藍色情懷

陳省身
整理：林麗明

幾何原本

在差不多一百年前，幾何就是歐幾里得。他在公元前三百年左右寫了一部大書，中文叫做《幾何原本》。從這本書我們可以看出：在當時的社會，幾何並不被大家所 注意，所以像歐幾里得這樣偉大的人，我們也不大知道他的生平。大致說起來，他是屬於西元前365～275年間的人物，這是大致算的時間，並不表示他活了 90歲。

這本書是人類文化史上一部非常偉大、有意義的著作，它的主要結論有兩個：

一.畢氏定理： 有一直角三角形 ABC，則長邊的平方會等於其他兩邊的平方和。 由幾何方面來說，如果我們在三邊上各作一個正方形， 那麼兩個小正方形的面積和就會等於大正方形的面積（見圖一）。

圖一 c2=a2+b2

 

二.三角形 三內角之和等於 180°，如果以弳 (radian) 為單位， 也可以說三角形三內角之和等於 π

這本書在當時受到重視，不單隻是為了學幾何，主要還要學一種邏輯推理的方法。歐幾里得用幾個很明顯的事實──公理，把幾何的結論從公理用邏輯的方法 推出。而在他所列出的公理當中，較受爭議的是平行公理。平行公理原來是說：有兩條直線被一直線所截，如果截角的和小於 180°，那麼這兩條直線在充分延長後，必相交於一點。（見圖二）

圖二

另一個簡單的說法是：假使有一直線和線外一點， 那麼通過那個點就剛剛好只有一條直線和原來的直線平行。 平行者，就是這兩條直線不相交（見圖三）。

圖三

這個平行公理在所有公理之中是最不明顯的，所以數學家或是對數學有興趣的人便想從其他的公理去推得平行公理。而這努力延持了兩千年，後來證 明這是不可能的，於是有了非歐幾何學的發現，這在人類思想史上是非常特別、有意思的事實。因此我感覺到這是西洋數學和中國數學不同的地方。

《九章算經》是中國古代最有名的數學書，一共九章，第九章談的是所謂勾股，勾、股就是直角三角形中較短約兩個邊，一個叫做勾，另一個就叫 做股，而最長的那個邊便稱為弦。勾股定理也就是剛才所謂的畢氏定理，所以它的發現，中國人也應該有份。但是在中國的幾何中，我無法找到類似三角形三內角和 等於 180° 推論，這是中國數學中沒有的結果。

因此，得之於國外數學的經驗和有機會看中國數學的書，我覺得中國數學都偏應用；講得過分一點，甚至可以說中國數學沒有純粹數學，都是應用 數學。這是中國科學的一個缺點，這個缺點到現在還存在，大家都講應用，不注意基礎科學。當然應用很要緊，但是許多科學領域基本的發現都是在基礎科學。

球面幾何與非歐幾何

因為有三角形三內角之和等於 180° 這個結論，而有接下來的重要發展：

一、球面幾何 球面幾何所討論的三角形，不一定是要在平面上，也可以是一個球面三角形，在這個情形下，三角形三內角之和會大於 180°，並且有一個非常重要的公式：

R 是球的半徑，R² 則是度量球面的曲率，因此有曲率的觀念跑到這樣一個簡單的公式裡。這在數學或物理上是一個重要發展，因為愛因斯坦的相對論中，曲率＝ 1/R² 代表一個場的力，所以幾何度量和物理度量便完全一樣。

 

二、非歐幾何 在這個情形下，三角形三內角之和是小於 180°的，即有如下的重要公式：

此時 R² 代表非歐幾何的一個絕度的度量，換句話說在非歐幾何的平面上，它的曲率是負的，即 曲率＝ 。因此，在空間或者平面的曲率，可以是正的，像球面幾何；也可以是負的，像非歐幾何。而其相對應的三角形三內角和，也分別有大於或小於 180°之情形，不再滿足歐幾里得的平行公理。

歐幾里得幾何之後，第二個重要的發展是坐標幾何。這是法國哲學家、數學家笛卡兒（1596～1650年），對於研究幾何，引進了坐標的概念，因此可用解析的方法來處理幾何的問題。坐標就是說：假使在 X-Y 平面上，有兩個軸：X 軸和 Y 軸，那麼一個點的兩個 X、Y 坐標，就分別以如圖四中的兩個相對應的度量來表示。

