藍色情懷

• 作者：莫里斯‧克萊恩/著
• 編/譯者：趙學信/譯
• 出版社：台灣商務
• 裝訂：平裝 / 518頁 / 25K/普級 / 單色印刷
• ISBN：9570519010
• 語言：繁體中文

由於《數學：確定性的失落》書中所涵蓋的時間很長，涉及的範圍很廣，我們在翻譯時做了一些查證和比對的工作。受限於篇幅，其中有些資料無法放入書中，但應該會對讀者閱讀有所幫助，或者可節省讀者自行查閱的時間，所以我們把這些資料補充在這裡，以供參考。

翻譯說明

 

本書的翻譯分工，第八至十五章由翁秉仁負責，其他部分由趙學信負責，翻譯後再由兩人彼此複閱。另外，翁秉仁負責數學部分之審定，趙學信則統一處理文字風格的部分。我們儘可能不加非必要的譯註。

幾點值得提醒讀者的要點：

 

• 數學家克萊恩（Felix Klein）與作者克萊因（Morris Kline）是不同的兩個人，書中正文數度提及的是前者。

   

• 由於本書內容跨越兩千餘年，axiom一詞我們統一譯成比較現代意義的「公設」，而不用「公理」。另外培根經常使用的axiom一詞，因為意義不同，所以別譯為「原理」，並附原文提醒。

   

• 古代思想家的引文，許多都牽涉到翻譯版本和詮釋的問題，我們儘可能以蒐集到的材料，在不違反克萊因的理解下，參酌翻譯。

   

• 由於作者本意在為一般大眾而寫，因此在第八章到第十二章這些多少涉及數理邏輯的章節裡，由於數理邏輯的技術性術語較多，作者有時會做一些簡化的改寫，其本 意在保存口語的習慣和數學、歷史的脈絡，但是從數理邏輯的眼光來看，可能不夠精確和完善，這是讀者在閱讀時必須小心的地方。

補充註釋

為了讓中、英文版的讀者都能檢索，這裡所提到的頁碼，均為英文版頁碼。如果你手上的是中譯本，英文版頁碼標在每頁左、右緣的適當位置。

扉頁   P.2, 塞諾芬尼（Xenophanes）的三段引文 前蘇格拉底哲學家 Xenophanes 並沒有完整著作留傳下來，現在所知的只有經他人引述的殘篇。本書所引的三段殘篇，在 Diels-Kranz (DK) 的編號分別是 B18, B35, B34。 Xenophanes 殘篇的英譯有許多版本，而 Morris Kline 的譯法又和一般略有不同。在此抄錄 Jonathan Barnes, Early Greek Philosophy (Penguin, 1987) 中的英譯，以供參考 B18 Not from the start did the gods reveal all things to mortals, but in time, by inquiring, they make better discoveries. B35 Let these things be believed as similar to the truth B34 And the clear truth no man has seen nor will anyone know concerning the gods and about all the things of which I speak; for even if he should actually manage to say what was indeed the case, nevertheless he himself does not know it; but belief is found over all. 不談其中涉及的哲學意義，單就字面論，兩種版本的 B18, B35 都差不多，B34 則差異較大，尤其是最後一句。Jonathan Barnes 譯的是「就算他說的確實是真理，他自己也無法確知；但是人人都可有信念。」 另外的譯法還包括：「就算有人說的碰巧為實情，他自己也不知道；但是人人都可有觀點。」（Stanford Encyclopedia of Philosophy 網站） 「即使有人偶爾說出了極完備的真理，他自己也無法斷定這是真理。一切只是意見而已。」（汪子蒿等，《希臘哲學史‧卷一》，p. 573，人民出版社，北京） 關於進一步的解釋，線上資料可參閱 Stanford Encyclopedia of Philosophy, "Xenophanes" 詞條。

導論：中心論旨   P.6, Bourbaki 和 Weyl 的話 兩段引語在第十四章有更完整的引述和討論，Bourbaki 見 p.320，Weyl 見 p.319。

第一章：數學真理的源起   PP.14-15, 亞里斯多德在《形而上學》中總結畢氏學派在數字與現實世界之間所建立的關係 出自《形而上學》，第一卷第五章，985b25 之後。   P.20, 亞里士多德的推理架構 見亞里士多德《後分析篇》，第一卷第一至三章和第十章。

第二章：數學真理的綻放   P.42, 笛卡兒著作的書名 《談正確運用理性以及在各門科學追尋真理的方法》（Discourse on the Method of Rightly Conducting the Reason and Seeking for Truth in the Sciences, 1637）這個很長的書名，即一般簡稱的《談方法》（Discourse on Method）。   P.42, 笛卡兒：「關於我們想研究的對象，……」 出自《指導心智心靈的法則》（Rules for the Direction of the Mind）的第三條法則， 可參考 http://faculty.uccb.ns.ca/philosophy/kbryson/rulesfor.htm。   P.42, 笛卡兒：「直覺是純粹專注心靈的無疑感知，……」 出自第三條法則的解釋裡，對「直覺」的定義。更完整的引文亦見第十章，pp.230-231。   P.42, 笛卡兒《沉思集》：「我把我能清楚領會的有關形、數及其他屬於算術和幾何……」 出自《沉思集》，第五沉思。中譯可參考《第一哲學沉思集》（漢譯名著叢書，龐景仁譯，北京商務），p.69。   P.43, 笛卡兒《談方法》：「對於所有那些尋求科學真理的人，……」 出自《談方法》，第二部分。中譯可參考《談談方法》（漢譯名著叢書，王太慶譯，北京商務），p.16。   P.45, 帕斯卡《思想錄》：我們的第一原理知識，…… 出自《思想錄》，第282段。中譯可參考《思想錄》（漢譯名著叢書，何兆武譯，北京商務），p.131。 《思想錄》有多種版本，各版的段落編次順序不同，這裡採用的是 Brunschvicg 版編號。《思想錄》最常見的英譯 William Finlayson Trotter 譯本(1904) 也是採用 Brunschvicg 編號。Trotter 譯本全文可在網站上找到，例如 Christian Classics Ethereal Library 即提供多種格式。

