Dec 26 Tue 2006 23:50
微積分的發展歷史

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古希臘時代

$Eudoxus (B.C. 384 - 322)$

尤多瑟士 (Eudoxus)，公元前 384 年生於斯塔基爾 (Stageira)，公元前 322 年卒於雅典。

對機械學 (力學)、物理學、數學、邏輯學、氣象學、植物學、心理學、動物學、倫理學、文學、形而上學與經濟學等，均有涉獵。

大家都知道「積分」的源頭是來自於面積的計算。西元前 430 年左右，希臘的希波克拉特 (Hippocrates) 證明了兩個圓的面積比等於其直徑的平方比。他所用的方法是用相似的多邊形內接於兩圓中，然後不斷的增加邊數以窮盡圓的面積而導出。差不多同時的安蒂豐 (Antiphon) 將這樣的方法叫著『窮盡法』並用它來解決有名的「化圓為方」的問題，他的結論雖然是錯誤的，但是作為近代數學基石的『極限』觀念及『積分』就已經孕育了。

然而，希臘人是儘可能避免使用類似『無窮小』或是 n→∞這樣的模糊觀念。為了要證明或是解釋圓面積與內接 n邊形面積之間的差距，在 n足夠大的時候，能夠隨心所欲的小，西元前 400 左右的尤多瑟士 (Eudoxus) 提出了下面的命題：

兩個不等的給定量，若從大者減去超過其半的一個量，再從餘量中減去超過其半的一個量，這種程序繼續不斷下去，到某階段餘量會小於原給兩量中之小者。

他利用這個原理嚴謹的證明了：兩圓面積之比等於其半徑平方之比；圓椎體的體積為同底同高的圓柱體體積的 1/3 等的幾何定理。尤多瑟士以此明確的公理為依據進行演繹推理，大大的推廣了『窮盡法』的應用。值得注意的是，後來柯西 (Cauchy) 及魏而士查士 (Weierstrass) 所奠定的現代極限觀念與尤多瑟士的想法是多麼的接近；這個在古希臘時代就播種下的種子，西方的數學家們是花了將近兩千年的時間才使之開花結果。

但是真正將『窮盡法』用得出神入化的則是阿基米德。公元前 250 年左右的阿基米德，不僅是古代世界中最偉大的數學家，他還與 17 世紀的牛頓 (Newton) 及19 世紀的高斯 (Gauss) 並列為古往今來最偉大的三個數學家。他計算了很多面積和體積，比如他巧妙的利用一種別出心裁的無窮分割，證明了「拋物線和一直線所圍的弓行面積是其同底同高的三角形面積的 4/3 倍」。他以手頭上有的那一點數學工具，而能得到很大的成就，將永遠是數學史上一個偉大的里程碑。

最後，我們提一下阿波洛尼爾斯 (Apollonius)。他寫了一部巨著《圓錐曲線論》，幾乎將圓錐曲線的性質網羅殆盡。這部巨著對於17世紀的數學家產生了深遠的影響，費瑪 (Fermat)就於1637年受到啟發而發現了「解析幾何」，為「微積分」的發展做了奠的工作。

前牛頓、萊布尼茲時期

$Johannes Kepler (1571 - 1630)$

凱卜勒 (Kepler)，1571年12月27日生於施塔特的魏爾，1630年11月15日卒於雷根斯堡。

德國天文學家、物理學家、數學家。

在數學領域方面，他是微積分早期的先驅者之一。在《酒桶新立體幾何》（1615）中引入無窮大和無窮小概念，指出：「圓是由無數個頂點在圓心的三角形構成的，圓周是由這些三角形的無窮小的底邊構成」，並用同樣道理闡明了立體構成說，討論了 90 多種各類體積問題。

阿基米德及阿波洛尼爾斯之後，西歐進入了一段漫長的黑暗時期，整個數學的發展一直要到16世紀才有翻身之日。這時在求積的問題上產生了一套在邏輯上雖然基礎薄弱，但是計算上卻強而有力的「無窮小方法」。「無窮小方法」的代表性人物是公元 1600 年左右的凱卜勒 (Kepler) 及蓋瓦里爾 (Cavalieri) 。凱卜勒和蓋瓦里爾計算面積或體積的方法都是將給定的幾何圖形分成無窮多個無窮小的圖形，再用特定的方法加起來。蓋瓦里爾得到了相當於後來微積分中的公式，不過他的辦法只能求到 n=9 。

差不多同時代，笛卡爾 (Descartes) 及費瑪發明了解析幾何，從此數學中兩個研究對象「形」與「數「統一起來，並在數學中引入「變量」的觀念，這是一項畫時代的變革，同時也是微積分所需要的最重要的一塊基石。費瑪利用橫座標的分割，將蓋瓦里爾的方法予以具體化，這已與我們在現在的微積分課本中所看到的完全一樣了。

