| 今日數學家 |
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| 高斯 Johann Carl Friedrich Gauss（1777年4月30日—1855年2月23日） |
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Gauss（1777年4月30日～1855年2月23日）出生在德國 Brunswick 一貧窮勞工家。他的父親叫做 Gebhard Dietdich Gauss (1744-1808)，母親是 Dorothea Benze (1743-1839)。 Gauss 從小有數學異稟，這個消息引起當地領主 Brunswick 公爵的注意，有意要栽培他，便出資把小學畢業後的 Gauss 送去優異的 Coroline 高等學校就讀（1792年2月～1795年），再由 Gauss 選定讀 Göttingen 大學（1795年10月5日～1798年9月28日）。畢業後 Gauss 赴 Helmstedt 大學作研究取得博士學位(1799年7月16日)，論文便是「代數學的基本定理」（早年法國人 d'Alembert 證過它，但證明不全）。Gauss 喜愛這個定理，一生中還給它另三種證明。 1801年9月29日 Gauss 在公爵資助之下出版了他的數學巨著《整數論研考》(Disquisitiones Arithmeticae)。它是 Gauss 青少年時代的研究心得，共有七章（第八章因經費關係去除，他去世後出專集時學者專家們給它加上去）。第七章是書中的精華，係以二項同餘式理論來解 xn=1 的根並應用在等分圓周及作出正 n 邊形上。例子便是打破數學史上二千多年的沈寂，以圓規與直尺作出正十七邊形來。作出正十七邊形時，Gauss 才19歲（1786年3月30日）。這使他振奮之餘，決定走數學，而非文學之路，並開始記他那有名的《科學日記》 （1796.3.30～1814.7.9）。即，以拉丁文簡述他的研究心得。其中有他為發表的橢圓函數及非歐幾何學等。日記在1898年才從他在德國唯一 的孫子 Carl August 家中發現。從中可以探視到 Gauss 的許多思維與發現。 剛出完書 Gauss 就被1801年元旦才被發現的小慧星 Ceres 的問題吸引住了。它被發現後只有三次觀測記載，然後它躲進太陽的陰影裡不見了。按「Bade 原則」，它在1801年底或1802年初會在天空某處再現。但是天文學家們苦於求不出它的軌道來。Gauss 九月底才著手作這個問題，11月便把他求出的 Ceres 軌道發表在《天文月刊》上。天文學家們真的就在1801年除夕及1802年元旦看到 Ceres 出現在 Gauss 求出來的軌道上。於是 Gauss 為理論天文學家的名聲大噪。那一陣發現的新星大家都請他求出軌道來。於是在1809年 Gauss 出他的第二巨著《在太陽周圍回轉成圓錐現的天體之運動論》，為當時的天文學家必須精通的教科書。 Brunswick 公爵屢次調升 Gauss 的年金讓他能夠安心作研究工作。但是當時拿破崙崛起，開始蠶食德國南方諸邦。普魯士想扼止他這種作為，便在1806年10月向法國挑戰，統帥便是老將 Brunswick 公爵。不幸公爵在一場戰爭中中彈傷亡。Gauss 的年金從此無著落了。 Gauss 終於在1807年7月找到 Göttingen 大學的教職並兼 Göttingen 天文台台長，他一直在這個崗位上至去世為止。 1818年9月 Hanover 首相委任 Gauss 負責測量 Hanover 境內的地形以便繪出精確的地圖來。測量地形的野外工作持續到1826年，後繼的計算則延至1848年才結束。由實地工作中 Gauss 對曲面的性質有了充分的瞭解。在1827年他發表有關曲面的論文。