第三章：科學的數學化   P.54, 牛頓：「既然據帕普斯 (Pappus) 所云，…… 」 出自《自然哲學的數學原理》序言的一開始。在 Morris Kline 的引文裡，第一個刪節號約跳過一頁。中譯可參考《牛頓自然哲學著作選》（王福山等譯，上海譯文），pp.15, 16。   P.55, 牛頓：「在此，我只擬給出力的數學觀念，…… 」 出自《原理》，第一卷，定義8。中譯可參考《牛頓自然哲學著作選》，p.25。   PP.55-56, 牛頓在1692年2月25日寫給 Richard Bentley 的信 中譯可參考《牛頓自然哲學著作選》，pp.76-77。   PP.58-59, 牛頓在《光學》中關於上帝是宇宙設計者的經典論證 出自《光學》問題28。中譯可參考《牛頓自然哲學著作選》，pp.208-209。   P.59, 牛頓在1692年12月10日寫給 Richard Bentley 的信 中譯可參考《牛頓自然哲學著作選》，p.69。   P.59, 牛頓《古國年代校訂》的書名 英文全名是 The Chronology of Ancient Kingdoms Amended - A Short Chronicle from the First Memory of Things in Europe, to the Conquest of Persia by Alexander the Great，主要校訂的是聖經事件的年代，但並不僅限於聖經。   P.67, 威廉‧詹姆斯《實用主義》的引文 出自《實用主義》第二講，〈實用主義的意義〉。若欲在網路上查閱原文，可搜尋「"William James" "What Pragmatism Means"」。 這段翻譯有一句需補充說明：「[全能者] 也像歐幾里得一樣做幾何」，原文是 "geometrized like Euclid"，所指涉的即是柏拉圖的名言，「神永遠將一切幾何化」(God eternally geometrizes)，見本書第一章。 中譯可參考《實用主義》（漢譯名著叢書，陳羽綸、孫瑞禾譯，北京商務），pp.31-32。該書譯文未盡正確，參照時請留意。

第四章　初次挫敗：真理的凋零   P.71, 培根 (Francis Bacon)：部落偶像根源於人性本身，…… 出自《新工具》卷一，第41段。   P.71, 培根：由論辯建立起來的原理並不足以發現新事物，…… 出自《新工具》卷一，第24段。   P.75, 康德：但是我們有確實把握，…… 出自《任何未來形而上學之緒論》（Prolegomena to Any Future Metaphysics）第四節的最後面。   P.80 ff, 關於 Gerolamo Saccheri 的平行公設研究 可以參考本網站的曹亮吉〈歐幾里得無瑕獲釋〉。   P.98, 笛卡兒：幾何學家常使用一長串簡單、容易的推理 出自《談方法》，第二部分，緊接著四條規則之後。中譯可參考《談談方法》（北京商務版），p.16。   P.99, 華茲華斯的〈親近不朽〉("Intimations of Immortality") 詩的全名是 Intimations of Immortality from Recollections of Early Childhood，Kline 引述的前句在第65行，後句在第17行。

第五章　一門邏輯學科的不合邏輯發展   P.102, 歐幾里得在《原本》裡提出了五個「通用觀念」和五個「設準」 這裡的「通用觀念、設準」(common notion, postulation) 即是一般所謂的「公理、公設」。舉例的「等於同物之物，彼此相等」，一般譯「等於同量的量彼此相等」（《原本》公理1）；「彼此重合之物是相等的」，一般 譯「彼此重合的圖形是全等的」（公理4）。   P.104, 亞里士多德把這種證法稱為歸謬法（即 reductio ad absurdum） 歸謬法在英文裡是直接使用拉丁文名稱 reductio ad absurdum；亞里士多德的時代已經有這個觀念，但他用的當然是希臘文，而不是拉丁文。詳釋可參閱 Internet Encyclopedia of Philosophy, reductio ad absurdum 詞條。   P.105, 柏拉圖在《法律篇》呼籲研究不可公度比 出自《法律篇》（Laws）卷七，柏拉圖認為應該對青年教授不可公度性，見 819E-820C。

第六章　違反邏輯的發展：分析學的泥淖   P.133, 刻卜勒的《測量酒桶的新立體幾何》 刻卜勒的《測量酒桶的新立體幾何》，書名應是 Nova stereometria doliorum vinariorum，1615年出版。本書英文版漏了 "Nova"，年分誤作 1616，中譯本已改正。   P.134, 帕斯卡：我們認識真理，不只是從理性…… 出自《思想錄》第282段。中譯可參考《思想錄》，p.131。   P.139, 萊布尼茲：就目前而言，此種從不等變成相等的瞬間過渡狀態…… 本書英文版原作 "such a state of instantaneous transition from inequality or equality"，其中 or 是 to 之誤。

第七章　違反邏輯的發展：分析學的泥淖   P.164, 彭斯勒是拿破崙攻俄時的法軍軍官 原文僅作 "He was a soldier in Napoleon's army"。Poncelet 是在1807-1810 間就讀於綜合工藝學校 (École Polytechnique)，受業於 Monge；1812入伍，任工兵中尉。   P.165, 相交兩圓不可能共圓心 歐幾里得《原本》，第三卷，命題五。

第八章　違反邏輯的發展：在天堂門前   P.179, Weierstrass 從1840年代就開始研究無理數，不過當時並未發表，直到1860年代，才為人所知 1840年代時 Weierstrass 還在教中學 (1841-1856)，只能利用課餘時間研究數學，和歐洲數學家也沒有聯絡。關於他傳奇性的數學生涯，可參考 E.T. Bell 的《大數學家》（九章出版）。

