克萊因瓶－藍色情懷

克萊因瓶


 異調

　　在1882年，著名數學家菲立克斯·克
萊因(Felix Klein)發現了後來以他的名字命
名的著名「瓶子」。這是一個象球面那樣
封閉的（也就是說沒有邊）曲面，但是它
卻只有一個面。在圖片上我們看到，克萊
因瓶的確就像是一個瓶子。但是它沒有瓶
底，它的瓶頸被拉長，然後似乎是穿過了
瓶壁，最後瓶頸和瓶底圈連在了一起。如
果瓶頸不穿過瓶壁而從另一邊和瓶底圈相
連的話，我們就會得到一個輪胎面。

　　克萊因瓶：是指一種無定向性的平面，
比如2維平面，就沒有＂內部＂和　＂外部＂
之分。克萊因瓶和莫比烏斯帶非常相像，它
的結構非常簡單，一個瓶子底部有一個洞，
現在延長瓶子的頸部，並且扭曲地進入瓶子
內部（真正的克萊因瓶是四維結構，無須這
一步），然後和底部的洞相連接。

從拓撲學角度上看，克萊因瓶可以定義為
矩陣[0,1] × [0,1]，邊定義為(0,y)~(1,y)
條件 0 ≤ y ≤ 1 和 (x,0) ~ (1-x,1) 條件
0 ≤ x ≤ 1。

就像莫比烏斯帶一樣，克萊因瓶沒有定向性。但是與之不同的是，克萊因瓶是一個閉合的曲面，也就是說它沒有邊界。莫比烏斯帶可以在3維的歐幾里德空間中嵌入，克萊因瓶只能適用於四維空間。

　　我們可以說一個球有兩個面——外面和內面，如果一隻螞蟻在一
個球的外表面上爬行，那麼如果它不在球面上咬一個洞，就無法爬到
內表面上去。輪胎面也是一樣，有內外表面之分。但是克萊因瓶卻不
同，我們很容易想像，一隻爬在「瓶外」的螞蟻，可以輕鬆地通過瓶
頸而爬到「瓶內」去——事實上克萊因瓶並無內外之分！在數學上，
我們稱克萊因瓶是一個不可定向的二維緊致流型，而球面或輪胎面是
可定向的二維緊致流型。

菲立克斯·克萊因

　　克萊因是一個非常有見識的數學教育家，十分重視數學教育和研究，早年他的學生 Hurwitz、Bianchi、Ricci 都是獨當一面的數學家。更運用他過人的遠見與行政長才與Hilberte為整個廿世紀的數學環境與體制打下一些重要的基礎。克萊因在數學上的貢獻是多方面的，在幾何學方面，他發表的＂關於非歐幾何的統一研究＂把凱萊關於以一般射影關係來決定度量的思想和空間概念拓展為一般化，把歐氏、費氏、黎氏幾何在橢圓、雙曲和拋物線的幾何學的名目下統一下來。

　　克萊因對函數論、橢圓模函數理論有很深入的研究，並研究了代數曲線奇點間的關係；經由討論正20面體建立起一般5次代數方程的完整理論。勒詹德在數論和橢圓積分方面，提出了對質數定理和二次互反律，數論上，他證明了那個未解決的費馬最後定理。

　　克萊因在群論、幾何、微分方程與函數論交匯的數學領域上有重大貢獻，尤以幾何的＂埃朗根綱領＂著稱於世，此發表亦使群論在數學中的地位大為提高。他與挪威數學家Lie聯合開展了連續變換群的知識，克萊因並巧妙地將它運用到幾何與微分方程上。其所發表的＂埃朗根綱領＂將所謂幾何性質定義成對應於某變換群不變之空間性質，藉由這個綱領，幾何脫離了上千年的歐基里得觀點，並且清楚地涵蓋並刻劃當時幾何的紛爭焦點：歐氏幾何與非歐幾何。他從變換群的觀點出發，對各種幾何學進行綜合研究，而藉助於群論視角，更深入研究的是繼承並發展黎曼的函數論，深入探討微分方程、群論、不變量理論與黎曼面的關係。他發展曲面的賦向觀念，證明有向曲面的分類對應於虧格，並且深入討論不可賦向的射影面與 Klein 瓶。另外，他在橢圓模函數與自守函數的工作，是 Klein 自認為他一生研究的顛峰。另外值得一提的是，他提出非歐幾何的克萊因模型，一舉將非歐幾何的一致性問題劃歸到歐氏幾何的一致性問題。此外，他還對函數論、橢圓模函數理論有很深刻的研究。在數學的其它領域，克萊因也有許多建樹，例如，代數曲線奇點間的關係，通過討論正20面體建立起一般5次代數方程的完整理論.........等。他亦對數學史有特別的研究，再第一次大戰期間寫了一本＂19世紀數學史講義＂,說明了數學發展的歷史意義,著重對數學做了對歷史的考察,把數學放在整個文化中研究。

　　　　　　　　　　　　　　

　　如果我們觀察克萊因瓶的圖片，有一點似乎令人困惑——克萊因
瓶的瓶頸和瓶身是相交的，換句話說，瓶頸上的某些點和瓶壁上的某
些點佔據了三維空間中的同一個位置。但是事實卻非如此。事實是：
克萊因瓶是一個在四維空間中才可能真正表現出來的曲面，如果我們
一定要把它表現在我們生活的三維空間中，我們只好將就點，只好把
它表現得似乎是自己和自己相交一樣。事實上，克萊因瓶的瓶頸是穿
過了第四維空間再和瓶底圈連起來的，並不穿過瓶壁。這是怎麼回事
呢？