他把曲面以參數式表示，並討論曲面具有的內在性質，如高斯曲率 K 在保長變換下不變等。他的學生 Riemann把他的曲面理論發揚光大成為 Riemann 幾何學，到了20世紀，Einstein 便是使用它發明了一般相對論。Gauss 又著書《Memoir in Geodesy》(I, 1843, II, 1846) 等。在測量工作中 Gauss 發明了回光儀 (helitope)。 1831年起 Gauss 與 Göttingen 大學物理學教授 Wilhelm Weber 一起研究電磁學。1832年 Gauss 寫出有關測定磁學絕對單位的論文，又跟 Weber 合作發明了電磁式電信機。他們在1840年共著《地磁學地圖》。 Gauss 結婚過兩次。第一次與 Johanna Osthoff (1780-1809) 結婚，生有二男一女，次子夭折。Johanna 夫人去世後，他又娶 Gottingen 大學教授之女 Minna Waldeck (1788-1831)，也生二子一女。長子的後代在1936年只剩3人。三子、四子移民美國後從商成功，後代興旺。 Gauss 的座右銘是「稀少，但成熟」(Few but ripe)。所以他不多寫，寫成的作品則以敘述簡潔，內容豐實著稱。 Gauss 去世後不久 Göttingen 地方的君主 Hanover 國王喬治五世為表彰 Gauss 的豐功偉業，敕令鑄造一個七公分直徑的紀念金章送給 Gauss 家族，金章邊緣以拉丁文刻著 "Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi"（Hanover 君主喬治五世向數學家之王致敬）。從此，稱呼 Gauss 為「數學之王」的名號不脛而走。 節錄自顏一清〈數學巨擘高斯〉《數學傳播》季刊，88、89號（86年12月、87年3月）。 卡爾‧弗裡德里希‧高斯
德國數學家，與阿基米德、牛頓並列為歷史上最偉大的數學家。早年就推翻了18世紀數學的理論和方法，而以他自己革新的數論開闢了通往19世紀中葉分析嚴密化的道路。他不僅對純粹數學作出了意義深遠的貢獻，而且對20世紀的天文學、大地測量學和電磁學的實際應用也作出了重要的貢獻。他的名言︰「數學，科學的皇后；算術，數學的皇后」貼切地表達了他對數學在科學中的關鍵作用的感性認識。 高斯是貧窮父母唯一的兒子。鑑於他在數學和語言中表現出的才能，他的教師們和慈母把他推薦給伯倫瑞克公爵。公爵資助他上完中學並從 1795∼1798年在格丁根大學學數學。1799年獲黑爾姆施泰特(Helmstedt)大學的博士學位。學位論文的題目是代數基本定理的一個證明，而 在他之前的證明都是不完全的。該定理說︰每個複係數的代數方程必有複數解。高斯非常巧妙地陳述和證明了這個定理，而沒有用到複數。 24歲時發表了《算術研究》(Disquisitiones Arithmeticae)，這是數學史上最出色的成果之一。書中系統而廣泛地闡述了數論——論述整數(…-2,-1,0,1,2,…)的性質與關係—— 中有影響的概念和方法。他認為這些概念和方法在數學中有著頭等重要的意義，他對同餘數理論作了大量研究。同餘數是那些被另一個數相除而有相同餘數的數，例 如7和9以數2為模是同餘的，因為它們被2除時餘數都是1.高斯還第一個證明了同二次剩餘有關的二次互反律。(a稱為關於b的二次剩餘，如果存在一個整數 x,使得a被b除與x2被b除有相同的餘數)。高斯還把這個定律應用於一些特殊情形的方程組，在方程組中他能把代數、算術和幾何的 思想結合起來。例如，他利用數論對正n邊形作圖的幾何問題提出了代數解法。歐幾里得已經指出，正三邊形、正四邊形、正五邊形、正十五邊形和邊數是上述邊數 兩倍的正多邊形的幾何作圖是能夠用圓規和直尺實現的，但從那時起關於這個問題的研究沒有多大進展。高斯在數論的基礎上提出了判斷一給定邊數的正多邊形是否 可以幾何作圖的準則。