藍色情懷

艾薩克．牛頓（Sir Isaac Newton）

蘋果真的掉下來了？

許多書上都說，牛頓被掉下來的蘋果打中，所以才發現了「萬有引力」，這個故事恐怕只是一個傳說，未必是真的，不過在他住的房子西邊的庭院中間，確實種了一棵 蘋果樹。英國人是非常執著於這個蘋果的故事，甚至於還可以將那棵樹指給好奇的遊客看，如果你到英國去，千萬不要和老外爭執這件事是真是假，畢竟作好國民外 交，也是一件好事。

牛頓出生在英國一個叫做烏爾索坡的偏僻村落，那年是西元1642年，由於早產，從小就衰弱多病，沒有人寄望他能順利長大，但是他卻奇蹟似的存活下來。在他出生前，父親就過世了，母親在他3歲的時後改嫁。牛頓小時候被外婆撫養長大，個性有點孤僻、內向、害羞。牛頓小時候在學校的成績並不優秀，可是對於一切他不明白的事物都很感興趣，並且會不厭其煩的動手去做實驗，同時很有木刻模型及機械方面的天份，他還發明了水鍾、風車及燈籠等東西，可以說是一個『少年發明家』！

牛頓的黃金時期

牛頓18歲時進入劍橋大學就讀，23歲從劍橋大學畢業後，當時由於黑死病蔓延，便躲回家鄉。在家鄉的這兩年（23～25歲）是他這一生創造力最顛峰的時期，也奠定了他一生中三大發現－萬有引力、光學及微積分的重要基礎。

牛頓的《數學原理》

他的這本《數學原理》是 自然科學史上的重要文獻，對自然科學和哲學都產生了廣泛而深遠的影響。在這本書內，牛頓提出並定義了一系列奠定力學基礎的基本概念，例如質量、慣性、力與 向心力、絕對時間、絕對空間等。在這裡牛頓的經典力學還包括了天體力學的理論，研究行星的運動，月球的運動，潮汐，歲差和彗星的運動等。當然，最主要還是運動三大定律，或我們現在稱之為牛頓三大定律：

第一定律是慣性定律，簡單的說就是「除非有外在的力量加進去，要不然保持靜止的物體，會永遠保持靜止；沿一直線作相同速度運動的物體，也會一直持續不停的跑下去」。

就好像一顆球，你不去碰它，沒有風去吹它，它永遠不會動；但是你把它往前丟出去，如果沒有任何摩擦力、阻力，球也會一直往前跑，跑到天涯海角。

第二定律簡單的說是「當物體受到外來的力量時，它會沿著這個力量的方向，加快速度運動，力量越大速度就越快」。

譬如：那顆球，如果你一直持續的推它，持續的把力量加給它，它是不是會越跑越快呢！

至於牛頓第三定律是在說明：每一個施加於物體的力量，都會同時產生一個大小相等而且方向相反的反作用力。這定律也叫做「作用與反作用定律」。

譬如：當你拍打桌面時，同時桌面也會回送你一個相反的力量，所以你的手會痛。下次發脾氣拍打桌子時，就要記得小力一點了！ 

以上這些，全部都構成了牛頓的經典力學，為物理學帶來了全新的方向。

 萬有引力

牛頓另外還有一個偉大的發現，就是發現了萬有引力。事實上，萬有引力的概念早就有人發現並且提出來了。跟牛頓同時期的一些科學家，都曾經想要證明萬有引力的存在，可是，只有牛頓利用數學原理，證明萬有引力適用於一切物體，而且證明了地球上的重力與物體間的引力本質相同。從牛頓所確立的萬有引力之後，科學家可以輕易的解釋歲差、視差、潮汐、地球的形狀及彗星的運動等問題，甚至能推算出海王星的存在。

牛頓的其他成就

牛頓日夜從事研究的書桌，桌上放置的就是他自製的反射式望遠鏡

1704年，他出了一本叫做《光學：光的折射、反射、繞射和顏色》的書，這本書一出來，使他在科學界的地位更加崇高。1705年，他受封為英國的爵士，是第一個因為學術成就而獲得這種頭銜的科學家。

有很長一段時間牛頓對物理不感興趣，反而很喜歡研究化學和煉金術，因為他太過內向，所以都沒有公佈自己的化學實驗目的和結果。此外，牛頓也探討宗教事物，有許多關於宗教的作品，在他死後彙集出版。他也曾當選國會議員及擔任鑄幣局局長，1703年，當選為英國皇家學會的主席，這個職務一直擔任到他去世為止。牛頓逝世於1727年，享年83歲。