第九章　失樂園──理性的新危機   P.202, 在1901年的一篇文章裡，羅素說康托一定「犯了一個非常精微的謬誤」 這篇文章的標題是 "Mathematics and the Metaphysicians"。羅素原文是說康托證明了不存在有最大的超限數，但他相信這證明有錯。正如本書所說的，當這篇文章收入《神祕主義與邏輯》 (Mysticism and Logic) 收入時，羅素加了一個附註，為他的錯誤想法道歉。

第十章　邏輯主義 vs. 直覺主義   P.217, 弗列格的《算術基礎》(1884) 和《算術基本律》(1893, 1903) Morris Kline 在這裡把弗列格的《算術基礎》、《算術基本律》誤寫為《數學基礎》、《數學基本律》，第八章 (p.187) 則是正確的。   PP.229-230, 羅素：經過二十年極為艱困的辛苦工作後，我的結論是，想要讓數學知識確定無疑，我自己是不再能有什麼建樹了。 這段承認失敗的話是羅素在《回憶剪影》（Portraits from Memory, 1958）裡說的，它所呈現的景況，比我們從字面上看到的還要悲慘。 本章的前面 (p.218) 曾提到，羅素在《數學哲學導論》(1919) 裡，很不滿意戴德金列出公設的策略，說：「把自己想要的概念逕行條列出來，這樣做有許多好處，就像當小偷比老老實實工作更佔便宜一樣。」在原書裡，緊接著 羅素說：「他們想要這樣就隨他們去，我們還是老老實實地做苦工。」（見 Introduction to Mathematical Philosophy, p.71） 《數學哲學導論》裡涉及的是無理數的問題，羅素認為他可以用老老實實做苦工 ("honest toil") 的方式來解決。但是四十年後，在更重大的數學基礎的問題上，他卻只能承認他的「極為艱困的辛苦工作」("very arduous toil") 最終是失敗的。次年出版的《我的哲學發展》(1959) 也呈現出強烈的悲觀色彩。對於一位二十世紀的偉大哲人，這確實是莫大的悲劇。   P.239, 希爾伯特1927年的論文〈數學的基礎〉("The Foundations of Mathematics") 這篇論文在本書的 p.260 會再提到。關於出版時間，請見下面「第十二章」p.260 的補註。

第十一章　形式主義和集合論的數學基礎   無

第十二章　災難   P.260, 希爾伯特分別在1905, 1927年發表的兩篇論文 希爾伯特先在1905年發表了〈論邏輯和算術的基礎〉（"Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik"，英譯 "On the Foundations of Logic and Arithmetic" 於同年出版），又在1927年宣讀了一篇以〈數學的基礎〉 （"Die Grundlagen der Mathematik"）為題的論文，這篇論文隔年刊登在 Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität, vol. 6, pp. 65-85。 後者又收入希爾伯特的其他著作中，包括第七版的《幾何學基礎》（初版1899、七版1930）；英譯則首見於 van Heijenoort 所編的 From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931，1967年出版。 Kline 在本書中說〈數學的基礎〉於1930年出版，指的應是它被收入《幾何學基礎》第七版的年分，中譯本改採最早出現的1928年。這篇的英譯可見 www.marxists.org。

第十三章　數學的孤立   P.281, Felix Klein 所著的十九世紀數學史 指 Klein 的 Vorlesungen uber die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert，英譯 Development of Mathematics in the Nineteenth Century。本書 p.288 會再提到這本書。   P., 培根《學術的增長》著作年分 培根的《學術的增長》(The Advancement of Learning) 應為1605年出版，本書英文版誤作1620年。   P.295, G. H. Hardy 論及戰時數學處境的文章 這篇文章的標題即是 "Mathematics in Wartime" (1940)，這是他應劍橋大學數學會之邀，替學會刊物 Eureka 而寫的。文章的主要內容，後來改寫進 Hardy 的知名著作《一個數學家的辯白》(A Mathematician's Apology)。本頁所引的文字出現在該書第25節。

第十四章　何去何從   P.313, 帕斯卡曾經發明兩個詞：「幾何才智」和「策略才智」 我們用「幾何才智」來譯 esprit de géométrie，用「策略才智」來譯 esprit de finesse。 Trotter 英譯本譯成 "the mathematical and the intuitive mind" （數學的心靈和直覺的心靈），這麼譯是把數學和直覺分離開來，並不妥當。正如我們可以在本書看到的，數學創造既需要嚴謹的邏輯推理，也需要直覺。 另一點需提醒的是，帕斯卡《思想錄》中對 esprit（精神）一字的用法不但與日後不同，而且在書中也不一致。 何兆武的譯本，這兩個詞作「幾何性精神」、「敏感性精神」，並有簡釋，可參考。   P.322, Hermite: 我相信數和函數都不是我們精神的任意產物…… 「函數」原文是 functions of analysis，完整的譯法是「分析學裡的函數」，但嫌冗長。也不可譯成「分析函數」，因為數學裡有 analytic function，一般譯為「解析函數」；「分析函數」會造成誤解。就這段話的意義而言，只講「函數」不會有任何問題。   P.324, 帕斯卡：真理是非常微妙的一個點…… 出自《思想錄》，第82則「想像」，倒數第二段。帕斯卡原來談的是「正義和真理」，Kline 在引用時略加改寫，省略「正義」。 Kline 的引句是： Truth is so subtle a point that our instruments are too blunt to touch it exactly. When they do reach it, they crush the point and bear down around it, more on the false than on the true. Trotter 版英譯是： Justice and truth are two such subtle points that our tools are too blunt to touch them accurately. If they reach the point, they either crush it, or lean all round, more on the false than on the true. 帕斯卡在《外省書札》的第三封信裡也有類似的句子。("Truth, we know, is so delicate that, if we make the slightest deviation from it, we fall into error [...].") 要言之，真理是非常微小的一個點，必須藉由非常精緻、審慎的方法才能碰觸得到，而稍有偏失，即使非常靠近，得到的還是錯謬。 本書譯成： 「真理是非常微妙的一個點，我們的工具都太粗鈍，所以無法精確地碰觸到它。一旦伸向它，要不就摧毀這個點，否則就斜落到點的近旁，得到的錯謬多於真理。」 亦可參考何兆武譯本： 「正義和真理乃是如此之精微的兩個尖端，以致於我們的工具總會過於粗糙而無法確切地接觸到它們的。假如我們的工具居然能做到這一點，它們也會撞壞尖端，並且會整個倒在錯誤上面而不是倒在真理上面。」（北京商務版，pp.45-46）   P.324, Weyl 《數學與自然科學的哲學》的書名 Weyl 這本書，Philosophy of Mathematics and Natural Science，指的是「數學與自然科學的哲學」（也就是數學哲學和自然科學哲學），而不是「數學哲學與自然科學」。這是 Weyl 為 Handbuch der Philosophie（哲學手冊，1926 出版）所撰寫的，全書分為兩部分，即「數學」和「自然科學」。 （按：中譯本 p.424 頁誤作「數學與自然科學與哲學」，應是「數學與自然科學的哲學」。）