例如，用圓規和直尺可以作圓內接正17邊形。這樣的發現還是歐幾里得以後的第一個。 這些關於數論的工作對代數數的現代算術理論(即代數方程的解法)作出了貢獻。高斯還將複數引進了數論，開創了複整數算術理論(所謂複整數是指形為 a＋bi 的數，其中a和b都是整數)。複整數在高斯以前只是直觀地被引進。在《算術研究》中，高斯毫不猶豫地使用了那些a、b為實數的複整數a＋bi.1831年(發表於1832年)他給出了一個如何藉助於x,y平面上的表示來發展精確的複數理論的詳盡說明。 1801年高斯有機會戲劇性地施展他的優勢的計算技巧，並以此來表示對公爵資助他受教育的感謝。那年的元旦，有一個後來被證認為小行星並被命名為穀神星(Ceres) 的天體被發現，當時它好像向太陽靠近。天文學家雖然有40天的時間可以觀察它，但已不能計算它的軌道。高斯只作了3次觀測就提出了一種計算軌道參數的方 法，而且達到的精確度使得天文學家至1801年末和1802年初能夠毫無困難地再確定穀神星的位置。高斯在這一計算方法中用到了他大約在1794年創造的 最小二乘法(一種可從特定計算得到最小的方差和中求出最佳估值的方法)。在天文學中這一成就立即得到公認。他在《天體運動理論》(Theoria Motus Corporum Coelestium,1809)中敘述的方法今天仍在使用，只要稍作修改就能適應現代計算機的要求。高斯在小行星「智神星」(Pallas)方面也獲得類似的成功。考慮到其他行星對智神星軌道的攝動，高斯改進了他的計算。 公爵繼續慷慨資助高斯的研究，使得他能在1803年謝絕聖彼得堡提供的教授職位，他一直是聖彼得堡科學院通訊院士。1807年他成為格丁根大學 的天文學教授和新天文台台長，有到逝世。1809年，在結婚4年後和第三個孩子剛出世不久，他第一個妻子去世。他的第二次婚姻(1810∼1831)帶給 他兩個兒子和一個女兒。 1820年前後，高斯把注意力轉向大地測量——用數學方法測定地球表面的形狀和大小。他把很多時間用於大地測量的理論研究和野外工作。為了增加 測量的精確度，他發明了回光儀(一種利用日光以保證比較精確測量的儀器)。他還引進了現在所謂的高斯誤差曲線，並指出概率如何能用變差的鐘形曲線(一般稱 為正態曲線，它是刻畫數據統計分佈的基礎)來表示。他還對透過實際的大地測量確定地球形狀感興趣，這個工作使他回到了純理論。他利用這些測量數據發展了曲 面論，按照這一理論，一個曲面的特徵只要透過測量曲面上曲線的長度就能確定。這種「內蘊曲面論」啟發了他的學生黎曼(Bernhard Riemann)發展三維或多維空間的一般內蘊幾何學。這是黎曼1854年在格丁根就職演說的題目，據說也是困擾高斯的問題。大約60年以後黎曼的思想形成愛因斯坦廣義相對論的數學基礎。 高斯是最早懷疑歐幾里得幾何學是自然界和思想中所固有的那些人之一。歐幾里得是建立系統性幾何學的第一人。他模型中的一些基本思想被稱作公理，它們 是透過純粹邏輯構造整個系統的出發點。在這些公理中，平行線公理一開始就顯得很突出。按照這一公理，通過不在給定直線上的任何一點只能作一條與該直線平行 的線。不久就有人推測︰這一公理可從其他一些公理推導出來，因而可從公理系統中刪去。但是關於它的所有證明都有錯誤。高斯是最早認識到可能存在一種不適用 平行線公理的幾何學的人之一。他逐漸得出革命性的結論︰確實存在這樣的幾何學，其內部相容並且沒有矛盾。但因為與同代人的觀點相背，他不敢發表(參閱非歐幾里得幾何〔geometry, non-Euclidean〕條)。 當1830年前後匈牙利的鮑耶(Janos Bolyai)和俄國的羅巴切夫斯基(Nikolay Lobachevsky)獨立地發表非歐幾何學時，高斯宣稱他大約在30年前就得到同樣的結論。高斯也沒有發表特殊複函數方面的工作，可能是因為沒有能從更一般的原理導出它們。因此這一理論不得不在他死後數十年由其他數學家從他著作的計算中重建。 