藍色情懷

今日數學家

費馬 Pierre Fermat (August 17, 1601 – January 12, 1665)

1601年8月17日在法國南部圖盧茲附近波蒙──德洛馬涅出生。早年於家鄉受教育，後入圖盧茲大學供讀法律，畢業後任職律師。自1631年起任圖盧茲議會議員。任職期間，他利用工餘時間鑽研數學，並經常以書信與笛卡兒、梅森、惠更斯等著名學者交往，討論數學問題。他飽覽群書，精通數國文字，掌握多門自然科學的知識。雖年近三十才認真注意數學，但成就累累。最後於1665年1月12日在卡特爾逝世。

他生前由於性情淡泊，為人謙遜，因此較少發表論著，大多成果只留在手稿、通信或書頁之空白處。他的兒子於1679年把這些遺作整理匯集成書﹝共兩卷﹞，在圖盧茲出版。

費馬對數論尤其鍾愛，他証明或提出眾多命題，如形如4n + 1之素數均可唯一地表示兩個平方數之和；費馬小定理，即如p是素數，a是正整數，則p|(a^p-a)等，其中以「費馬大定理」最為著名，即不可能有滿足x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ，﹝n > 2﹞之正整數解。這命題載於丟番圖《算術》1621年拉丁文譯本第二卷之空白處：「……一個高於二次的冪是不可能分成兩個同次的冪。為此，我確信已發現一美妙的証法，可惜這裏太少空白地方，寫不下。」後來因找不到費馬的証明，這激發起歷代數學家之研究，直至1995年才由英國數學家懷爾斯﹝Andrew Wiles﹞徹底證明費馬大定理，歷時超過300多年。有興趣的讀者可參考本網頁資源中心(講義)一欄內「費馬最後定理」之資料。

費馬於較早或與笛卡兒同時已得解析幾何的要旨。他於《平面與立體軌跡引論》﹝1629-1636：「立體軌跡」指不可用尺規作出的曲線，有別於現在之含義﹞一文中明確地指出曲線可以方程描述，且曲線性質可由方程的研究推斷出。因此，他與笛卡兒分享創立解析幾何之榮譽。

另外，他也是早期微積分學的先驅。他於1636年給羅貝瓦爾及1638年給笛卡兒的信中提出求極大、極小與拐點的步驟，實際已相當於使導數成零而求極點之方法。這成為現代微積分中函數取極值之必要條件。而且，他曾討論曲線x ^m y ⁿ = k﹝m，n是正整數﹞下的面積，並通過求和過程得到求曲線所圍面積之公式。

此外，他透過與帕斯卡之通信討論賭金分配問題，得出正確解答，因而成為17世紀興起的概率論的共同創立者之一。他還於光學研究中提出「費馬原理」，給後世變分法之研究極大的啟示。

由於他在數論、解析幾何、概率論等方面貢獻良多，被後世譽為「業餘數學家之王」。

皮耶．德．費瑪〈Fermat，1601-1665〉

費瑪（Pierre de Fermat）是一個17世紀的法國律師，也是一位業餘數學家。之所以稱費瑪「業餘」，是由於他具有律師的全職工作。著名的數學史學家貝爾（E. T. Bell）在20世紀初所撰寫的著作中，稱費瑪為「業餘數學家之王」。貝爾深信，費瑪比他同時代的大多數專業數學家更有成就。17世紀是傑出數學家活躍的世紀，而貝爾認為費瑪是17世紀數學家中最多產的明星。