　　我們用扭結來打比方。看底下這個圖形，如果我們把它看作平面

【扭結】

如果我們把它看作平面上的曲線的話，那麼它似乎自身相交，再一看似乎又斷成了三截。但其實很容易明白，這個圖形其實是三維空間中的曲線，它並不和自己相交，而且是連續不斷的一條曲線。在平面上一條曲線自然做不到這樣，但是如果有第三維的話，它就可以穿過第三維來避開和自己相交。只是因為我們要把它畫在二維平面上時，只好將就一點，把它畫成相交或者斷裂了的樣子。克萊因瓶也一樣，這是一個事實上處於四維空間中的曲面。在我們這個三維空間中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模樣；就好像最高明的畫家，在紙上畫扭結的時候也不得不把它們畫成自身相交的模樣。

用解析幾何的方法，採用坐標來表示超立方體的話：
單位正方形的坐標：（0，0），（0，1），（1，0）（1，1）
單位正方體的坐標：（0，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（0，1，1），（1，0，0），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）
那麼N維空間中的點用N維行向量來表示（X1，X2，……，Xn)
非退化的N維方體每個坐標份量Xi有兩個不同的取值。如前兩例單位方體的Xi取0和1
那麼很顯然N個不同的坐標份量不同的取法就等於2的N次方。
那麼四維超正方體的頂點：（0000），……，（1111）

對於生活在三維空間的人類來說，四維世界是很神秘的概念。正像生活在二維世界裡的小人（如果存在）很難想像三維世界一樣，我們同樣難於想像四維世界。不過也正像我們可以通過研究三維物體在二維物體上的投影來研究想像三維物體一樣，我們也可以通過四維物體在三維世界中的立體圖形投影來研究四維世界。

圖 1 所示的是一個立方體在二維世界中的投影。二維小人多多少少可以通過這些投影來想像那個「三維立方體」的神秘圖形。他們可以數出這個立方體有8個頂點，12 條邊，6個面。不要被圖2中古怪的玩藝兒所嚇倒，它只不過是四維立方體在三維世界中的投影而已。我們稱之為四維超正方體，我們可以想像出超正方體有 16個頂點，32條棱，24個面，8個體。

如果四維超正方體不太好想像的話，我們換成球試試吧。三維球嘛，無論從哪個方向投影在二維平面上都只是一個半經等同的圓形，這樣我們就很容易想到四維球在三維世界中的投影只不過是一個半徑等同的球了。如果還想要討論得深入一些，不妨試試球穿越問題。比如說一個球穿過一個二維平面，二維小人會發現平面上憑空冒出一個慢慢變大的點，後來眼看著擴張成圓，又慢慢縮小成點，最後突然消失。如果這個令二維小人驚訝不已的事實讓你並不覺得奇怪，那麼以下的情形你定會吃驚不小；在你面前無中生有地出現一個點，擴成球又縮回點，再突然消失。多麼神奇！其實這只不過是四維球穿越三維世界的情形。

這裡講一種思維方式，當你不能夠理解四維的某些描述的時候，試著把自己當作二維人生活在扁平的世界裡看三維(你能夠理解，但是你的描述是受限的)。

下面看一個四維立方體的圖：

四維立方體的中心圖：

四維立方體的平面投影圖：

我們知道：
零維----點頂點：1
一維----線段頂點：2 邊：1
二維----面頂點：4 邊：4 面：1
三維----立方體頂點：8 棱：12 面：6 空間：1
四維----超立方體頂點：16 棱：32 面：34 空間：8 4-faces：1
五維----五維立方體頂點：32 棱：80 面：80 空間：40 4-faces：10 5-faces：1
……
五維立方體中心圖：

五維立方體投影圖：

九維立方體的中心圖：

九維立方體的投影圖：

由此我們可以總結出其中的點線面等規律：
發現其中點線面的規律
n-cube vertices edges faces cells 4-faces 5-faces 6-faces ...n-f
0 1
1 2 1
2 4 4 1
3 8 12 6 1
4 16 32 24 8 1
5 32 80 80 40 10 1
6 64 192 240 160 60 12 1
...
9 1024/5120/11520/15360/13440/8064/3360/960/180/20/1

上的曲線的話，那麼它似乎自身相交，再一看似乎又斷成了三截。但
其實很容易明白，這個圖形其實是三維空間中的曲線，它並不和自己
相交，而且是連續不斷的一條曲線。在平面上一條曲線自然做不到這
樣，但是如果有第三維的話，它就可以穿過第三維來避開和自己相交。
只是因為我們要把它畫在二維平面上時，只好將就一點，把它畫成相
交或者斷裂了的樣子。克萊因瓶也一樣，這是一個事實上處於四維空
間中的曲面。在我們這個三維空間中，即使是最高明的能工巧匠，也
不得不把它做成自身相交的模樣；就好像最高明的畫家，在紙上畫扭
結的時候也不得不把它們畫成自身相交的模樣。題圖就是一個用玻璃
吹製的克萊因瓶。

　　大家大概都知道莫比烏斯帶。你可以把一條紙帶的一段扭180度，
再和另一端粘起來來得到一條莫比烏斯帶的模型。這也是一個只有一

　　　　　　　　　　　　　　　莫比烏斯帶

個面的曲面，但是和球面、輪胎面和克萊因瓶不同的是，它有邊（注
意，它只有一條邊）。如果我們把兩條莫比烏斯帶沿著它們唯一的邊
粘合起來，你就得到了一個克萊因瓶（當然不要忘了，我們必須在四
維空間中才能真正有可能完成這個粘合，否則的話就不得不把紙撕破
一點）。同樣地，如果把一個克萊因瓶適當地剪開來，我們就能得到
兩條莫比烏斯帶。