與他在引力和磁學方面的興趣有密切關係的是他在1840年發表的實分析論文。這一論文成為現代位勢理論的出發點。這可能是他所有的工作中唯一沒 有達到他本人高標準要求的一個。只有到20世紀初數學家在不同原理的基礎上或藉助於尋求高斯結論是完全正確的成立條件，才有可能重新發展位勢理論。 1830年前後，極值(極大和極小)原理在高斯的物理問題和數學研究中開始佔有重要地位，例如流體保持靜止的條件等問題。在探討毛細作用時，他 提出了一個數學公式能將流體系統中一切粒子的相互作用、引力以及流體粒子和與它接觸的固體或流體粒子之間的相互作用都考慮在內。這一工作對於能量守恆原理的發展作出了貢獻。從1830年起高斯就與物理學家韋伯(Wilhelm Weber)密切合作。由於對地磁學的共同興趣，他們一起建立了一個世界性的系統觀測網。他們在電磁學方面最重要的成果是電報的發展。因為他們的資金有限，所以試驗都是小規模的。高斯相當害怕那種世界性的通信思想。 高斯具有濃厚的宗教感情、貴族的舉止和保守的傾向。他一直遠離他那個時代的進步政治潮流。在高斯身上表現出的矛盾是與他實際上的和諧結合在一起的。 高斯身為才氣橫溢的算術家，對於數具有非凡的記憶力。他既是一個深刻的理論家，又是一個傑出的數學實踐家。教學是他最討厭的事，因此他只有少數幾個學生。 但他的那些影響數學發展進程的論著(大約155篇)卻使他嘔心瀝血。有3個原則指導他的工作︰他最喜歡說的「少些，但要成熟些」；他的格言「不留下進一步 要做的事」；和他的極度嚴格的要求。從他死後出版的著作中可以看出，他有許多重要和內容廣泛的論文從未發表，因為按他的意見，它們都不符合這些原則。高斯 所追求的數學研究題目都是那些他能在其中預見到具有某種有意義聯繫的概念和結果，它們由於優美和普遍而值得稱道。 1849年舉辦了高斯獲博士學位50週年慶祝會，為此高斯準備了他早期對代數基本定理證明的一個新版本。由於健康狀況愈來愈差，這成了他最後的 著作。給他帶來最大歡樂和榮譽的還是格丁根市贈與他的榮譽公民頭銜。由於他在數學、天文學、大地測量學和物理學中的傑出研究成就，他被選為許多科學院和學 術團體的成員。他謝絕了許多大學請他當教授的邀請而一直留在格丁根大學的院系中，直至1855年2月23日逝世。逝世後不久就鑄造了紀念他的錢幣。「數學 之王」的稱號是對他恰如其分的稱頌。 高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777年4月30日—1855年2月23日），生於不倫瑞克，卒於哥廷根，德國著名數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家。高斯被認為是最重要的數學家，並有數學王子的美譽。 1792年，15歲德高斯進入Braunschweig學院。在那裡，高斯開始對高等數學作研究。獨立發現了二項式定理的一般形式、數論上的「二次互反律」(Law of Quadratic Reciprocity)、質數分佈定理(prime numer theorem)、及算術幾何平均(arithmetic-geometric mean)。 1795年高斯進入哥廷根大學。1796年，17歲的高斯得到了一個數學史上極重要的結果，就是《正十七邊形尺規作圖之理論與方法》。 生平高斯是一對普通夫婦的兒子。他的母親是一個貧窮石匠的女兒，雖然十分聰明，但卻沒有接受過教育，近似於文盲。在她成為高斯父親的第二個妻子之 前，她從事女傭工作。他的父親曾做過園丁，工頭，商人的助手和一個小保險公司的評估師。當高斯三歲時便能夠糾正他父親的借債帳目的事情，已經成為一個軼事 流傳至今。他曾說，他在麥仙翁堆上學會計算。能夠在頭腦中進行複雜的計算，是上帝賜予他一生的天賦。 高斯用很短的時間計算出了小學老師佈置的任務：對自然數從1到100的求和。他所使用的方法是：對50對構造成和101的數列求和（1＋100，2＋99，3＋98……），同時得到結果：5050。這一年，高斯9歲。