一生的成就

牛頓有非凡的洞察力，他第一個猜出行星繞日運行與蘋果落地，是同一種力──引力作用的結果。可以說，這是科學史上企圖統一宇宙各種表面看來毫不相干的力──統一場論的第一次成功，就此而言，牛頓實際上是統一場論的先驅者。他創立動力學和萬有引力理論，也發明微積分。

牛頓（1642～1729）。這個牛頓畫像曾被愛因斯坦掛在他的書房壁上。

十八世紀以來，牛頓被公認是第一個而且是最偉大的近代科學家。他的科研成果改變人類對宇宙的看法。大家一向認為他是一個理性主義者，教導人們思考時要作冷 靜而不帶主觀色彩的推理。牛頓的生辰（1642年12月25日）是聖誕節，對科學家而言，這「聖誕節」真是名符其實。在他的三百週年紀念會上（這個國際性 紀念大會，是二次大戰後，1946年夏天在倫敦皇家學會補開的，當時物理學家吳大猷代表教育部和中央研究院參加了大會），凱恩斯 (J.M. Keynes) 談到有關牛頓的鮮為人知的另一面，他強調說，在牛頓的朋友及同時代人的心目中，他完全是另外一個形象：一個極其神經質的人。他最深藏的本能是神秘通靈的 (Occult)，秘傳的 (Esoteric) 和語意學的 (Semantic)（近代語意學是一門研究語言符號與其意義之關係的科學。）──他非常畏避世界，要他公開暴露他的思想、他的信念、他的發現，讓世人去 審查批評，簡直等於要他的老命。除非朋友們強迫，他決不發表任何東西。牛頓終生未婚。

繼承牛頓的魯開珊 (Lucasian) 講座的惠斯頓教授說牛頓是他

「平生所知道的最畏怯、最謹慎，而且最多疑的人之一。」

牛頓的朋友摩根說：「牛頓對自己的猜測非常高興，似乎是他所知道的，遠比他所能證明的要多得多。」牛頓具有無與倫比的直覺洞察力，獨自在奇異思想的 汪洋大海中航行。「證明」不是牛頓用來發現未知世界的工具，而是事後為了去把他的發現檢驗一番，或做給別人看的。牛頓寫了一本科學史最偉大的著作之一── 《自然哲學的數學原理》。其中有一個基本觀念是「絕對空間」。他大約知道這個絕對空間的概念並非無懈可擊，於是用神學論證來遮蓋其物理缺點。他聲稱，他的 絕對空間就是與上帝不作相對運動的空間。好傢伙，當時誰膽敢否定上帝的存在?!這樣，別人就不敢輕舉妄動去批評和否認他的絕對空間。不過，早期虔誠信仰上 帝的物理學家還是想出了一個反擊牛頓的對策：他們宣佈「上帝超越凡俗人世的空間框架。」

牛頓是相信上帝的，傾向於唯一神論，不信當時盛行的三位一體的教條。他認為宇宙間千變萬化的運動現像是萬能造物主書寫的密碼文書或謎語；靠 著純思維，集中精力，他相信可以破譯造物主的「謎語」。他相信有線索可以解謎──這線索，部分來自於天象和實驗，部分來自世世代代傳下來的某些文件（源自 遠古巴比倫帝國時期隱密的神啟）。

在他二十歲到四十五歲期間，牛頓除了研究數學、物理、天文之外，還專心致志地研究和撰寫有關秘教、神學、煉金術（改變物質、點石成金的哲人 石；長生不老藥……），他寫了約百萬言的手稿。應該說，牛頓寫這些手稿時,與他寫那本著名的科學經典著作《自然哲學的數學原理》是同樣頭腦清楚的。但是這 些手稿完全沒有科學價值，它大部分似乎是翻譯或抄寫別的書或手稿。這工作很像在搞文字考據，一頭鑽入故紙堆裡出不來，就像有牛頓如此天才頭腦的，也鑽研不 出名堂來。

牛頓離開劍橋大學三一學院的研究學者生涯，到倫敦去開始做他的行政職務時，隨身帶了一箱手稿。他絕不讓任何人看這些手稿，因為其中寫了一些 當時不可洩露的秘密──例如，他發現三位一體的神學教條是後人偽造的。而三位一體是當時盛行的，神聖不可侵犯的「天條」。牛頓死後，有人請一位主教看一下 這箱手稿可不可以發表，主教一看，大驚失色，馬上砰地一聲把箱子蓋了回去。

牛頓五十歲時，害了嚴重的精神崩潰（憂鬱症、失眠、有被迫害的恐懼），大約兩年後才康復。他說他的思維失去了以前那樣的首尾一貫，從此不再可能像以前一樣長時間集中精神作思考工作。

