藍色情懷

　　為了慶祝千禧年來臨，美國麻州的克萊數學研究所（CMI）於2000年5月24日，在巴黎公佈了 七個百萬美元大獎的數學問題。如果有人能對其中一個問題提供完整的解答，將它發表在國際知名的數學期刊，而且經過兩年國際數學界的認可與考驗，CMI將頒 發100萬美元的獎金。CMI科學顧問委員會之所以會挑選上這七個問題，主要是因為它們是重要的古典數學問題，且經過很長的時間，甚至一個世紀以來都還未 獲得解決。回顧1900年8月德國大數學家希爾伯特（David Hilbert）在第二屆國際數學大會發表的演說，為未來百年數學研究方向提出了23個待解決的問題。這23個問題有許多已得到解決，但還有兩、三個仍為 懸案。由於100多年來，數學的發展變得廣泛、深入而且分工細膩，在2000年，國際數學界似乎找不出一位像希爾伯特這樣全方位的數學家，能夠在國際數學 大會為數學界全面地提出重要、待解決的數學問題。知名數學家史梅爾（Steve Smale）於1997年6月，在加拿大費爾茲研究院發表的演講「下個世紀的數學問題」（見Mathematical Intelligencer（1998），Vol. 20，No. 2，P. 7~15）中，也提出了18個他認為下一個世紀待解決的重要數學問題，其中有四個問題，與七個百萬元大獎的數學問題重疊。

CMI的七大問題

　　針對這些問題，CMI都有邀請知名的數學家做十分專業的介紹與詳細的描述（可參見www.claymath.org/millennium）。值得一提的是，其中史梅爾認為「黎曼假說」、「龐卡赫猜想」以及「P＝NP嗎？」是21世紀的三大數學問題。

　　(1)黎曼假說（Riemann Hypothesis）
　 　黎曼（Bernhard Riemann, 1826~66）是位英年早逝的數學天才，他一生發表的論文少得驚人，但篇篇驚天動地。黎曼是科學史中一位樞紐人物，他的洞見與發明不但改變了數學的軌 跡，甚至於改變了我們整個宇宙觀（見《宇宙的詩篇》，天下文化）。黎曼假說是黎曼研究數論所遺留下來的問題，它也是希爾伯特第八個問題。在19世紀，偉大 的數學家高斯就對質數（2, 3, 5, 7, 11, 13等）的分佈有深入的探討。黎曼在1859年證明了質數出現的頻率可以完全由函數在 複數平面的零根決定。黎曼假設主張，ζ（s）＝0的所有複數根皆落在直線Re（s）＝1/2上。根據最新電腦模擬驗證了前100億個根，確實都落在Re （s）＝1/2。黎曼猜想之所以是數學領域的核心問題，不只是因為它解決了質數分佈的問題，更重要的是在近代數學有許多重要的函數（例如Ｌ–函數）其性質 與ζ（s）類似，若能證明黎曼假設成立或不成立，不僅可以揭開質數分佈的神秘面紗，亦可以在許多重要的數學領域有所突破。

　　(2)龐卡赫猜想（Poincaré Conjecture）
　 　龐卡赫（Henri Poincaré, 1854~1912）是19世紀偉大的法國數學家。他在拓撲學、非線性分析、幾何學、天體力學、動態系統都有很重要的貢獻。他於1904年提出下列猜想： 任何三維的有界、單連通、封閉曲面，其拓撲結構與三維球面相同。1900年，龐卡赫提出n維龐卡赫猜想的證明，但在1904年他發現有誤，舉出一個反例並 提出上述n＝3的猜想。經過50~60年的時光，大家才了解到這個問題是如此的困難。1960年，史梅爾證明了n > 4時，n維的龐卡赫猜想是對的。1983年，傅利曼（Michael Freedman）亦證明n＝4時成立。史梅爾及傅利曼因而獲得數學界的諾貝爾獎──費爾茲獎。

1982年，美國哥倫比亞大學數學教授漢密爾頓 （Richard S. Hamilton）利用瑞奇流的方法，以及我國中研院院士丘成桐所發展出的幾何分析方法，證明了在某些特殊狀況下龐卡赫猜想是對的。漢密爾頓在1997年 利用「幾何學手術」，將龐卡赫猜想做進一步的簡化。最近俄羅斯數學家帕瑞爾曼宣佈解決了龐卡赫猜想，他分別在2002年11月及2003年3月，於數學家 與物理學發表最新研究成果的網站www.arxiv.org，公佈第一及第二篇文章，接受大家的檢驗。據說，這兩篇文章引入新的方法及概念，許多人傾向於相信他的證明是對的。