圖四

因此幾何的討論可用解析方法，即：

於是幾何的問題便成為代數的問題。

這樣的發展不但使幾何問題的處理容易些，更有其重大的意義：

一、解析之後，使可研究的圖形的範圍擴大，除了直線的一次方程式， 或者圓周的二次方程式，我們還可以取任意的方程式 f(x,y)=0， 討論所有點它的坐標 (x,y) 適合這樣方程式的軌跡。 因此許多用幾何的方法很難處理的曲線，在解析化之後， 都可從表示它的方程式中得到有關的幾何性質。

 

二、研究的圖形不再侷限在二維的平面上，可推廣至高維的空間。 世界上的事情，如果只用二維的平面，往往不足以表示， 需要取更多的坐標。例如我們所在的空間是三維，有 x、y、z 三個度量。 假使要用幾何來表示物理的問題，那麼三個度量之外，尚須加一個時間 t， 所以物理的空間就變成了四維的空間；不但如此，假使有一點在三維空間運動，那麼除了需要 (x,y,z) 來表示點的位置， 還需要這三坐標對時間的微分來表示它的速率， 即 ( )， 這就成了六維空間。所以種種的情形都指示我們有必要考慮更高維的空間， 來表示自然的現象。

解析幾何把幾何研究的範圍大大地擴大了，而科學發展的基本現象， 就是要擴大研究的範圍，了解更多的情形。笛卡兒的解析幾何， 便達到了這個目的，使幾何學邁入一個新的階段。

第三個發展是群的觀念，這是數學上一個基本的結構。數學上總是要運算，加、減、乘、除；研究幾何的話，把這個東西從這個位置移動到其他的位置，也是個運 算。而這樣的運算（也稱為運動）有一個特別的性質，也就是說：把一個物體從甲地移到乙地，再移到丙地，可直接把物體從甲地移到丙地，即兩個運動的結果，可 經由一次運動來達成，具有這個特殊性質的，便稱其成一群。研究幾何的對象，應是研究經運動群後是不變的幾何的性質。這個觀念立刻便有了重要的發展。

既然討論運動群，有時我們還想討論更大的群，看是不是有些性質不但在運動群下不變，在更大的群之下也是不變。歷史上最主要的例子是投影。 假使兩條直線在空間中相交，從一點投影，被一新平面所截，則所得之二直線仍舊是相交。這種「直線相交」的幾何性質，是經過一種比運動還廣的投影之後，仍然 不變的。這也有許多應用，如藝術家畫畫，講求透視，遠近合乎幾何的條件。

研究幾何性質在投影群之下不變的是所謂投影幾何。投影幾何的發展，把幾何的觀念推廣了，不只是有普通的歐幾里得幾何（討論幾何性質經運動 群後不變的），也可以討論投影幾何中，投影后仍是不變的性質。有許多經運動群後不變的性質，在投影變換後是變了的，像距離、角度，但是還有些更重要的性質 在投影下是不變的，而且這些性質能經過（大一點的）投影群不變，在幾何上自有其重要的意義。

法國數學家 Poncelet（1788～1867年），在投影幾何發展史上是一個主要的人物。他曾追隨拿破崙攻打俄國，被俄俘擄，囚禁在俄國監獄中，而他的主要著 作，也就是在此時完成的。因此，大家常常抱怨科學研究的設備不好，相形之下，這個例子可以證明這不是科學研究最主要的問題──當然這情形非常例外。

黎曼及克萊恩的幾何學

在幾何學的發展之中，有許許多多幾何學，像歐幾里得幾何學、投影幾何學……及其他種種幾何學，自然就要有一個人把它綜合集結起來，那就是德國的數學家克萊 恩（F. Klein, 1849～1925年）。他在二十二歲的時候，前往德國小城 Erlangen 的一所大學任教。依據德國的習慣，新教授上任必須做一次公開演講，而他講演的結果──Erlangen program，就是這個新幾何學，他把幾何學建立在群的觀念上：一個空間有一個變換群，允許把空間的圖形從這個位置移到另一個位置。因此有了一個群之 後，便有一種幾何，它研究所有經過這個變換群不變的幾何性質。這個群可以是歐幾里得運動群，也可以是投影變換群，或者其他種種的群。因為群的選擇不同，也 就得到許多不同的幾何學；其中包括非歐幾何學。