我們不要因為聽了一些牛頓教授專注作學問，廢寢忘食和健忘的好笑故事，就以為牛頓只會搞科研，別的都不行。其實，牛頓一生結交了一些頗有勢 力的朋友，他作行政業務非常有辦法。而且，牛頓還是一個精明的商人，他所做的財產投資相當成功。雖然他出身不富裕的農家，他死的時候，是一個富翁。

牛頓是一位偉大的腦力勞動者，他沉默寡言。他曾經說過：

「每一個目標，我都要它停留在我眼前，從第一線曙光初現開始，一直保留，慢慢展開，直到整個大地一片光明為止。」

「我並無特別過人的智慧，有的只是堅持不懈的思索精力而已。」

這兩句話，可以說是概括了牛頓作科研的本領和成功的秘訣。

 站在巨人的肩上

牛頓的物理學指導我們科學發展長達兩百多年，在二十世紀以前，人們以為牛頓的學說已經是物理學的頂峰，一切物理學的疑難都可以在他的學說中找到答案。但是，他的經典力學最後仍然被愛因斯坦的「相對論」修正了，現在物理學的發展也已經完全超越了他的學說內容；但是，牛頓提供了建立科學所需要的定理，促成了現代科學的誕生！

自然哲學的數學原理

牛頓發表萬有引力學說迄今已有三百年之久。近三百年來科學突飛猛進，數學佔著不可或缺的角色。我們想介紹萬有引力學說的建立過程， 以點明數學與自然科學間的密切關係。

在牛頓之前，運動學有兩支：一是天上的，由 Kepler 的三個運動定律所統攝；一是人間的，是 Galileo Galilei 所描述的落體運動。1665及1666兩年，大學剛畢業的牛頓，住在鄉閒農場躲避瘟疫，開始認真思考運動學的問題。他想蘋果掉地可解釋為地球有個力量拉著 蘋果，那麼行星繞日運動是否可解釋為太陽有個力量拉著行星呢？這樣的力量，其方向及大小該是如何呢？牛頓斷斷續續探索這個問題，一直到1684年才確立了 萬有引力的想法與計算公式。由於探索過程曲曲折折，這方面的文獻有爭議之處甚多， 我們只能把這將近二十年的探索過程做一濃縮，以較邏輯的順序呈現-科學歷史的細部發展有時並不按邏輯順序的。

牛頓仔細玩賞 Kepler 的三個運動定律，想從其中看出一些名堂。第一運動定律說，行星的軌道為橢圓，太陽居其兩焦點之一。第二運動定律說，行星與太陽的聯線在定時間內掃過相同的面積。 第三運動定律說，對所有的行星而言，其週期 T 與軌道的平均半徑（即半長軸）R 都有如下的關係： T²/R³ 為定比（不因行星而不同）。

牛頓仔細推敲的結果，發現從 Kepler 的第二運動定律－面積律，居然可以推出太陽的引力是向心的（即指向太陽）。反過來，假定了向心力，面積律就成為必然的結果。

圖一

如圖一，假定經過一秒鍾後，行星從 P₀ 走到 P₁。假定太陽 S 並沒對行星施以任何力量，則根據 Galilei 的慣性原理，行星會繼續走直線等速運動。因此在下一秒鍾，從 P₁ 走到 P₂ 的距離 P₁ P₂ 與 P₀ P₁ 相等。 兩三角形 與 因為等底等高，所以面積相等，亦即面積律成立。

圖二

然而行星並不走直線。如圖二，假定第二秒鍾，從 P₁ 走到 P'₂，則行星改變的方向為 P₂P'₂；若假定了面積律， 則 與 相等，也因此與 相等。所以 P₂ P'₂ 與 S P₁ 平行， 因此得到引力是向心的結論。 反之，若假定了向心力，則 P₂ P'₂ 與 S P₁ 平行， 因此 與 相等，也因此與 相等，故得面積律。

以上的想法是簡化了些；較嚴密的論證，則以上面的想法為基礎， 加上極限的過程，就可完成。從物理的直觀， 很難看出面積律與向心力是等價的， 然而簡單的數學論證馬上就得到這個重要的結論。

解決了引力的方向，牛頓想要決定引力的大小。牛頓做了粗略的估計如下：行星運行的軌道大致為圓形，半徑大約為 R。運動大致是等速的，其角速度假定為 ω，則向心力為 ， m 為行星的質量。但因 ，而且 T²/R³=k 為定值－Kepler 的第三運動定律（週期律），所以

不但太陽系的行星遵行 Kepler 的運動定律，木星的衛星相對於木星也是， 月球也圍繞著地球轉。似乎任何兩物體之間都有引力存在。 然則這些引力和使蘋果掉地的力是否遵行同樣的法則？