這時候科學已日趨進步，除了求積的問題外，數學家還考慮一些其他的問題，其中最重要的有：運動的速度和距離的關係以及曲線的切線問題。逐漸的，人們開始明瞭這兩個問題事實上是同一個問題，而更意外的是，它們與求積的問題居然有很密切的關係。

最早在運動的問題上做出貢獻的是 14 世紀法國的奧裡梅 (Oresme)，他用一種很原始的座標方法得到了等加速度的問題的速度與距離關係公式，其實已經是「微積分基本定理」的雛形了，他的工作對於後世的伽利略 (Galilei) 及笛卡爾都有深刻的影響。

切線問題雖然誕生較晚，不過它卻是一個較為容易解決的問題，1635 年之後，一些求切線的方法迅速的被摸索出來了。笛卡爾的方法是利用重根法先找曲線的法線，從而得到切線。他的想法比較曲折，屬於代數的性質而沒有用到極限的觀念。費瑪求切線的方法就比較直接而與現在的導數方法相差無幾了。他考慮曲線上極靠近的兩點，利用相似三角形的性質得到切線與橫軸的交點。他假設所選的兩點距離 e非常小，因此計算時，有時就將之看成是零而任意丟掉，但有時又把它當作除數來使用；這種對於無窮小的曖昧行為，在當時是頗具爭議的，但是卻能夠得到正確的結果。當然，在極限及導數有了嚴格的定義的今天再去看費瑪的工作，一切已是昭然若揭了。托裡切利 (Torricelli) 及羅伯瓦（ Roberval ）則將曲線看成是質點的運動，而切線是動點的瞬間運動方向，這種將切線與瞬間速度等同的看法，是日後牛頓流算數的先聲。牛頓的老師巴羅 (Barrow) 則將費瑪的方法更推進一步，他將曲線上一點 P之切線視為割線 PQ 當 Q 沿著曲線接近 P 的極限位置。他的著作「幾何講稿」中所討論的都是切線及求積的問題，同時他對於這兩者之間的互逆性也有明顯的陳述，可惜的是他本人並沒有認識它的重要性。他的工作則由他的學生牛頓來發揚光大。

萊布尼茲時期

$G. W. Leibniz (1646-1716)$

萊布尼茲 (Leibniz)，1646年7月1日生於德國萊比錫 (Leipzig)，1716年11月l4日卒於德國漢諾威 (Hanover)。

「我有那麼多的想法，如果那些比我更敏銳的人有一天深入到它們之中，把他們絕妙的見解同我的努力結合起來的話，它們或許有些用處。」

微分的技巧到了牛頓及萊布尼茲手上更得到了有系統的發展，他們建立了一些很有用的公式，使微分及切線的運算變得很簡易。不僅如此，更重要的是，他們明確的認識到微分和積分的密切關係而得到了「微積分基本定理」。如此一來，求積的問題就變成了求變化率問題的反運算，而有了革命性的突破。牛頓及萊布尼茲將這兩種表面上看起來毫不相關的極限緊密的聯繫起來的工作，可以看成是數學史上最偉大的成就，他們二人也理所當然的被視為「微積分」的發明者。

萊布尼茲的微積分

曹亮吉

科學月刊第十七卷第三期

萊布尼茲(Leibniz)

萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646～1716年）生於來比錫，早歲聰慧，十五歲就進來比錫大學，十七歲畢業，二十一歲（1667年）又從紐倫堡的 Altdorf 大學得到博士學位。學生時代的萊布尼茲主要的興趣在於邏輯、哲學與法律。

畢業後，萊布尼茲進入 Mainz 大選侯的政府。1672年到1676年這段時間，他因外交任務的關係滯留在巴黎，也就在這段時間內，他遇到著名的物理學家 Huygens（Christiaan, 1629～1695年），引起了他對數學的興趣，而投入微積分學的創造，1676年萊布尼茲回到德國，安頓了下來，成為 Hanover 大選侯的顧問及圖書館主管。

雖然萊布尼茲在巴黎時就得到很多微積分的結果，他在這方面第一篇重要的著作〈求極大小值及切線的新方法〉，卻要到1684年才發表在來比錫的一份雜誌《Acta Eruditorum》上。在這篇文章中，他引進了微分式，給了微分式的四則公式：

$\begin{eqnarray*} d(u \pm v) &=& du \pm dv \\ d(uv) &=& vdu+udv \\ d(\frac{u}{v}) &=& \frac{(vdu-udv)}{v^2} \end{eqnarray*}$