仿克萊恩的觀點，只要在空間中有一個所謂二次的超曲面，就有一個非歐幾何，它討論使這個二次超曲面不變的投影變換子群所相應的幾何性質。 如：在平面上有一個圓周，非歐幾何就變成研究圓內點所構成的空間的性質，也就是在雙曲平面 (hyperbolic plane) 上討論。因此由克萊恩的觀點，非歐幾何學就變得極易處理。

在這階段前，還有黎曼 (Riemann) 幾何的發展，這是笛卡兒坐標幾何的自然推廣。在笛卡兒坐標系中如果我們取 m 維的空間，一個點就可以用 m 個坐標 來表示，而此點到原點的距離如果是 d，那麼就有 （見圖五）。即這個點到原點距離的平方，是坐標的一個二次式。而黎曼不但用坐標，他還用坐標的微分，於是硬把笛卡兒幾何局部化。因此黎曼幾何可說是一個局部化的幾何。黎曼幾何主要建構在弧長 s 上，弧長微分的平方會等於坐標的一個二次微分式，即 ；用弧長即可建立一個幾何，因為既然有了 ds，便可計算兩點所連接的曲線的長度，也就是弧長。「測地線」(geodesic) 是指在兩點間使弧長最短的那條曲線，它是平面上直線的推廣。有了測地線，便可以有面積及其他種種觀念。

圖五

黎曼幾何最初在二維的情形是高斯（Gauss, 1777～1854年）發展的，他在1827年寫了一本差不多五十頁的小冊子，研究在二維（即曲面）的情形及這樣的 ds² 之下，所能夠發展的幾何性質。他的目的是為了應用，因為當時的德國 Hannover 政府要他主持一個測量工作，為了給這個測量工作一個理論甚礎，於是高斯寫下了這篇在微分幾何上最要緊的論文，微分幾何自此誕生。以前關於把微積分用在幾何 上的問題，只能說是微積分在幾何學上的應用，在高斯這篇文章之後，微分幾何便成了一門獨立的學問，就是從 ds² 得到一切的幾何性質。

1854年，黎曼（1826～1866年）在為取得大學教書資格的公開演講上，發表了黎曼幾何的第一篇論文。黎曼幾何並不像其他我們所談的歐幾里得幾何， 或者克萊恩的 Erlangen program 幾何，或者是投影幾何，需要整個的空間。在黎曼幾何的情形之下，我們只需要空間的一部分，因為 ds² 有意義，我們便可量弧長、面積、角度等幾何性質，不需要知道全部的空間。也就是說，在這樣的一個小塊裡，便可發展全部的幾何性質，這是黎曼幾何革命性的觀念，使幾何局部化，這個和物理上的場論是完全符合的。

真正使黎曼幾何受到重視的是愛因斯坦的廣義相對論。大致說起來，愛因斯坦的廣義相對論是要把物理幾何化，也就是說把物理的性質變為幾何的性質，因此黎曼幾 何就成為物理學家一定要念的一門數學。到了黎曼空間一樣有曲率的概念，只是因為黎曼空間是高維的，所以它的曲率概念就變得相當複雜。在愛因斯坦的廣義相對 論中的基本公式裡，大致說起來，物理的力是一個曲率；數學家講曲率和物理學家講力、位 (potential)、速度，是完全可以把它們連在一起的。

聯絡、矢量叢、規範場論

在黎曼幾何中，Levi-Civita 平行性是一個重要的觀念。Levi-Civita 以為在黎曼幾何（廣義相對論裡的其中一種，稱為勞倫茲幾何）都有一個很基本的性質，那就是平行性；在這個時候，空間不再是只用一個坐標系表示的空間，而是 需要很多不同的坐標系才能表現的「流形」(manifold)，這樣又把幾何研究的空間推廣了。所以我常有個比喻，如果我們把幾何空間的推廣和人類穿衣服 的過程相對照，那麼一開始的歐幾里得幾何，便好比人在原始社會中沒有穿衣服，是裸體的；然後笛卡兒把坐標的概念加入了「赤裸」的空間，就好比人類開始穿衣 服；而到了流形的階段，就好比現代人，不只穿一件衣服，還要常常換。也許有些人不太能接受這樣「奇裝異服」式的換坐標，但是沒有關係，愛因斯坦花了七年的 時間，才終於接受坐標可以轉換的概念，而能從狹義相對論進展到廣義相對論。空間中有不同的坐標系，那麼麻煩就來了，因為幾何的性質是和坐標系的選取有關， 不過不要緊，只要我們能控制坐標變換的性質，使在變換前即有的性質，經過變換之後仍為我們所控制，那麼換坐標就沒關係了，這是近代幾何學比較困難的地方。

