藍色情懷

今日數學家

Albrecht Dürer(pronounced /'al.brɛçt 'dy.ʀɐ/) (May 21, 1471 – April 6, 1528)

 

Albrecht Dürer

版畫《憂鬱》中的四階魔方陣

 

        下圖左是藝術家杜勒（Albrecht Dürer）的版畫《憂鬱》。

 

    

 

注意到了嗎？在圖的右上角有一個四階魔方陣，見上圖右，這個魔方陣是由杜勒自己發現的。他創作這幅版畫的時候正值文藝復興時期，當時的占星家認為四階魔方陣可以驅除憂鬱，所以他就將這個魔方陣放入作品之中。而且，這個魔方陣還有一個很妙的地方，它的底邊15, 14正是這幅作品完成的年代1514年。

 

 

        注意到上面的4階魔方陣和之前的3階魔方陣擁有的另一個共同性質：任兩個對稱於中心點的位置上的數字其和都是n² + 1 ――這樣的魔方陣我們稱之為對稱魔方陣。

 

如下圖，上面的4階魔方陣對稱於中心點的位置上的數字其和都是4² + 1 = 17。

 

 

        現在我們已經很了解3階的魔方陣是怎麼一回事了，而且也看過一個四階魔方陣的例子，於是我們很自然會想知道：是否對於任意正整數n都存在一個n階的魔方陣？

 

        如果n > 3呢？對於這個問題，大約30年前德國數學家L. Bieberbach證明了：

 

「對於任意大於等於3的數n，都存在一個n階的魔方陣。」

 

是不是數字愈多就可以組合出愈多種的魔方陣（同構的魔方陣視同一種）？

 

n = 3

 

 

有唯一一個魔方陣。

 

 

n = 4

 

 

下面是兩個不同構的4階魔方陣

 

 

 

似乎n愈大，不同構的n階魔方陣就愈多。到底n階的魔方陣有幾個？

 

 

n = 3：1個
n = 4：880個
n = 5：275305224個（靠計算機的幫忙）

 

 

 

 

        你有沒有什麼好的方法可以計算魔方陣的個數呢？