並說明得到極值的條件是 dv=0，得到迴轉點（反曲點）的條件是 ddv=0。在此之前，微分的計算都是個案的；有了萊布尼茲的微分公式，則只要知道簡單函數的微分，其他由簡單函數經四則運算合成的複雜函數，其微分也就輕易算得，難怪萊布尼茲會為此新方法感到興奮不已。

第二年（1685年），牛頓的一個學生 Craig（John, 1660?～1731年）寫了一本數學書，提到萊布尼茲的微分學，認為一定有更多的結果還未發表。再過一年（1686年），萊布尼茲在《Acta Eruditorum》發表了〈論一深度隱藏的幾何學及無窮小與無窮大的分析〉一文，為 Graig 的書做書評，並趁機推出更多的萊氏微積分，在這篇文章中，萊氏積分符號 $\int$ 正式登上數學史的舞台。他借用 Graig 所提到有關牛頓的老師 Barrow（Issac, 1630～1677年）的一個定理，來展示萊氏微積分學的威力。這個定理用現代的語言來說明是這樣的：如圖一，設曲線通過原點，從曲線上任一點 P(x,y) 作法線交 x 軸於 N，從 P 點的垂足 H 到 N 的距離 v（稱為次法線）是 x 的函數，其從 O 到 x 的面積為 $\frac{1}{2}y^2$ 。

圖一

萊布尼茲的想法是這樣的：在 P 點無窮小鄰近取曲線上一點 Q，以 PQ 為「斜邊」做一「特徵（直角）三角形」 $\triangle PQR$ ，其兩股 PR、QR 為無窮小變化量 dx,dy。則 $\triangle PQR$ 與 $\triangle PNH$ 相似，因此 vdx=ydy。從這個「微分」方程式，馬上就得

$\begin{displaymath} \int_0^x v dx = \int_0^x y dy = \frac{1}{2} y^2 \eqno{(1)} \end{displaymath}$

此外，在這篇文章中，他還說圓弧之長及擺線等非代數函數都可用積分的方式表示出來。

圖二

在積分的技巧方面，萊布尼茲是以善用特徵三角形出名的。特徵三角形的想法可溯至Pscal（Blaise, 1623～1662年）處理圓球表面積的工作。如圖二，在半徑為 r 的圓上，取鄰近的兩個點 P、Q。因特徵三角形 $\triangle PQR$ 與 $\triangle AOB$ 相似，所以 PQ:AO=PR:AB。若以 ds 表弧長 $\stackrel{\frown}{PQ}$ （亦即特徵三角形的斜邊 PQ），就得 yds=rdx。因為 $2 \pi yds$ 代表弧長 ds 繞 x 軸一圈所得的表面積，其積分

$\begin{displaymath} \int 2 \pi y ds = \int_{-r}^{r}dx = 4 \pi r^2 \end{displaymath}$

就是圓球的表面積。

萊布尼茲在巴黎時，Huygens 介紹他讀 Pascal 的文章；萊氏在研讀 Pascal 的這段證明時，突然靈光一閃，發現在一般曲線的場合，法線代替了半徑，也可以算得旋轉體的體積：如圖一所示。從兩個三角形的相似，我們也可以得到 yds = ndx，因此

$\begin{displaymath} \mbox{{\fontfamily{cwM5}\fontseries{m}\selectfont \char 236}... ...ctfont \char 9}} = \int 2 \pi yds = \int 2 \pi n dx \eqno{(2)} \end{displaymath}$

這兩個三角形相似的另一用法就是(1)式。由於

$\begin{displaymath} v=y\frac{dy}{dx} \eqno{(3)} \end{displaymath}$

所以為了求得一函數 v(x) 的積分，我們只要找到 y=f(x)，使得(3)式成立就好了。譬如，v(x)=xⁿ 時，我們可以試 f(x)=bx^m。則因 $\frac{dy}{dx}=mbx^{m-1}$ ，

$\begin{displaymath} y\frac{dy}{dx}=mb^2x^{2m-1}=v(x)=x^n \end{displaymath}$

所以取 $m=\frac{1}{2}(n+1)$ , $b^2=\frac{1}{m}$ 就好了。如此就得

$\begin{displaymath} \int x^ndx= \frac{1}{2} y^2 = \frac{1}{2}b^2x^{2m}=\frac{1}{n+1}x^{n+1} \end{displaymath}$

(3)式與(1)式合起來看，我們就得

$\begin{displaymath} \int y (\frac{dy}{dx}) dx = \int ydy \end{displaymath}$

這正是積分中變數代換的一個例子。

圖三

特徵三角形還可以和其他的三角形相似。譬如在圖三中，PT 為切線，AB 為高度固定為 a。由 $\triangle PQR$ 與 $\triangle TRB$ 兩三角形相似，就得