用以表示流形的坐標系是任意的，因此可能是非線性的坐標，這在處理上就變得比較困難;但是我們可以取線性的空間去逼近流形。換句話說，雖然流形本身是非線 性的，但在流形上的一點，都有一個和普通空間一樣的線性空間，即切空間。這些切空間之間原本是沒有關係的，而 Levi-Civita 平行性就是要建立二點之間的切空間的關係；之後，微分幾何學家發現，這個平行性是非常基本的性質。又因為拓樸學 (topology) 的發展，我們把這個觀念推廣了，不一定要談切空間，任意一個空間都可以，於是就有矢量叢 (vector bundles) 和聯絡 (connections) 的觀念。也就是說流形的切空間差不多是平的，但是矢量叢卻可以是一個豎起來的空間，任何的矢量空間都可以，這是今天在幾何上大家所公認的一個基本結構。從 黎曼幾何推廣到有聯絡的矢量叢，這也就是物理上規範場論 (gauge field) 的數學基礎。

虧格、結、圓周叢

黎曼幾何把幾何局部化，但我們不能永遠只在一個小區域裡頭，所以局部化之後又要整體化，又要把它擴充到全空間。而在這個整體化的擴充當中，最要緊的就是拓 樸學。只要我們不把一個圖形扯破，那麼就有些幾何性質雖經過放大、縮小等很大的變換，也不會改變，例如虧格 (genus) 的性質。比方說我們在一個二次的曲面上挖兩個洞（見圖六），那麼它的虧格就等於 2。虧格也可以等於 3、4……，或者像美國的甜甜圈只有一個洞，虧格就是 1。即虧格等於洞的個數，這個數目是把曲面放大縮小之後仍舊不變的，這是拓樸不變式的一個例子。

圖六

圖七

另外一個例子是有關於結 (knot)。如圖七，這是一個三維空間中封閉的曲線，沒有辦法把它解開成一圓周，這就是所謂的結。不要把這想成幾何學家沒有事在玩的東西，在應用上，這 有非常重要的意義。剛才說過，物理上的空間是四維的，如果再加上電磁場，就成了五維的空間。馬克士威方程式中，底空間是一個四維的流形，在那上頭的每一點 都突出去一條一維的空間（矢量叢）。這一維的空間，在物理上必須是封閉的，所以是一個圓周，數學家稱此為圓周叢 (circle bundles) 也就是說，底空間是四維，每一點又有一個圓周，所以整個空間就是五維的。但是這並不是一個任意的五維空間，它必須滿足這樣特別的一個幾何結構。利用這個觀 念，馬克士威方程就可寫成下面這樣簡單的形式：

其中 F 是這個圓周叢的一個聯絡的曲率，這曲率是一個二次微分式，d 是代表此微分式的外微分，dF=0 就是說這個二次微分式是封閉的。

另外一個方程式是 δ， ， 即所謂餘微分(codifferential)。在一般的電磁學書上，是用一組方程來表現馬克士威方程。現在由於數學或幾何的發展，不但把一組方程式簡 化，而且可由這化簡的方程式去推得數學、幾何、物理上的結論，並不一定要回來把方程式全展開才可獲得相同的結論。所以這觀念上的發展，的確使得科學進步。 如果大家有興趣，可試著去證明這組方程和平常我們所見的馬克士威方程是一樣的。

在物理上有一個 Bohn-Aharonov 實驗，就是說：普通把馬克士威方程寫成那樣的形式是不對的。因為它沒有把所有的電磁現象都表示出來，應該利用圓周叢聯絡 A，dA=F 才是描寫所有電磁現象的方程式，dF=0 只是 dA=F 的一種結果。Bohn-Aharonov 實驗的裝置（見圖八），有一個內有磁場的圓筒，外面沒有磁場，而在圓筒的外圍接有線圈，那麼圓筒內的磁場，便和通電之路徑有關。楊振寧先生有一篇文章把這情形說得很清楚。