[哥廷根大學] 當高斯12歲時，已經開始懷疑元素幾何學中的基礎證明。當他16歲時，預測在歐氏幾何之外必然會產生一門完全不同的幾何學，即非歐幾里德幾何學，亦稱羅巴切夫斯基幾何。他導出了二項式定理的一般形式，將其成功的運用在無窮級數，並發展了數學分析的理論。 高斯的老師Bruettner與他助手 Martin Bartels 很早就認識到了高斯在數學上異乎尋常的天賦，同時Herzog Carl Wilhelm Ferdinand von Braunschweig也對這個天才兒童留下了深刻印象。於是他們從高斯14歲其便資助其學習與生活。這也使高斯能夠在公元1792－1795年在 Carolinum學院（今天Braunschweig學院的前身）學習。18歲時，高斯轉入哥廷根大學學習。在他19歲時，第一個成功的用尺規構造出了規則的17角形。 高斯於公元1805年10月5日與來自Braunschweig的Johanna Elisabeth Rosina Osthoff小姐(1780-1809)結婚。在公元1806年8月21日迎來了他生命中的第一個孩子Joseph。此後，他又有兩個孩子。Wilhelmine（1809－1840）和Louis（1809－1810）。1807年高斯成為哥廷根大學的教授和當地天文臺的台長。 雖然高斯作為一個數學家而聞名於世，但這並不意味著他熱愛教書。儘管如此，他越來越多的學生成為有影響的數學家，如後來聞名於世的Richard Dedekind和黎曼。
[高斯墓地] 高斯非常信教且保守。他的父親死於1808年4月14日，晚些時候的1809年10月11日，他的第一位妻子Johanna也離開人世。次年8月4
日高斯迎娶第二位妻子Friederica Wilhelmine (1788-1831）。他們又有三個孩子：Eugen (1811-1896),
Wilhelm (1813-1883) 和 Therese (1816-1864)。
1831年9月12日她的第二位妻子也死去，1837年高斯開始學習俄語。1839年4月18日，他的母親在哥廷根逝世，享年95歲。高斯於1855年2月23日凌晨1點在哥廷根去世。他的很多散佈在給朋友的書信或筆記中的發現於1898年被發現。 貢獻18歲的高斯發現了質數分佈定理和最小二乘法。通過對足夠多的測量數據的處理後，可以得到一個新的、機率性質的測量結果。在這些基礎之上，高斯隨後專注於曲面與曲線的計算，併成功得到高斯鐘形曲線(常態分佈曲線)。其函數被命名為標準常態分佈（或高斯分佈），併在機率計算中大量使用。 在高斯19歲時，僅用尺規便構造出了17邊形。併為流傳了2000年的歐氏幾何提供了自古希臘時代以來的第一次重要補充。 高斯總結了複數的應用，並且嚴格證明了每一個n階的代數方程必有n個實數或者複數解。在他的第一本著名的著作《數論》中，作出了二次互反律的證明，成為數論繼續發展的重要基礎。在這部著作的第一章，導出了三角形全等定理的概念。 高斯在他的建立在最小二乘法基礎上的測量平差理論的幫助下，結算出天體的運行軌跡。並用這種方法，發現了穀神星的運行軌跡。穀神星於1801年由義大利天文學家皮亞齊發現，但他因病耽誤了觀測，失去了這顆小行星的軌跡。皮亞齊以希臘神話中「豐收女神」(Ceres)來命名它，即穀神星(Planetoiden Ceres)，並將以前觀測的位置發表出來，希望全球的天文學家一起尋找。高斯通過以前的三次觀測數據，計算出了穀神星的運行軌跡。奧地利天文學家 Heinrich Olbers在高斯的計算出的軌道上成功發現了這顆小行星。從此高斯名揚天下。高斯將這種方法著述在著作《天體運動論》(Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium )中。