頁碼係指原書頁碼，中文索引請見書末。

A
Abel, Niels Henrick (阿貝爾), 170, 174-175, 294
Abstraction (抽象), 19-2
Academy (Athens) (學園（雅典）), 22, 24
Ackerman, Wilhelm (艾克曼), 249
Addison, Joseph (艾迪遜, 約瑟), 67, 169
Airy, Sir George (艾禮), 63
Alexander the Great (亞歷山大大帝), 22, 29
Algebra (代數), 106-107, 110-111, 122-126, 158-160, 179; abstract (抽象代數), 283, 295; geometric (幾何代數), 105-106; as method of discovery (代數作為發現方法), 125-126
Ampere, Andre-Marie (安培), 161
Analysis (分析學), 127, 140, 160-162; non-standard (非標準分析), 274-276
Analytic geometry (解析幾何), 參見 coordinate geometry
Anamnesis (追憶（anamnesis）), 2
Anaxagoras (阿那克薩戈拉), 11
Anaximander (阿那克西曼德), 11
Anaximenes (阿那克西美尼), 11
Apollonius (阿波羅尼奧斯), 22-23, 25, 27, 28, 106, 292
Arabs (阿拉伯), 32-33, 109-113
Arcadius (亞加狄), 32
Archilochus (阿基洛庫斯), 305
Archimedes (阿基米德), 22-23, 27, 28, 29, 106, 109, 132, 133, 137, 166, 277n, 308, 352
Archytas (阿基塔斯), 17
Argand, Jean-Robert (阿爾龔), 90, 157
Aristarchus (亞里斯塔克), 36
Aristotle (亞里士多德), 14, 17-18, 20, 22,46-48, 56, 101, 102, 104, 182-183, 185-186
Arnauld, Antoine (亞諾), 115
Arithmetic, baseball (棒球算術), 92-95
Astronomy (天文學), Greek (希臘), 12-14, 24-26, 107; heliocentric (太陽中心說), 36-40; Newtonian (牛頓學說), 61-63
Atomism (原子論), 15
Auden, W. H. (奧登), 115n
Avogadro (亞佛加厥), 93
Axiom of choice (選擇公設), 209-212, 225, 235, 267-270, 312, 313, 333
Axiom of infinity (無窮公設), 225
Axiom of reducibility (還原公設), 222-224
Axiomatics (公設法), 191-193, 197-198, 263, 284
Axioms (公設), 4, 20, 102; independence of (公設的獨立性), 193

B
Babbage, Charles (巴貝奇), 149
Babylonians (巴比倫), 10, 18-19
Bacon, Francis (培根), 48, 71, 282, 285, 306, 339
Baire, Rene (貝厄), 210, 232, 234, 335
Banach-Tarski paradox (巴納赫─塔斯基悖論), 269
Barber paradox (理髮師悖論), 205
Barrow, Isaac (巴羅), 51, 103, 114, 124, 128, 139
Bell, Eric T. (貝爾, E. T.), 257
Beltrami, Eugenio (貝特拉米), 86, 18
Berkeley, Bishop George (柏克萊主教), 56, 74, 145-147, 160, 243, 337
Bernays, Paul (柏內斯), 242, 249, 250, 255
Bernoulli, James, John, and Daniel (柏努利, 詹姆斯、約翰、丹尼爾), 61, 64, 117, 119-120, 137, 142
Bernoulli, Nicholas (柏努利, 尼古拉斯), 144
Bertrand, Joseph L. F. (貝特蘭), 161
Bessel, Friedrich Wilhelm (貝塞爾), 40, 82, 83, 87
Bhaskara (婆什迦羅), 11
Birkhoff, George David (柏克霍夫), 289, 296, 346
al-Biruni (阿爾-畢魯尼), 111
Bolyai, Johann (柏利亞, 約翰), 83, 86, 88, 164, 181, 182
Bolyai, Wolfgang (柏利亞, 沃夫岡), 82, 83
Bolzano, Bernhard (波札諾), 174, 238
Bombelli, Raphael (龐貝里), 115, 116, 117, 121
Boole, George (布耳), 157, 184-185
Borel, Emile (波瑞耳), 194, 202, 210, 232, 234, 238, 335
Bourbaki, Nicholas (布爾巴基), 6, 241, 256-257, 284, 320.323
Bouvard, Alexis (布瓦), 62
Boyer (波耶爾), Carl, 145
Brahe, Tycho (第谷‧布拉赫), 36
Brahmagupta (婆羅摩笈多), 11
Bravais, Auguste (布拉菲), 294
Bridgman, Percy W. (布里奇曼), 325
Brouwer, L. E. J. (布勞爾), 211, 234-244, 252-253, 332, 341
Burali-Forti, Cesare (布拉利夫提), 203, 206, 233
Byzantine empire (拜占庭帝國), 32