因為受到地心引力的影響，地面附近的物體呈拋物線運動， 其向心加速度為 32呎/秒²。水平速度愈大， 則飛行愈遠才落地，而當大到一個程度後，它會繞著地球轉(見圖三)， 所以月球繞地球旋轉似乎和蘋果受到同樣的地心引力。

圖三

已知月球距地心為地球半徑的60倍，所以，引力若遵行平方反比律， 則月球的向心加速度為32呎/秒² 的 1/60²。 另一方面，月球週期已知，只要地球大小知道， 月球近乎圓形的軌道大小就可得，而其向心力（或向心加速度）就可算得。 如果這兩種算法所得的結果相近，則平方反比律就不只是太陽的引力， 而是萬物間的引力都要遵行的。計算的結果，牛頓發現兩者有點出入。 有些科學史家認為牛頓另外還有個煩惱： 他無法確定，求一個均質球體對一質點的引力， 是否可以把質量集中在球心而為之。有了這些困難， 牛頓不敢驟而確立萬有引力原理，甚且暫時放棄了引力的研究。

到了1684年，Hooke 遇到 Wren 及 Halley 等人， 宣稱他已得到星球運行的引力法則。Wren 不信，願意提供獎金給能夠解決這個問題的人。Halley 向牛頓提起這個問題， 並問道：假如是平方反比律，那麼行星的軌道是什麼？牛頓馬上答道：橢圓。你怎麼知道的？我早就算過了。於是牛頓向 Halley 提起他在這方面的探索結果。 Halley 覺得很有意思，要牛頓再試一次。

Picard（Jean, 1620～1682年）利用 Erathosthenes 測量地球大小的原理， 只是用一顆恆星代替了太陽，而於1671年得到更正確的地球半徑長3950哩 （很接近於現值），所以牛頓可以重新計算月球的向心加速度：

圖四

前面提到的牛頓的煩惱是個積分技巧的問題，現在他也能夠順利解決: 假設萬有引力常數（在適當的單位取法下）為 1，球半徑為 R， 距球心 ρ 處的密度為 （只與距離 ρ 有關），質點 P 的質量為 m，其到球心的距離為 p(>R)，則球的質量為 ，而把質量集中在球心後對質點 P 的引力為 Mm/p²。 若不集中，用球坐標（見圖四），則球上一小體積 對距離 r 處質點 P 的引力在 OP 方向的分力為（因為對稱的關係，只要考慮這個方向就好了）：

解決之道在於把變數θ及α都換成變數r：

此書共有三冊。第一冊首先定義什麼是慣性、動量、力， 然後陳述三個運動定律──即通常所說的牛頓運動定律（其實前兩個定律，Galilei、Descartes 就已提出；第三定律：作用力等於反作用力，則為牛頓的）。 接著牛頓討論一些微積分的定理，但以古典的幾何方式加上極限的概念表現。 介紹了新的數學工具後，牛頓就開始討論平方反比向心力與 Kepler 運動定律之間的互導、橢圓及橢圓運動的性質、各種擺線的幾何性質（和引力有關）、兩物體間因引力而起的運動（不假定其中之一因質量非常大而看成靜止）、 球體對質點的引力（牛頓的煩惱）及三體運動等等。 討論的方式是純數學式的，並不把所得的結果與自然的現象相印證。

第二冊所討論的是阻力之下的運動，是流體力學的開端。 有些地方假定阻力與速度成正比，或與速度的平方成正比， 或兩者的混合。由此可見牛頓有時喜歡做純數學式的演繹。

第三冊則把第一冊的數學結果用到自然現象上。譬如根據觀測，木星的衛星繞木星運行的確符合 Kepler 的面積律， 因此由第一冊的結果得知，吸引衛星的引力應該是向著木星的。 又因衛星也符合週期律，所以由第一冊的結果如此向心引力更遵行平方反比律。 也就是說，吸引衛星的引力也符合萬有引力公式。用這種方式的推論， 牛頓得到許許多多結果。有些結果可以解釋已知的現象，譬如潮汐、 月球的不規則運動、歲差等等；有些則預測一些未知的現象，譬如人造衛星。

其實 Hooke 等人早也猜到平方反比律，但他們沒有良好的數學工具， 所以推演不出 Kepler 的運動定律，更何況是其他的結果。 牛頓擁有應付動力學的利器微積分，得以完成此一曠世巨著。就如其書名所示，這本書的主旨是用數學的語言來描述、來推敲自然的現象。 哥白尼開始的科學革命，終於在牛頓的手中成了氣候， 而為此後三百年的科學進展奠下深厚的基礎。