$\begin{displaymath} ds:dx:dy=t : \tau : a \end{displaymath}$

因此，譬如說，我們可以得到

$\begin{displaymath} \int ds = \frac{1}{a} \int tdy \end{displaymath}$

而把計算弧長的問題轉變為計算面積的問題。

圖四

然而下面這種相似三角形取法更有用。如圖四，設切線交 y 軸於 Z(o,z)，從 O 到切線的垂足為 H，垂線 OH 長為 h。從 $\triangle PQR$ 與 $\triangle OZH$ 兩三角形的相似，可得 hds=zdx，亦即

$\begin{displaymath} \triangle OPQ = \frac{1}{2} hds = \frac{1}{2}zdx \eqno{(5)} \end{displaymath}$

因此由

$\begin{displaymath} \int_a^b ydx = \triangle OBb + \mbox{{\fontfamily{cwM5}\font... ...y{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 36}}OAB - \triangle OAa \end{displaymath}$

就得

$\begin{displaymath} \int_a^b ydx= \frac{1}{2} \big[ (xy) \big\vert _a^b + \int_a^b zdx \big] \eqno{(6)} \end{displaymath}$

因為

$\begin{displaymath} z = y -x\frac{dy}{dx} \eqno{(7)} \end{displaymath}$

把其中的 y 做一次分部積分 (integration by parts)，(6)式就變成

$\begin{displaymath} \int_a^b ydx = (xy) \big\vert _a^b - \int_a^b xdy \eqno{(8)} \end{displaymath}$

這正是我們常見的分部積分公式。

圖五

(6)、(7)兩式的合用是萊布尼茲計算積分的主要方法。他宣稱由此可以得到所有前人已知的積分；圓週率的計算是這種方法成功的例證。如圖五，圓的方程式為 $y=\sqrt{2x-x^2}$ ，

$\begin{displaymath} z= y - x \frac{dy}{dx} = y - x\frac{1-x}{y}= \sqrt{\frac{x}{1-x}} \end{displaymath}$

由此可得 $x=\frac{2z^2}{1+z^2}$ ，因此

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} \int_0^x ydx &= \frac{1}{2} (xy) \big\vert _... ...\frac{1}{5}z^5+\frac{1}{7}z^7- \cdots) \end{eqalign}\eqno{(9)} \end{displaymath}$

取 x=1，就得以萊布尼茲為名的著名公式

$\begin{displaymath} \frac{\pi}{4}=\int_0^1 ydx = 1 - \frac{1}{3}+ \frac{1}{5}- \frac{1}{7}+ \cdots \eqno{(10)} \end{displaymath}$

若將(9)式重寫成

$\begin{displaymath} z+ \int_0^x zdx - \frac{1}{2}x(y+z) = z-\frac{1}{3}z^3 + \frac{1}{5}z^5-\frac{1}{7}z^7+ \cdots \end{displaymath}$

而且注意到 z ( $=z \cdot 1$ ) 正好是四邊形 ZOCP（看成是兩個全等三角形 $\triangle ZOC$ 、 $\triangle ZPC$ 之和）的面積， $\frac{1}{2} x(y+z)$ 是梯形 ZPHO 的面積。兩者相減，再加上曲線 OP 下的面積 $\int_0^x ydx$ ，等式的左邊正是扇形 COP 的面積，而此面積為

$\begin{displaymath} \frac{1}{2} \angle PCO =\angle ZCO = tan^{-1} z \end{displaymath}$

如此我們就得到反正切函數的展開式

$\begin{displaymath} tan^{-1} z =z-\frac{1}{3}z^3+\frac{1}{5}z^5-\frac{1}{7}z^7+ \cdots \eqno{(11)} \end{displaymath}$

[請注意：牛頓與萊布尼茲得到 tan^-1 z 的展開式都不是先知道其微分為 $\frac{1}{1+z^2}$ ；請參閱上一期本欄，〈牛頓如何突破微積分學〉。]

在牛頓、萊布尼茲之前，微分及積分的計算都是個案的。萊氏不但提供了微分的方法，也提供了積分的方法，而積分的公式，實際上都是利用特徵三角形所得的「微分」方程式轉過來的；也就是說他體會到求積的問題可從曲線的切線性質著手，而且也善於應用微積分基本定理──他曾於1693年在《Acta Eruditorum》發表微積分基本定理。此外他的微積分符號不但使人很快了解微積分的內涵，也使人在微積分的計算上得心應手，因此萊布尼茲的微積分掩蓋了牛頓的，而成為日後微積分學的主流。有了這些貢獻，萊布尼茲自然也成了微積分的創始人之一。

參考資料：數學發展史----王懷權/著 (協進圖書公司)

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