C
Cajori, Florian (卡裘利), 145
Calculus (微積分), 127-140; rigorization of (微積分的嚴格化), 174-176
Cantor, Georg (康托), 88, 179, 199-204, 209, 253-254, 273, 279, 322
Cardan, Jerome (卡達諾), 113, 116-117, 121, 125
Carnot, Lazare N, M. (卡諾), 151, 154, 160, 175
Cassini, Jean-Dominique and Jacques (卡西尼父子), 65
Categoricalness (範疇性), 271-272
Cauchy, Augustin-Louis (柯西), 69-70, 74, 154-155, 161, 163-164, 174-176, 279
Cavalieri, Bonaventura (卡瓦列裡), 128, 132-133
Cayley, Arthur (凱里), 91, 95, 96, 166, 295, 321-322
Characteristic triangle (特徵三角形), 136
Christianity (基督教), 31, 33-35
Chuquet, Nicolas (許凱), 115
Church, Alonzo (丘奇), 266, 267, 271, 323
Clairaut, Alexis-Claude (克萊侯), 62, 165
Clarke, Samuel (克拉克, 山姆爾), 72
Cohen, Paul (科恩, 保羅), 268-269, 270, 271
Completeness (完備性), 251, 258-264, 31
Concepts, undefined (無定義的概念), 20, 101, 180, 191
Consistency (一致性), 6,180-182, 192, 196-198, 228, 258-264, 310, 312
Constantine the Great (君士坦丁大帝), 31
Constructivity (構造性), 238-241
Continuity, and differentiability (連續和可微), 160-161, 177
Continuum hypothesis (連續統假說), 212, 245, 267-269
Convergence, of series (收斂, 級數的), 144, 176
Coordinate geometry (坐標幾何), 44, 123, 126
Copernicus, Nicolaus (哥白尼), 35-41, 5
Courant, Richard (庫朗), 288-289, 297-298, 305
Couturat, Louis (寇圖拉), 233
Creativity (創造力), 242-243
Curry, Haskell B. (庫利), 33

D
d'Alembert, Jean Le Rond (達朗貝), 61, 64, 69, 98, 118, 120-121, 142, 166, 174-175
Decision procedure (判定程序), 265-266
Dedekind, Richard (戴德金), 179.202.217.253,324
Deductive reasoning (演繹推理), 4, 20-22, 171
Democritus (德謨克里特), 15, 44
De Morgan, Augustus (笛摩根), 153, 155, 159, 184-185
Derivative (導數), 128-13
Desargues, Girard (迪沙格), 28
Descartes, Rene (笛卡兒), 41-45, 48, 50-51, 72, 74, 98, 114, 115, 117, 121, 123, 128, 183, 230-231, 278, 314, 326
Dickson, Leonard Eugene (迪克森), 283, 295-296
Diderot, Denis (狄德羅), 52, 67, 74, 127
Dieudonne, Jean (迪奧東涅), 299-300, 321
Differentiability, and continuity (可微和連續), 160-161, 177
Differential geometry (微分幾何), 7
Diocles (狄奧克勒), 27
Diophantus (丟番圖), 107-109, 266
Double elliptic geometry (雙橢圓幾何), 86
du Bois-Reymond, Paul (杜布瓦雷蒙), 215, 274
Duhem, Pierre (迪昂), 347
Dyson, Freeman J. (戴森), 302, 349

E
Eastern Roman empire (東羅馬帝國), 32
Eddington, Arthur Stanley (愛丁頓), 317, 341, 346
Egyptians (埃及), 10, 18-19
Einstein, Albert (愛因斯坦), 97, 243, 293, 325, 337, 340-341, 346-347, 349
Emerson, Ralph Waldo (愛默生), 328, 347
Empedocles (恩培多克勒), 27
Eratosthenes (厄拉多塞), 28
Euclid (歐幾里得), 22-23, 76-88, 100-102, 104, 105, 106, 114, 313, 320, 352; 另見 geometry, Euclidean
Eudoxus (歐多克索斯), 17, 23-25, 105, 114, 118
Euler, Leonhard (歐拉), 64, 66, 118-121, 125, 142-144, 147-148, 152, 199, 243, 28
Excluded middle, law of (排中律), 21, 182, 189, 237-239, 264
Existence, proofs of (存在性證明), 211, 214, 252, 312

F
Fermat, Pierre de (費馬), 65, 114, 121, 123, 128, 130, 132, 28
First order predicate calculus (一階述詞演算), 190, 260, 31
Fontenelle, Bernard Le Bouvier de (豐特列爾), 74
Formalism (形式主義), 245-253, 309-31
Fourier, Joseph (傅立葉), 64, 69-71, 161, 199, 286
Fraenkel, Abraham A. (弗朗克爾), 254
Frege, Gottlob (弗列格), 187-189, 192, 217-218
Frend, William (弗蘭德), 153
Fresnel, Augustin-Jean (弗瑞奈), 63, 7
Functions (函數), 124, 127-128; of complex variable (單複變函數), 7