費瑪的父親多米尼克．費瑪（Dominique Fermat）是一位皮貨商，同時也是波蒙特－洛門地區的第二執政官。他的母親克萊兒．德．隆格（Claire de Long）則出身於國會法官世家。費瑪於1601年8月出生（於8月20日在波蒙特－洛門受洗），而父母一心要栽培他成為地方首長。他幼年在杜魯斯求學，30歲時就任同一地的請願委員，同年與露薏絲．隆格（Louise Long）結婚，育有三子二女，其中一個兒子克雷門．山繆．費瑪（Clement Samuel Fermat）成了他科研上的主要助手，並在費瑪逝世後，整理出版了他的工作成果。事實上，這份出版品也就是今日聞名已久的費瑪最後定理之出處。
由於家境富裕，父親特意給他請了兩個家庭教師，不入學校而在家裡接受系統教育。小時後的費瑪雖稱不上是神童，卻也相當聰明。費瑪父親比較開通，並不寵愛孩子，因此費瑪學習十分努力，文科、理科都學得不差，不過，他最喜歡的功課，還是數學。1617年，費瑪準備考大學，父親希望他讀法律，費瑪也喜歡這門學科，所以沒有多大的爭議，就接受了父親的安排。畢業後，費瑪接受一個事務所的聘請，成了一名律師。由於工作認真，並熱心於社會福利事業，30歲那年，他被選為家鄉-圖盧茲的地方議會議員。 費瑪潔身自好，並不汲汲於名利，因此，平時比較空閒。閒餘時間，他常看些古書，尤其愛讀古希臘的數學名著。他不時作些題目，並進行數學研究，與當時的數學名家，如巴斯卡、笛卡兒、渥里斯等人通信，交流心得體會。

費瑪雖說是一位業餘的數學愛好者，但由於他刻苦鑽研，又敢於進行創造性的思考，所以取得的成果豐碩。他在解析幾何、數論、無窮小分析〈微積分之前身〉和概率論方面，都有重要之貢獻。費瑪私淑戴奧弗多斯，來研究數論，師從希臘幾何學家，特別是阿波羅尼，來研究曲線，他曾和其他的人重建阿波羅尼失傳的著作"On Plane Loci"。在代數上已有所得後，他獻身於曲線的學習，而寫成《Ad Locos Planos et SolidosIsagoge》(平面和立體軌跡入門)一書。費瑪對於軌跡的研究有一般性的方法，這是古希臘所未能辦到的。我們不知他的坐標幾何是如何孕育出來的，他對韋達利用代數解幾何問題應是相當熟悉，但更可能的是他將阿波羅尼的結論直接轉換成代數式。在1638年笛卡兒發表其《La Ge`ome`trie》大作後的第二年，費瑪寄給他一份如何找切線的論文。他與笛卡兒並列為解析幾何的發明者。
檢查極大和極小問題時，他先使一代數方程的變數作微小的變動，然後使這變動消失。他還運用無窮小的思想到求積問題上，已具今日微積分的雛形。這也是費瑪的卓越成就之一，他在牛頓出生前的13年，提出了有關微積分的主體概念。牛頓以及同時代的萊布尼茲共同探討運動、加速、力、軌道以及應用數學上連續變化的理論，而這也是後世所稱的微積分。

在數論方面，一直到高斯提出他的貢獻之前，費瑪的研究始終左右著數論的研究方向。他寫過許多關於數論的定理，但頂多只給予簡略的證明，數論上有許多重要事項與費瑪的名字相連，他可說是近代數論的開創者。。他的費瑪大定理："xⁿ₊ yⁿ=zⁿ，n≧3時，沒有正整數解"，成為古今數學一大謎，多少的數學家投入這個問題，經過300多年的努力仍無成果，直到1993年才由懷爾斯解決。德國數學家P.Wolfshehl在1908年過世時遺贈十萬瑪克給Gottingen大學裡的德國科學學術院，懸賞能夠解決費瑪大定理的人。這獎金已吸引了數千人，然而沒有一個人提出正確的證法。此問題誤證之多，數學史上無出其右。
費瑪和帕斯卡是概率論早期的創立者，本來概率論是因應保險事業的發展而產生，但刺激數學家思考概率論的一些特殊問題，往往來自賭博者的請求。他與巴斯卡分享開創概率論的榮譽。