。這種觀念就是法國數學家德姆(Rene Thom)所謂的摺皺(fold)用來描述系統從一個狀態到另一個狀態，經歷突兀、不連續變易的非線性變化。

混沌現象的性質可歸納為以下四點：

混沌創造了使用電腦與處理特殊圖形、在複雜表相下捕捉奇幻與細膩結構圖案的特殊技巧。這支新的科學衍生出它自己的語言，獨具風格的專業用－碎形、分歧、間歇、週期、摺巾(folded-towel)、微分同相(diffiomorphisms)和平滑面映像(smooth noodle maps)。這些運動的新元素，就像傳統物理學中的夸克、gluons是物質的新元素一般，對有些物理學家而言，混沌是一門進展中的科學而不是成品，是形成而非存在。

參考文獻

1 Thom R. Stabilite' Stucturelle et Morphogénèse. New York； Benjamin,1972
2 Poston T, Stewart I. Catastrophe theory and its applications pitman. London, San Francisco， Melbourne, 1978
3 都興富﹒突變理論在經濟領域的應用(上、下冊).成都，電子科技大學出版社， 1994

4. 劇變模型理論與應用

5. 渾沌理論在社會科學上的應用

6. 複雜性科學典範下的創業研究