　　(3)P＝NP嗎？
　 　這個難題是資訊科學送給數學家一項大禮物。對一個問題我們希望找到一個有效率的演算法來求其解，通常我們要求執行這個演算法所需的運算數目P（n）是輸 入資料n的多項式函數，這種好的演算法我們稱之為「多項式時間演算法」（polynomial time algorithm）。P代表由下列問題所構成之集合。對這些問題我們可以找到一個多項式時間演算法，在目前傳統電腦（deterministic machine）上執行運算。而NP亦為一集合，意思是可以找到一個多項式時間演算法，在智慧型電腦（nondeterministic machine）上執行運算。（所謂智慧型電腦，即如平行電腦具猜對答案之功能。）因此P為NP之部份集合。在資訊科學裡有許多問題如「推銷員旅行」、 「背包」、「整數規劃」等，在傳統電腦上現存的演算法均為耗時的指數時間演算法（exponential time algorithm），這類問題不僅是NP問題，亦是NP-complete問題。理論上任何NP問題在傳統電腦上與NP-complete問題等價。科 學家猜想P≠NP，亦即我們只需對任一個NP-complete問題，證明我們在傳統電腦上找不到一個多項式時間演算法。

　　(4)納維–斯托克斯方程式（Navier-Stokes Equation）
　 　納維–斯托克斯方程式是一組描述不可壓縮流體受到外力的偏微分方程式，它早在19世紀就被推導出來。經過200年的考驗，數學家及物理學家就如同宗教信 仰般地崇拜這個偏微分方程組，並相信它可以預測小至微風、大至亂流的產生。雖然在工程上它已被廣泛應用到飛機、太空船的設計與製造，但這組偏微分方程的數 學基本性質，人類對它的了解仍舊非常有限。1934年，法國數學家勒瑞（Jean Leray）首先為它提出了弱解（weak solution）的概念。而後數學家一直努力不懈地證明在何種外力下，其解會存在或不存在，甚至解的唯一性。流體是重要且不易了解的，直到目前為止，人 類對納維–斯托克斯方程式的了解還是很初步。因此CMI將它列為百萬元大獎的數學問題。

　　(5)柏奇和戴爾猜想 （Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture）
　　自古以來，數學家就對某些方程式深感興趣，例如描述x²+y²=z²所 有的整數解等問題。歐幾里得曾經給上述方程式一個完整解答。如果我們將問題推廣至有理係數的三次多項式f（x,y），那麼，方程式f（x,y）=0有多少 有理數解？何時其個數為有限或無限個？1960年代柏奇與戴爾認為，上述問題與某個L–函數ζ（s）函數在s=1的值有關。亦即f（x,y）=0之有理解 個數為無限之充份與必要條件為ζ（1）=0。

　　(6)霍奇猜想（Hodge Conjecture）
　　在20世紀，數學家發現如何有 效研究各式各樣複雜形狀的幾何物件。觀念很簡單：用簡單具幾何意義的物件做為基本積木，將其拼在一起去逼近原來要研究的複雜幾何物件。在代數幾何學裡，這 個方法雖然非常有效，但總會產生一些不具幾何意義的積木。霍奇在1950年給了下列猜想：這些不具幾何意義的物件其實是可由某些具幾何意義的物件產生。

　　(7)楊密理論和質量間隙
　 　量子物理定律對於微觀基本粒子世界的重要性，就如同古典牛頓定律之於巨觀的世界。楊振寧與密爾斯（Robert L. Mills）利用微分幾何為工具，為基本粒子場引進了新的架構。雖然楊密理論（Yang-Mills theory）已被公認為基本粒子場論的基礎，且其理論已成功地預測出許多實驗結果，但其數學基礎理論還不是很堅固。其中楊密理論在描述基本粒子強作用 時，需要一些質量間隙（mass gap）的量子性質，亦即量子粒子具正質量。這個性質已經由物理實驗及電腦模擬得到驗證，可是對應的數學理論直至目前為止仍無法證明質量間隙的性質。因此 我們需要新的數學與物理概念才有辦法突破。

偉大的工作得默默進行

　　除非你是超人或絕世天才，否則如果你下定決心要征服這七大數學問題，首先必須了解的是，該問題目 前發展到什麼地步？為什麼前人無法克服？這第一步已經相當困難。接著下來就要默默工作，千萬不能讓人家知道你在做這類大問題。如果你尚未成名，就號稱在做 大獎問題，必然引來一陣訕笑。如果你是位成名的數學家就更應小心翼翼。美國普林斯頓大學數學教授威爾斯（Andrew Wiles）在1990年代解決費馬最後定理，其中六、七年都是秘密進行，直到最後一刻（1993年6月）才在國際會議專題演講上，讓別人知道他已完成了 這項偉大的工作。即便如此，威爾斯也差點翻盤，所幸他花了一年多的時間完成了最後的修正。很少有人能像帕瑞爾曼經過五、六年的長考，還自信滿滿地擺設擂台 挑戰群雄，將龐卡赫猜想的證明公佈在網站上。不管如何，希望我們的年輕數學家也能夠有勇氣挑戰這七個百萬元大獎的數學問題！