總之，就是應該把馬克士威方程寫成：

的形式（也就是楊-Mills 方程式），用以處理更複雜的實驗，也才能真正代表所有電磁現象。除此之外，楊-Mills 方程式是一切場論的基礎，是規範場論的基本方程式，它的重要性就如同馬克士威方程在電磁場或愛因斯坦方程在引力場的重要性。不過在這個情形下，矢量叢就變 成二維而不是一維了，那麼作用在這個二維矢量叢上的群就不再是可交換，因此數學上的處理就變得很複雜了。

DNA 的基本公式

最後談談 James White 的公式，這在分子生物學，DNA 方面是一個基本公式。DNA 在幾何上的結構是雙螺線，是兩條封閉的曲線互相繞著，所以很自然的，研究 DNA 幾何結構的基礎是很簡單的微分幾何的曲線理論，和剛剛談的結有關，即打了一個結，結的數學性質就對應到 DNA 的生物反應。目前王倬教授正在南港從事這方面的實驗。

DNA 分子雖是一個螺線，卻不像我們所想像的，它的螺線是以最經濟的方式互相纏繞，而產生了許多複雜而有意思的幾何問題。之中有一個就是 White 的公式：L_k=T_k+W。兩個封閉曲線套起來的話有一個套數 L_k，它會等於 twist 和 writhing-number 之和。套的數目可以很大很大，分子生物的現象，不僅是可以使它套起來，也可以使它解開，恢復原來的形狀。總而言之，我不懂這些生物學，只是道聽塗說。

大家覺得微分幾何應該是很有用的，因為在物理學發展之中，電磁學對人類日常生活是最有影響的；而在遺傳工程及其他方面，DNA 的結構也是生物科學對人類生活最有影響的一門學問。很巧，我剛好就是研究這兩門學問的數學基礎：微分幾何。這讓我聯想到一個有名的理論物理學家，E. Wigner 所寫的一篇文章：〈The unreasonable effectiveness of mathematics in science〉。為什麼數學會有用？光玩玩虧格、結，竟也能找到有用的數學性質，提供了很好的應用，他覺得很不可思議。在這篇文章的開頭，他舉了一個更 簡單的例子：有兩箇中學同學，畢業後各奔前程，若干年後，兩個人再度碰面，甲便問乙近幾年在研究什麼？乙說他在研究人口問題，甲便欣賞了一下乙的論文，發 現論文裡頭總有個 π。我們都知道 π 是圓週率，怎麼可以和人口問題發生關係？這也是一個最粗淺的例子，告訴我們：基本的發現，有時候也不一定要求立刻的應用，可能結果有更大的應用。

非歐幾何的由來

    非歐幾何學是一門大的數學分支，一般來講 ，他有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。所謂廣義式泛指一切和歐幾里的幾何學不同的幾何學，狹義的非歐幾何只是指羅式幾何來說的，至於通常意義的非歐幾何，就是指羅式幾何和黎曼幾何這兩種幾何。

    歐幾里得的《幾何原本》提出了五條公設，長期以來，數學家們發現第五公設和前四個公設比較起來，顯得文字敘述冗長，而且也不那麼顯而易見。

    有些數學家還注意到歐幾里得在《幾何原本》一書中直到第二十九個命題中才用到，而且以後再也沒有使用。也就是說，在《幾何原本》中可以不依靠第五公設而推出前二十八個命題。

    因此，一些數學家提出，第五公設能不能不作為公設，而作為定理？能不能依靠前四個公設來證明第五公設？這就是幾何發展史上最著名的，爭論了長達兩千多年的關於「平行線理論」的討論。

    由於證明第五公設的問題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走的對不對？第五公設到底能不能證明？

    到了十九世紀二十年代，俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基在 證明第五公設的過程中，他走了另一條路子。他提出了一個和歐式平行公理相矛盾的命題,用它來代替第五公設，然後與歐式幾何的前四個公設結合成一個公理系 統，展開一系列的推理。他認為如果這個系統為基礎的推理中出現矛盾，就等於證明了第五公設。我們知道，這其實就是數學中的反證法。