[高斯設計的漢諾瓦大地測量的三角網] 為了獲知任意一年中復活節的日期，高斯推導了復活節日期的計算公式。 在1818年至1826年之間高斯主導了漢諾瓦公國的大地測量工作。通過他發明的以最小二乘法為基礎的測量平差的方法和求解線性方程組的方法，顯著的提高了測量的精度。出於對實際應用的興趣，他發明了日光反射儀，可以將光束反射至大約450公里外的地方。高斯後來不止一次地為原先的設計作出改進，試製成功被廣泛應用於大地測量的鏡式六分儀。 高斯親自參加野外測量工作。他白天觀測，夜晚計算。五六年間，經他親自計算過的大地測量數據，超過100萬次。當高斯領導的三角測量外場觀測已走上 正軌後，高斯就把主要精力轉移到處理觀測成果的計算上來，並寫出了近20篇對現代大地測量學具有重大意義的論文。在這些論文中，推導了由橢圓面向圓球面投 影時的公式，並作出了詳細證明，這套理論在今天仍有應用價值。漢諾瓦公國的大地測量工作直到1848年才結束，這項大地測量史上的巨大工程，如果沒有高斯 在理論上的仔細推敲，在觀測上力圖合理精確，在數據處理上儘量周密細緻的出色表現，就不能完成。在當時條件下布設這樣大規模的大地控制網，精確地確定 2578個三角點的大地坐標，可以說是一項了不起的成就。
[日光反射儀] 由於要解決如何用橢圓在球面上的正形投影理論解決大地測量問題，高斯亦在這段時間從事曲面和投影的理論，這成了微分幾何的重要基礎。他獨自提出不能證明歐氏幾何的平行公設具有『物理的』必然性，至少不能用人類理智，也不能給予人類理智以這種證明。但他的非歐幾何的理論並沒有發表，也許是因為對處於同時代的人不能理解對該理論的擔憂。後來相對論證明了宇宙空間實際上是非歐幾何的空間，高斯的思想被近100年後的物理學接受了。當時高斯試圖在漢諾瓦公國的大地測量中通過測量Harz的Brocken－－Thuringer Wald的Inselsberg－－哥廷根的Hohen Hagen三個山頭所構成的三角形的內角和，以驗證非歐幾何的正確性，但未成功。高斯的朋友鮑耶的兒子雅諾斯在1823年證明了非歐幾何的存在，高斯對他勇於探索的精神表示了讚揚。1840年， 羅巴切夫斯基又用德文寫了《平行線理論的幾何研究》一文。這篇論文發表後，引起了高斯的注意，他非常重視這一論證，積極建議哥廷根大學聘請羅巴切夫斯基為 通信院士。為了能直接閱讀他的著作，從這一年開始，63歲的高斯開始學習俄語，並最終掌握了這門外語。最終高斯成為和微分幾何的始祖（高斯，雅諾斯、羅巴 切夫斯基）中最重要的一人。
[高斯和韋伯] 19世紀的30年代，高斯發明了磁強計，辭去了天文臺的工作，而轉向物理研究。他與韋伯(1804－1891)在電磁學的領域共同工作。他比韋伯年長27歲，以亦師亦友的身份進行合作。1833年，通過受電磁影響的羅盤指針，他向韋伯發送了電報。這不僅僅是從韋伯的實驗室與天文臺之間的第一個電話電報系統，也是世界首創。儘管線路才8千米長。1840年他和韋伯畫出了世界第一張地球磁場圖，而且定出了地球磁南極和磁北極的位置，並於次年得到美國科學家的證實。
[高斯和韋伯共同設計的電報] 高斯研究數個領域，但只將他思想中成熟的理論發表。他經常提醒他的同事，該同事的結論已經被自己很早的證明，只是因為基礎理論的不完備性而沒有發表。批評者說他這樣是因為極愛出風頭。實際上高斯只是一部瘋狂的打字機，將他的結果都記錄起來。在他死後，有20部這樣的筆記被發現，才證明高斯的宣稱是事實。一般認為，即使這20部筆記，也不是高斯全部的筆記。下薩克森州和哥廷根大學圖書館已經將高斯的全部著作數字化並置於網際網路上。 高斯的肖像已經被印在從1989年至2001年流通的10德國馬克的紙幣上。
[高斯故居] 著作
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