G
Galilei, Galileo (伽利略), 41, 46-52, 71-72, 124
Galle, Johann (迦勒), 63
Galois, Evariste (迦羅瓦), 99, 161, 293
Garding, Lars (噶丁), 30
Gassendi, Pierre (伽桑狄), 51
Gauss, Karl Friedrich (高斯), 69-70, 81-87, 102, 157-158, 161, 164, 181, 182, 197, 281
Generalization (推廣), 283
Gentzen, Gerhard (根岑), 265
Geodesy (大地測量學), 7
Geography (地理學), 28
Geometry, coordinate (幾何, 坐標幾何), 44, 123, 126; differential (微分幾何), 70; double elliptic (雙橢圓幾何), 86; Euclidean (歐氏幾何), 78-80, 88, 101-103, 173, 181-182, 292; hyperbolic (雙曲幾何), 83-84; non-Euclidean (非歐幾何), 81-88, 100, 103, 164-165, 180-181, 292-293; projective (射影幾何), 96, 162-164, 182, 280; Riemannian (黎曼幾何), 293; single elliptic (單橢圓幾何), 86
Gergonne, Joseph-Diaz (哲恭涅), 191
Girard, Albert (吉拉爾), 116, 117, 121
Godel, Kurt (哥德爾), 6, 204, 255, 260-264, 267, 323, 331
Goethe (歌德), 7, 305-306, 326
Grandi, Guido (格蘭第), 139, 143
Grassmann, Hermann Gunther (格拉斯曼), 91-92,179, 191
Gravitation, law of (萬有引力定律), 53
Greek civilization, classical (希臘文明, 古典時期), 9-23; Alexandrian (亞歷山大時期), 22-29, 106-109
Gregory, David (格列高裡, 大衛), 124
Gregory, Duncan F. (格列高裡, 鄧肯), 159
Gregory, James (格列高裡, 詹姆斯), 128, 174, 184
Grelling, Kurt (葛列林), 205
Group theory (群論), 293-294
Guldin, Paul (顧爾丁), 133

H
Hadamard, Jacques (哈達瑪), 195, 210-211, 243, 318, 323
Halley, Edmund (哈雷), 52, 126, 145
Hamilton, William R. (漢米爾頓), 66, 73, 90-91, 95, 156, 177-178, 234, 321
Hankel, Hermann (韓克爾), 159, 324
Hardy, Godfrey H. (哈第), 194, 295-296, 314, 322
Harriot, Thomas (哈里厄特), 115-116, 121
Hausdorff, Felix (豪斯朵夫), 204
Heat, theory of (熱論), 7
Heaviside, Oliver (赫維塞德), 301
Heliocentric theory (太陽中心說), 36-4
Helmholtz, Hermann von (赫姆霍茲), 92, 287
Hempel, Carl (韓培爾), 227
Heraclitus (赫拉克利特), 11
Hermite, Charles (厄爾密特), 194, 322, 345
Heron (希倫), 27, 29, 106-108, 109
Herschel, John (赫歇爾, 約翰), 149
Herschel, William (赫歇爾, 威廉), 62
Hertz, Heinrich (赫茲), 338
Heterological paradox (悖己悖論), 205-206, 221
Heyting, Arend (赫汀), 243-244, 276, 324
Hilbert, David (希爾伯特), 182, 191, 193, 195-196, 204, 239, 242, 245-253, 259-260, 264, 323, 326, 329, 344-345
Hipparchus (希帕克斯), 23, 25, 26, 107
Hippasus of Metapontum (希帕索斯), 104
Hobbes, Thomas (霍布士), 51, 74, 124, 353
Hoene-Wronski, J. (弗朗斯基), 166
Hoffenstein, Samuel (賀芬斯坦), 241
Holmboe, Berndt (洪勃), 170, 175
Homer (荷馬), 305, 327
Honorius (荷諾裡), 32
Hooke, Robert (虎克), 49, 52
Hudde, John (胡德), 123
Humanism (人文主義), 34
Hume, David (休謨), 74-75, 87
Huygens, Christian (惠更斯), 48, 51, 53, 55, 128, 28
Hydrodynamics (流體力學), 64
Hydrostatics (流體靜力學), 28-29
Hyperbolic geometry (雙曲幾何), 83-84

I
Identity, law of (同一律), 183
Implication, material (實質蘊涵), 187-188, 22
Impredicative definition (涉己定義), 207-208
India (印度), 32, 109-111
Induction, mathematical (歸納法, 數學歸納法), 233; transfinite (超限歸納法), 265
Infinitesimals (無窮小), 136-137, 147-148, 273-276
Infinity (無窮), 199-200; of series (無窮級數), 140-145, 176; of sets and numbers (無窮集合和數), 199-204, 212
Integral (積分), 130-132
Intuition, versus logic (直覺, 相對於邏輯), 312-318
Intuitionism (直覺主義), 230-244, 246, 251-252, 309-31
Ionians (愛奧尼亞), 9, 11

J
Jacobi, Karl Gustav Jacob (雅可比), 88, 166, 286
James, William (詹姆斯, 威廉), 67, 99, 206, 342
Jeans, Sir James (金斯), 58, 338, 345-346
Jevons, William Stanley (傑豐斯), 185
Johnson, Samuel (約翰遜, 山姆爾), 57
Jordan, Camille (焦丹), 294

K
Kant, Immanuel (康德), 50, 75-78, 87, 183, 231-232, 234, 252, 319, 325, 341-342
Kastner, Abraham G. (凱斯特納), 81
Kepler, Johannes (刻卜勒), 31, 35-41, 50, 128; his laws (刻卜勒運動定律), 37-40, 52
Klein, Felix (克萊恩, 菲利克斯), 86n, 96, 241, 274, 287-288, 316
Klugel, Georg S. (克呂格), 81, 84
Kronecker, Leopold (克羅涅可), 203, 214, 232, 287, 332

L
Lacroix, Sylvestre Francois (拉克洛瓦), 149, 161, 166
Lagrange, Joseph-Louis (拉格朗日), 58, 61-62, 64, 69, 73, 152, 144, 148-149, 142, 280-281
Lakatos, Imre (拉卡托斯), 316-317
Lambert, Johann Heinrich (蘭伯特), 81, 84, 164, 182
Laplace, Pierre-Simon (拉普拉斯), 4, 61-62, 67, 69, 73, 176, 335, 348
Lebesgue, Henri (勒白格), 92, 202, 210, 212, 232, 234, 315, 335
Legendre, Adrien-Marie (勒尚德), 161
Leibniz, Gottfried Wilhelm (萊布尼茲), 55, 60-61, 72, 102, 115, 117, 119-120, 125, 128, 134, 136-140, 142, 143, 144, 152, 163, 174, 183, 217
Leucippus (留基伯), 15
Leverrier, Urbain J, J. (勒維列), 63
L'Huillier, Simon (呂利耶), 150, 175
Liar paradox (說謊者悖論), 222
Limit, concept of (極限的概念), 174-175
Lindemann, Ferdinand (林德曼), 232
Lobatchevsky, Nikolai Ivanovich (羅巴切夫斯基), 83-84, 85, 86, 88, 164, 181, 182
Locke, John (洛克), 74
Logic (邏輯), 19-22, 182-190, 219, 221, 236-237, 243-244, 248, 311-312; versus intuition (相對於直覺), 312-318; mathematical (數理邏輯), 184-190; symbolic (符號邏輯), 184-19
Logistic school (邏輯學派), 216-230, 309-31
Lowenheim, Leopold (洛溫罕), 271
Lowenheim-Skolem theory (洛溫罕─斯寇楞理論), 271-273

M
Maseres, Francis (馬塞瑞斯), 119, 154
Mathematics, concepts of (數學, 數學概念), 167-168; and language (數學和語言), 235-236, 242-243; and logic (數學和邏輯), 184-190; pure versus applied (純數對應數), 278-282, 351-352; and religion (數學和宗教), 34-35, 51, 58-59, 65-66, 71-73, 168-169; rigorization of (數學的嚴格化), 5, 172-182, 194; and science (數學和科學), 3-4, 9-11, 18, 24-29, 35-38, 43-45, 52-55, 57-58, 168, 328-331, 336-337; 另見 astronomy, induction, mechanics, optics, music, heat
Matrices (矩陣), 91, 166
Matyasevich, Yuri (馬提雅塞維奇), 266
Maupertuis, Pierre-Louis Moreau de (莫佩爾蒂), 65
Maxwell, James Clerk (馬克士威), 70, 136
Mechanics, Greek (力學, 希臘力學), 25; Galilean (伽利略力學), 46-47; Newtonian (牛頓力學), 45, 52-58
Mechanism (機械論), 45, 51, 56-57
Middle Ages, Europe (中世紀歐洲), 33
Menelaus (梅內勞斯), 23
Mersenne, Father Marin (莫森尼), 43
Metamathematics (後設數學), 250-251
Metaphysics (形上學), 152
Mill, John Stuart (彌爾), 329, 332
Monge, Gaspard (蒙日), 163
Montaigne (蒙田), 353
Moore, Eliakim H. (穆爾), 318
Mostowski, Andrzej (莫思妥斯基), 329
Motion, Newton's laws of (牛頓運動定律), 49
Music, and sound (音樂和聲音), 12, 63-64

N
Napier, John (納皮爾), 113
Napoleon (拿破崙), 73, 164
Nelson, Leonard (奈爾遜), 205
Neptune, discovery of (海王星的發現), 62-63
Neugebauer, Otto (諾格包爾), 292
Neumann, John von (馮諾曼), 249, 255, 272, 291, 299, 330-331
Newton, Sir Isaac (牛頓), 50-58, 72, 76, 117, 121, 124, 128, 134-136, 139-140, 141-142, 144, 174; laws of motion (牛頓運動定律), 49; religious views (牛頓的宗教觀), 58-6
Nietzsche, Friedrich (尼采), 315
Nieuwentijdt, Bernhard (紐汶泰特), 137
Non-Euclidean geometry (非歐幾何), 81-88, 100, 103, 164-165, 180-181, 292-293; 另見 double elliptic, single elliptic, and hyperbolic geometry
Number (數), 103-107; complex (複數), 90, 116-121, 153-158, 177-178; infinite (無窮大), 199-204, 212; irrational (無理數), 104-105, 107, 113-114; negative (負數), 114-116, 118-119, 153-155; real (實數), 116-118, 179; theory of (數論), 200-203, 235; transfinite (超限數), 200-203, 235

O
Olbers, Wilhelm (奧柏斯, 威廉), 69, 87
Omar (奧瑪), 32
Optics (光學), 26-28, 45, 63, 65; Newton's (牛頓光學), 57, 58
Ovid (奧維德), 9

P
Pacioli, Luca (帕奇歐利), 113
Paradoxes (悖論), 5, 198-199, 202-208, 221-222, 349
Parallel axiom (平行公設), 78-84
Pascal, Blaise (帕斯卡), 41, 45-46, 50, 102, 103, 114-115, 124, 128, 133-134, 182, 230-231, 237, 280, 307, 313-314, 319, 324, 353
Pasch, Moritz (帕許), 182, 191-193, 241
Peacock, George (皮考克), 149, 158-159, 184
Peano, Giuseppe (皮亞諾), 179, 189-192, 210, 274, 278
Peirce, Charles Sanders (普爾斯), 186-187, 349
Philip of Macedonia (菲利普, 馬其頓國王), 22
Philo of Megara (菲羅, 麥加拉的), 187
Philolaus (菲羅勞斯), 12
Piazzi, Giuseppi (皮亞齊), 69
Picard, Emile (畢卡德), 177, 194, 335
Pieri, Mario (皮耶裡), 182
Planck, Max (普朗克), 88
Plato (柏拉圖), 15-17, 19, 88, 101, 105, 213-214; Platonism (柏拉圖主義), 5, 15, 323-324
Playfair, John (普雷菲爾), 79-8
Plutarch (普魯塔克), 17
Poincare, Henri (龐卡赫), 3, 172, 182, 194-195, 203, 208, 210, 216, 224, 227, 233-234, 273, 279, 287-288, 313, 342-344
Poncelet, Jean-Victor (彭斯勒), 162-164
Pope, Alexander (波普), 153
Popper, Karl (巴柏), 316, 32
Principle of continuity (連續性原理), 138-139, 162-164
Principle of least action (最小作用量原理), 65-66, 73
Principle of least time (最短時間原理), 65
Principle of permanence of form (形式常恆原理), 159-160, 184
Pringsheim, Alfred (普林賽姆), 198-199
Projective geometry (射影幾何), 96, 162-164, 182, 28
Proof (證明), 18-21, 165-170, 311, 315-321; of existence (存在性證明), 211, 214, 252, 312
Propositions, undecidable (不可判定的命題), 239, 261-262, 266-267, 272
Ptolemy, Claudius (托勒密), 22-26, 28-29, 107
Ptolemy Soter (托勒密‧索托), 29
Pythagoreans (畢達哥拉斯學派), 11-15, 104-105, 280, 283

Q
Qualities, primary and secondary (質性, 第一和第二質性), 44
Quaternions (四元數), 91, 174, 184
Quine, Willard Van Orman (蒯恩), 227, 229, 256, 33

R
Ramsey, Frank Plumpton (蘭姆西), 206, 223-224
Religion (宗教), 參見 mathematics, and religion
Richard paradox (理查悖論), 206
Riemann, Georg Bernhard (黎曼), 85-86, 88, 164, 181, 293, 32
Riemannian geometry (黎曼幾何), 293
Rigorization (嚴格化), 參見 mathematics, rigorization of
Roberval, Gilles Persone de (羅貝瓦), 128
Robinson, Abraham (羅賓森), 274
Roemer, Olaus (羅默), 63
Rolle, Michel (洛爾), 165
Romans (羅馬), 31-32
Rudolph II, Emperor of Austria (魯道夫二世, 奧地利皇帝), 36
Ruffini, Paolo (盧斐尼), 293
Russell, Bertrand (羅素), 96-97, 162, 190, 202-205, 210, 218-230, 251, 274, 277, 315, 331
Russell's paradox (羅素悖論), 205

S
Saccheri, Gerolamo (薩凱里), 80-81, 165
Santayana, George (桑塔亞納), 335
Schopenhauer, Arthur (叔本華), 234, 312
Schroder, Ernst (胥洛德), 186
Schrodinger, Erwin (薛丁格), 349
Schwartz, Laurent (史瓦茲, 勞倫), 299
Scientific method, of Descartes (科學方法, 笛卡兒), 51; of Galileo (伽利略), 46-49,51; of the Greeks (希臘), 50-51; of Newton (牛頓), 52-57
Seneca, Lucius (塞內加), 99
Series, convergence of (級數, 收斂), 144, 176; infinite (無窮級數), 140-145, 176
Sets, infinite (無窮集合), 199-204, 212
Set-theoretic school (集合論學派), 248, 253-256, 268-269, 309-31
Shelley, Percy Bysshe (雪萊), 310-311
Single elliptic geometry (單橢圓幾何), 86
Skolem, Thoralf (斯寇楞), 271-272
Slater, John C. (斯雷特), 302
Smith, Henry John Stephen (史密斯, 亨利), 103
Snell, Willebrord (斯涅耳), 45, 63
Sound, and music (聲音和音樂), 12, 63-64
Specialization (專門化), 283
Statistics, view of nature based on (統計觀, 用於解釋大自然), 348
Stevin, Simon (史蒂文), 113-116
Stifel, Michael (史蒂費爾), 113, 114
Stolz, Otto (史竇茲), 274
Stone, Marshall (史東), 296-297
Sylvester, James Joseph (席維斯特), 166
Synge, John L. (辛濟), 289-291

T
Tait, Peter Guthrie (泰特), 287
Talleyrand (塔列朗), 305
Taurinus, Franz Adolf (陶利努斯), 82
Telescope (望遠鏡), 41
Tetractys (十的完美理論 （Tetractys）), 14
Thales (泰利斯), 11
Theodosius (狄奧多西), 31-32
Three-body problem (三體問題), 61-62
Thomson, William (Lord Kelvin) (凱爾文爵士), 287
Transcendental irrationals (超越數), 232
Transfinite induction (超限歸納法), 265
Transfinite numbers (超限數), 200-203, 235
Trigonometry (三角學), 23, 110-111
Truesdell, Clifford E. (楚斯岱爾), 302
Truth (真理), 4, 9, 16, 19, 42-45, 92-100, 217
Types, theory of (類型論), 221-222

U
Unamuno, Miguel de (烏納穆諾), 319

V
Vector (向量), 89-9
Veronese, Giuseppe (維洛內希), 182
Vieta, Francois (韋達), 113, 121-123, 125-126
Voltaire (伏爾泰), 55, 65, 66, 151, 195

W
Wallis, John (沃利斯), 114, 116, 118, 124, 128, 137, 174
Weber, Wilhelm (韋伯, 威廉), 7
Weil, Andre (威爾), 326
Weierstrass, Karl (懷爾斯查司), 177-179, 238, 324
Well-ordering (良序), 196, 209; 另見 axiom of choice
Weyl, Hermann (懷爾), 6, 195, 208, 224, 226, 235, 237, 239, 242, 246, 252, 265, 284, 319-320, 324-325, 329-330, 335-336, 347-348
Wessel, Caspar (魏塞爾), 90, 157
Whitehead, Alfred North (懷德海), 219-229, 315, 341, 354
Wigner, Eugene P. (威格納), 349
Wilder, Raymond L. (懷爾德), 314, 318
Wittgenstein, Ludwig (維根斯坦), 324
Wren, Christopher (雷恩), 52
Woodhouse, Robert (伍德浩斯), 154
Wordsworth, William (華茲華斯), 99, 100, 328

Y
Young, Thomas (楊, 湯瑪士), 63

Z
Zeno's paradox (芝諾悖論), 349
Zermelo, Ernst (哲美羅), 208-211, 254, 333

References:

《數學：確定性的失落》譯序
數學：確定性的失落