    但是，在他極為細緻深入的推理過程中，得出了一個又一個在直覺上匪夷所思，但在邏輯上毫無矛盾的命題。最後，羅巴切夫斯基得出兩個重要的結論：

    第一，第五公設不能被證明。

    第二，在新的公理體系中展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，並形成了新的理論。這個理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴密的幾何學。

    這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。這是第一個被提出的非歐幾何學。

    從羅巴切夫斯基創立的非歐幾何學中，可以得出一個極為重要的、具有普遍意義的結論：邏輯上互不矛盾的一組假設都有可能提供一種幾何學。

    幾乎在羅巴切夫斯基創立非歐幾何學的同時，匈牙利數學家鮑耶‧雅諾什也發現了第五公設不可證明和非歐幾何學的存在。鮑耶在研究非歐幾何學的過程中也遭到了 家庭、社會的冷漠對待。他的父親——數學家鮑耶‧法爾卡什認為研究第五公設是耗費精力勞而無功的蠢事，勸他放棄這種研究。但鮑耶‧雅諾什堅持為發展新的幾 何學而辛勤工作。終於在1832年，在他的父親的一本著作裡，以附錄的形式發表了研究結果。

    那個時代被譽為「數學王子」的高斯也發現第五公設不能證明，並且研究了非歐幾何。但是高斯害怕這種理論會遭到當時教會力量的打擊和迫害，不敢公開發表自己 的研究成果，只是在書信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來公開支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。

羅式幾何

    羅式幾何學的公理系統和歐式幾何學不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用「從直線外一點，至少可以做兩條直線和這條直線平行」來代替，其他公理基本相同。由於平行公理不同，經過演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內容不同的新的幾何命題。

    我們知道，羅式幾何除了一個平行公理之外採用了歐式幾何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的，在羅式幾何中也同 樣是正確的。在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，再羅式幾何中都不成立，他們都相應地含有新的意義。下面舉幾個例子加以說明：

    從上面所列舉得羅式幾何的一些命題可以看到，這些命題和我們所習慣的直觀形像有矛盾。所以羅式幾何中的一些幾何事實沒有像歐式幾何那樣容易被接受。但是，數學家們經過研究，提出可以用我們習慣的歐式幾何中的事實作一個直觀「模型」來解釋羅式幾何是正確的。

    1868年，意大利數學家貝特拉米發表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實現。這就是說，非歐幾何命題可以「翻譯」成相應的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。

    人們既然承認歐幾里是沒有矛盾的，所以也就自然承認非歐幾何沒有矛盾了。直到這時，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學術界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨創性研究也就由此得到學術界的高度評價和一致讚美，他本人則被人們讚譽為「幾何學中的哥白尼」。

 黎曼幾何

    歐氏幾何與羅氏幾何中關於結合公理、順序公理、連續公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。歐式幾何講「過直線外一點有且只有一條直線與已知直線 平行」。羅氏幾何講「過直線外一點至少存在兩條直線和已知直線平行」。那麼是否存在這樣的幾何「過直線外一點，不能做直線和已知直線平行」？黎曼幾何就回 答了這個問題。

    黎曼幾何是德國數學家黎曼創立的。他在1851年所作的一篇論文《論幾何學作為基礎的假設》中明確的提出另一種幾何學的存在，開創了幾何學的一片新的廣闊領域。

    黎曼幾何中的一條基本規定是：在同一平面內任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限演唱，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當「改進」的球面。

    近代黎曼幾何在廣義相對論裡得到了重要的應用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論裡，愛因斯坦放棄了關於時空均勻性 的觀念，他認為時空只是在充分小的空間裡以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中的這種解釋，恰恰是和黎曼幾何的觀念是相似的。

    此外，黎曼幾何在數學中也是一個重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎，也應用在微分方程、變分法和複變函數論等方面。

三種幾何的關係

    歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨立性。因此這三種幾何都是正確的。

    在我們這個不大不小、不遠不近的空間裡，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實際；在地球表面研究航海、航空等實際問題中，黎曼幾何更準確一些。

其它數學分支學科

算術、初等代數、高等代數、數論、歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、微分幾何、代數幾何學、射影幾何學、拓撲學、分形幾何、微積分學、實變函數論、概率和數理統計、複變函數論、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、數理邏輯、模糊數學、運籌學、計算數學、突變理論、數學物理學

References: